彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法：有限元法基礎(chǔ)

彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法：有限元法基礎(chǔ)1彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法：有限元法基礎(chǔ)1.1緒論1.1.1彈性力學(xué)概述彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支，主要研究彈性體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布。它基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本假設(shè)，利用微分方程來描述材料的力學(xué)行為。在工程應(yīng)用中，彈性力學(xué)的求解對(duì)于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、材料選擇和安全性評(píng)估至關(guān)重要。1.1.2數(shù)值方法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用數(shù)值方法，尤其是有限元法(FEM)，在解決彈性力學(xué)問題中扮演著核心角色。有限元法通過將連續(xù)體離散成有限數(shù)量的單元，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，從而實(shí)現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變分析。這種方法特別適用于處理非線性、不規(guī)則形狀和邊界條件復(fù)雜的問題。1.1.3混合元法簡(jiǎn)介混合元法是有限元法的一種變體，它在求解過程中同時(shí)考慮位移和應(yīng)力作為未知量。這種方法在處理某些特定問題時(shí)，如近似滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，可以提供更準(zhǔn)確的解?；旌显ㄍㄟ^引入額外的未知量，如拉格朗日乘子，來確保位移和應(yīng)力的連續(xù)性和一致性。1.2彈性力學(xué)基礎(chǔ)1.2.1彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)的基本方程包括平衡方程、本構(gòu)方程和幾何方程。平衡方程描述了力的平衡條件；本構(gòu)方程描述了材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系；幾何方程則將應(yīng)變與位移聯(lián)系起來。這些方程構(gòu)成了求解彈性問題的理論基礎(chǔ)。1.2.2應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在彈性力學(xué)中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由胡克定律描述，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比。對(duì)于各向同性材料，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，?是應(yīng)變，E是彈性模量。在三維情況下，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系更為復(fù)雜，涉及多個(gè)彈性常數(shù)。1.3有限元法基礎(chǔ)1.3.1有限元法原理有限元法的基本思想是將連續(xù)體離散化，即將結(jié)構(gòu)分解為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用一組節(jié)點(diǎn)來表示。在每個(gè)單元內(nèi)部，位移被假設(shè)為節(jié)點(diǎn)位移的插值函數(shù)。通過在每個(gè)單元上應(yīng)用平衡方程，可以得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡條件，進(jìn)而求解節(jié)點(diǎn)位移。1.3.2有限元法求解流程結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分解為單元和節(jié)點(diǎn)。選擇位移模式：定義單元內(nèi)部位移的插值函數(shù)。建立單元方程：在每個(gè)單元上應(yīng)用平衡方程，得到單元的剛度矩陣和載荷向量。組裝整體方程：將所有單元的方程組裝成整體結(jié)構(gòu)的方程。施加邊界條件：根據(jù)問題的邊界條件，修改整體方程。求解未知量：解整體方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。后處理：計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變等其他物理量，進(jìn)行結(jié)果分析。1.4混合元法原理1.4.1混合元法的動(dòng)機(jī)混合元法的引入主要是為了解決標(biāo)準(zhǔn)位移元法在某些情況下可能遇到的鎖定位移和應(yīng)力不連續(xù)的問題。通過同時(shí)求解位移和應(yīng)力，混合元法可以提供更準(zhǔn)確的應(yīng)力分布，尤其是在處理近似滿足平衡條件的低階單元時(shí)。1.4.2混合元法的實(shí)現(xiàn)混合元法的實(shí)現(xiàn)通常涉及引入拉格朗日乘子來確保位移和應(yīng)力的連續(xù)性。在每個(gè)單元內(nèi)部，位移和應(yīng)力被獨(dú)立地插值。然后，通過最小化能量泛函，求解位移和應(yīng)力的未知量。這種方法在理論上可以提供更精確的解，但在實(shí)際應(yīng)用中，選擇合適的位移和應(yīng)力模式以及拉格朗日乘子的計(jì)算是關(guān)鍵。1.4.3混合元法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：-可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)應(yīng)力分布，尤其是在低階單元中。-對(duì)于某些問題，如近似滿足平衡條件的單元，混合元法可以提供更好的收斂性。缺點(diǎn)：-計(jì)算成本較高，因?yàn)樾枰蠼飧嗟奈粗俊?選擇合適的位移和應(yīng)力模式以及拉格朗日乘子的計(jì)算較為復(fù)雜。1.5混合元法示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的二維彈性問題，需要使用混合元法求解。我們將使用Python和SciPy庫來實(shí)現(xiàn)這一過程。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

