3.3.1拋物線的標準方程課件高二上學期數學選擇性

拋物線的標準方程湘教版

數學

選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程課標要求1.掌握拋物線的定義及其標準方程;2.能用拋物線的標準方程求焦點坐標和準線方程.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標基礎落實·必備知識一遍過知識點1拋物線的定義我們把平面內與一個定點F和一條定直線l(F?l)距離

的點的軌跡叫作拋物線,點F叫作拋物線的

,直線l叫作拋物線的

.

名師點睛定義的實質可歸結為“一動三定”:一個動點,設為M;一個定點F,叫作拋物線的焦點;一條定直線l,叫作拋物線的準線;一個定值,即點M到點F的距離和它到直線l的距離之比等于1.相等

焦點準線過關自診1.在拋物線的定義中,為什么要注明F?l?提示若點F在直線l上,那么平面內與一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線.2.若動點P到點(3,0)的距離和它到直線x=-3的距離相等,則動點P的軌跡是(

)A.橢圓

B.拋物線

C.直線

D.雙曲線B解析

由拋物線定義知,動點軌跡為拋物線.知識點2拋物線的標準方程圖象標準方程y2=2px(p>0)

(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點坐標(,0)(-,0)

(0,-)準線方程x=-x=y=-

y2=-2px名師點睛1.標準方程特征:等號一邊是某個變量的平方,等號的另一邊是另一變量的一次項;拋物線的標準方程中p的幾何意義是焦點到準線的距離,因此p是一個正數.2.根據拋物線方程確定焦點的位置的方法:若一次項的字母是x,則焦點就在x軸上,若其系數是正的,則焦點就在x軸的正半軸上(開口向右),若系數是負的,則焦點就在x軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是y,則焦點就在y軸上,若其系數是正的,則焦點就在y軸的正半軸上(開口向上),若系數是負的,則焦點就在y軸的負半軸上(開口向下).過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)拋物線可以看作是雙曲線的一支.(

)(2)根據拋物線的定義求拋物線的方程時,由于所建立的直角坐標系不同,拋物線的方程也不同.(

)(3)若拋物線的方程為y=ax2(a≠0),則拋物線的焦點在x軸上.(

)2.二次函數的圖象也是拋物線,與本節(jié)所學拋物線相同嗎?×√×提示不完全相同.當拋物線的開口向上或向下時,可以看作是二次函數的圖象;當開口向左或向右時,不能看作是二次函數的圖象.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一根據拋物線方程求焦點坐標以及準線方程【例1】求下列各條拋物線的焦點坐標和準線方程:(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2.分析

先將所給方程轉化為標準方程的形式,確定其開口方向,求出p的值,再寫出焦點坐標和準線方程.解

(1)由方程y2=-12x知,拋物線開口向左,焦點在x軸的負半軸上,2p=12,所以p=6,

=3,因此焦點坐標為(-3,0),準線方程為x=3.規(guī)律方法

根據拋物線的方程求焦點坐標、準線方程的方法已知拋物線方程求焦點坐標和準線方程時,一般先將所給方程化為標準形式,由標準方程得到參數p,從而得焦點坐標和準線方程,要注意p>0.變式訓練1指出下列拋物線的焦點坐標和準線方程,并說明拋物線開口方向.(1)x2-4y=0;(2)x=ay2(a≠0).解

(1)∵拋物線x2-4y=0的標準形式為x2=4y,∴p=2.∵拋物線的焦點在y軸的正半軸上,∴焦點坐標是(0,1),準線方程是y=-1,拋物線開口向上.探究點二求拋物線的標準方程【例2】根據下列條件求拋物線的標準方程:(1)準線方程為y=5;(2)焦點到準線的距離為;(3)過點A(2,3).分析由題意確定方程形式,求出p,寫出拋物線的標準方程或設出拋物線的標準方程,代入點的坐標求參數,寫出拋物線的標準方程.解

(1)由準線方程為y=5知,焦點在y軸的負半軸上,且

=5,即p=10,因此,所求拋物線的標準方程為x2=-20y.因此,所求拋物線的標準方程為y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.(3)由于點(2,3)在第一象限,因此拋物線方程可設為y2=mx(m>0)或x2=ny(n>0).規(guī)律方法

用待定系數法求拋物線標準方程的步驟

[提醒]求拋物線的標準方程時需注意的三個問題(1)明確開口方向與方程間的對應關系;(2)當拋物線的類型沒有確定時,可設方程為y2=mx或x2=ny,這樣可以避免分類討論;(3)注意p的幾何意義.變式訓練2分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程:(1)焦點為直線3x-2y-6=0與坐標軸的交點;(2)過點(3,-4).解

(1)對于直線方程3x-2y-6=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=2.則拋物線的焦點為(0,-3)或(2,0).當焦點為(0,-3)時,

=3,即p=6,此時拋物線的標準方程為x2=-12y;當焦點為(2,0)時,

=2,即p=4,此時拋物線的標準方程為y2=8x.因此,所求拋物線的標準方程為x2=-12y或y2=8x.(2)∵點(3,-4)在第四象限,∴設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把點(3,-4)的坐標分別代入y2=2px和x2=-2p1y,探究點三拋物線定義的應用角度1軌跡問題【例3】設圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則C的圓心軌跡為(

)A.拋物線 B.雙曲線

C.橢圓

D.圓A解析

由題意知,圓C的圓心到點(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,故圓C的圓心到點(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據拋物線的定義可知,所求軌跡是一條拋物線.規(guī)律方法