#定義單元的幾何和位移模式

#假設(shè)我們使用線性位移模式和常應(yīng)力模式

#定義拉格朗日乘子

#在這里，我們假設(shè)拉格朗日乘子用于確保位移和應(yīng)力的連續(xù)性

#定義能量泛函

defenergy_functional(u,s):

#u是位移向量，s是應(yīng)力向量

#計(jì)算能量泛函，這里簡(jiǎn)化為一個(gè)示例

returnnp.sum(u**2)+np.sum(s**2)

#定義求解過程

defsolve_mixed_fem():

#初始化位移和應(yīng)力的未知量

u=np.zeros((num_nodes,2))#位移向量

s=np.zeros((num_elements,3))#應(yīng)力向量

#初始化能量泛函的梯度矩陣

grad_u=lil_matrix((num_nodes*2,num_nodes*2))

grad_s=lil_matrix((num_elements*3,num_elements*3))

#計(jì)算梯度矩陣

#這里簡(jiǎn)化為一個(gè)示例

foriinrange(num_nodes):

grad_u[i*2:(i+1)*2,i*2:(i+1)*2]=2*np.eye(2)

foriinrange(num_elements):

grad_s[i*3:(i+1)*3,i*3:(i+1)*3]=2*np.eye(3)

#組裝整體方程

K=lil_matrix((num_nodes*2+num_elements*3,num_nodes*2+num_elements*3))

K[:num_nodes*2,:num_nodes*2]=grad_u

K[num_nodes*2:,num_nodes*2:]=grad_s

#施加邊界條件

#假設(shè)我們固定第一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移

K[0,:]=0

K[1,:]=0

K[0,0]=1

K[1,1]=1

#求解未知量

b=np.zeros(num_nodes*2+num_elements*3)

b[:num_nodes*2]=np.random.rand(num_nodes*2)#假設(shè)的外力向量

x=spsolve(K.tocsc(),b)

#后處理

u=x[:num_nodes*2].reshape((num_nodes,2))

s=x[num_nodes*2:].reshape((num_elements,3))

returnu,s

#假設(shè)的節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)量

num_nodes=10

num_elements=5

#求解混合元法

u,s=solve_mixed_fem()

print("位移向量:",u)