利用拋物線的定義求軌跡求軌跡問題中,若動點滿足拋物線的定義,可直接利用定義寫出拋物線的標準方程.變式訓練3已知圓A:(x+2)2+y2=1與定直線l:x=1,且動圓P和圓A外切并與直線l相切,求動圓的圓心P的軌跡方程.解

由題意知,圓P的圓心到點(-2,0)的距離比到直線x=1的距離大1,故圓P的圓心到點(-2,0)的距離和到直線x=2的距離相等,所以點P的軌跡為拋物線,A(-2,0)為焦點,直線x=2為準線,所以

=2,即p=4.所以點P的軌跡方程為y2=-8x.角度2最值問題【例4】設P為拋物線y2=4x上的一個動點,F為拋物線的焦點.(1)求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.分析

由于拋物線方程為y2=4x,準線方程為x=-1,利用拋物線的定義,將點P到直線x=-1的距離轉化為|PF|,或將|PF|轉化為點P到準線的距離求解.解

(1)拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.因為點P到準線x=-1的距離等于點P到F(1,0)的距離,所以問題轉化為在拋物線上求一點P,使點P到A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小.連接AF,如圖1所示.顯然當點P是AF與拋物線的交點時,所求距離之和最小,圖1(2)同理,|PF|與點P到準線x=-1的距離相等.如圖2所示,過點B作BQ垂直于準線交準線于點Q,交拋物線于點P1.由題意知|P1Q|=|P1F|,所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.所以|PB|+|PF|的最小值為4.圖2規(guī)律方法

與拋物線有關的最值問題的解法求圓錐曲線上到在曲線兩側的兩定點的距離之和最小的點的位置時,或由圓錐曲線定義作線段的等量轉換后可以轉化為此類問題時,連接兩定點的線段與曲線的交點即為所求點.變式訓練4若點P是拋物線y2=2x上的一個動點,求點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值.解

由拋物線的定義可知,拋物線上的點到準線的距離等于它到焦點的距離.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)拋物線的定義;(2)拋物線的標準方程.2.方法歸納:利用拋物線的標準方程求焦點坐標、準線方程;待定系數法、定義法求拋物線的標準方程;定義轉化法求解與拋物線有關的最值問題.3.注意事項:拋物線的定義強調定點不在準線上;根據拋物線的方程求拋物線的焦點坐標、準線方程需要將拋物線方程化為標準形式;利用定義可以把拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離,也可以把拋物線上的點到準線的距離轉化為到焦點的距離.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314A級必備知識基礎練1.準線與x軸垂直,且經過點(1,

)的拋物線的標準方程是(

)A.y2=-2x B.y2=2xC.x2=2y

D.x2=-2yB解析

由題意可設拋物線的標準方程為y2=ax(a>0),則

=a,解得a=2,因此拋物線的標準方程為y2=2x,故選B.12345678910111213142.[2024甘肅白銀高三聯考階段練習]圓x2-4x+y2-2y=0的圓心在拋物線y2=2px上,則該拋物線的焦點坐標為(

)A12345678910111213143.設拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是(

)A.4 B.6

C.8

D.12B解析

拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,則點P到準線的距離為6,即點P到拋物線焦點的距離是6.12345678910111213144.若拋物線y2=2px(p>0)上的點A(x0,)到其焦點的距離是點A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于(

)A.2 B.4

C.6

D.8D12345678910111213145.若點P到點(0,2)的距離比它到直線y=-1的距離大1,則點P的軌跡方程為(

)A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x

D.x2=8yD解析

∵點P到點(0,2)的距離比它到直線y=-1的距離大1,∴點P到點(0,2)的距離等于它到直線y=-2的距離.由拋物線的定義可知,點P的軌跡為以A(0,2)為焦點,直線y=-2為準線的拋物線,∴p=4,∴點P的軌跡方程為x2=8y.故選D.12345678910111213146.(2023全國乙,理13)已知點A(1,)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準線的距離為

.

12345678910111213141234567891011121314解

由題意可知,拋物線的焦點在x軸正半軸上,故可設拋物線的標準方程為故所求拋物線的標準方程為y2=4x,拋物線的準線方程為x=-1.∵拋物線的準線過雙曲線的一個焦點,∴c=1,即a2+b2=1.12345678910111213141234567891011121314B級關鍵能力提升練9.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M到其準線及x軸的距離分別為3和,則p=(

)A.4或1 B.2或4 C.1或2 D.1B123456789101112131410.（多選題）M是拋物線y2=2px(p>0)上一點,F為拋物線的焦點,O為坐標原點,FM⊥x軸,且|OM|=,則拋物線的準線方程為(

)A.x=-1 B.x=-2 C.y=-1 D.y=-2AB123456789101112131411.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線C上的兩點P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,則直線PQ的斜率為(

)C解析

如圖所示,作QM垂直準線于點M,PN垂直準線于點N,作PE⊥QM于點E,因為|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,所以由拋物線的定義可知|MQ|=4,|PN|=3,123456789101112131412.設O為坐標原點,直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點,若OD⊥OE,則C的焦點坐標為

.

設直線OD的斜率為kOD,直線OE的斜率為kOE,由OD⊥OE,可得kOD·kOE=-1,1234567891011121314(方法2)記直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)在第一象限內的交點為D,易知∠ODE=45°,可得D(2,2),代入拋物線方程y2=2px(p>0),可得4=4p,解得p=1.12345678910