print("應(yīng)力向量:",s)代碼解釋：上述代碼示例中，我們定義了一個(gè)簡(jiǎn)化版的混合元法求解過程。首先，我們初始化了位移和應(yīng)力的未知量，以及能量泛函的梯度矩陣。然后，我們組裝了整體方程，并施加了邊界條件。最后，我們求解了未知量，并進(jìn)行了后處理，計(jì)算了位移和應(yīng)力的值。請(qǐng)注意，實(shí)際的混合元法求解過程會(huì)更復(fù)雜，涉及到更精確的能量泛函定義、位移和應(yīng)力的插值函數(shù)，以及拉格朗日乘子的計(jì)算。上述代碼僅用于說明混合元法的基本求解流程。1.6結(jié)論混合元法在彈性力學(xué)數(shù)值分析中提供了一種更精確的求解方法，尤其是在處理應(yīng)力和位移的連續(xù)性問題時(shí)。通過同時(shí)求解位移和應(yīng)力，混合元法可以克服標(biāo)準(zhǔn)位移元法的一些限制，但同時(shí)也帶來了計(jì)算成本和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度的增加。在實(shí)際應(yīng)用中，選擇合適的位移和應(yīng)力模式以及優(yōu)化求解過程是關(guān)鍵。2彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法：有限元法基礎(chǔ)2.1有限元法的歷史與發(fā)展有限元法(FiniteElementMethod,FEM)起源于20世紀(jì)40年代末，最初由工程師們?cè)诮鉀Q結(jié)構(gòu)工程問題時(shí)提出。1943年，R.Courant在解決平板問題時(shí)首次使用了有限元的概念。然而，直到1956年，當(dāng)O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung在《工程計(jì)算》雜志上發(fā)表了一篇關(guān)于有限元法的文章后，這一方法才開始被廣泛接受和應(yīng)用。自那時(shí)起，有限元法迅速發(fā)展，成為解決復(fù)雜工程問題的強(qiáng)有力工具，其應(yīng)用領(lǐng)域從最初的結(jié)構(gòu)工程擴(kuò)展到流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。2.2基本概念與術(shù)語2.2.1節(jié)點(diǎn)(Node)在有限元模型中，結(jié)構(gòu)被離散化為一系列小的單元，這些單元的交點(diǎn)被稱為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)是有限元分析的基本單元，它們的位置決定了模型的幾何形狀。2.2.2單元(Element)單元是有限元模型中的基本幾何構(gòu)建塊，可以是線、面或體。每個(gè)單元由一組節(jié)點(diǎn)定義，單元內(nèi)部的物理量（如位移、應(yīng)力、應(yīng)變）通過節(jié)點(diǎn)上的物理量插值來近似。2.2.3插值函數(shù)(InterpolationFunction)插值函數(shù)用于在單元內(nèi)部從節(jié)點(diǎn)值推導(dǎo)出任意點(diǎn)的物理量。這些函數(shù)通?；诙囗?xiàng)式，如線性、二次或三次多項(xiàng)式，以確保物理量在單元內(nèi)部的連續(xù)性和光滑性。2.2.4剛度矩陣(StiffnessMatrix)剛度矩陣是有限元分析中最重要的矩陣之一，它描述了結(jié)構(gòu)在給定載荷下的響應(yīng)。剛度矩陣的元素表示節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)受到單位力時(shí)，其他節(jié)點(diǎn)的位移量。剛度矩陣是通過對(duì)單元的微分方程進(jìn)行積分得到的。2.2.5載荷向量(ForceVector)載荷向量包含了作用在結(jié)構(gòu)上的所有外力和邊界條件。在有限元分析中，載荷向量被離散化，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的力或力矩都被表示為載荷向量中的一個(gè)元素。2.3離散化過程有限元法的核心是將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散化為一系列單元和節(jié)點(diǎn)，然后在每個(gè)單元上應(yīng)用微分方程。這一過程可以分為以下幾個(gè)步驟：幾何離散化：將結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)單元，每個(gè)單元由一組節(jié)點(diǎn)定義。選擇插值函數(shù)：為每個(gè)單元選擇適當(dāng)?shù)牟逯岛瘮?shù)，以近似單元內(nèi)部的物理量。建立單元方程：基于單元的微分方程和插值函數(shù)，建立單元的剛度矩陣和載荷向量。組裝整體方程：將所有單元的剛度矩陣和載荷向量組合成整體剛度矩陣和整體載荷向量。施加邊界條件：在整體方程中施加邊界條件，如固定節(jié)點(diǎn)或施加外力。求解方程：使用線性代數(shù)方法求解整體方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。后處理：從節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)力和應(yīng)變，以及結(jié)構(gòu)的變形。2.3.1示例：一維桿的有限元分析假設(shè)我們有一根長(zhǎng)度為1米的均勻桿，兩端分別固定在x=0和x=1。桿受到一個(gè)沿x方向的均勻分布載荷q=10N/m。我們使用有限元法來分析這根桿的應(yīng)力和應(yīng)變。2.3.1.1幾何離散化我們將桿離散化為兩個(gè)長(zhǎng)度為0.5米的線性單元。2.3.1.2選擇插值函數(shù)對(duì)于一維桿，我們選擇線性插值函數(shù)，即位移u(x)在每個(gè)單元內(nèi)可以表示為：u(x)=a0+a1*x其中，a0和a1是待定系數(shù)，可以通過節(jié)點(diǎn)位移來確定。2.3.1.3建立單元方程對(duì)于每個(gè)單元，我們有以下微分方程：E*A*d^2u/dx^2=q其中，E是彈性模量，A是截面積。將微分方程與插值函數(shù)結(jié)合，可以得到單元的剛度矩陣和載荷向量。2.3.1.4組裝整體方程將兩個(gè)單元的剛度矩陣和載荷向量組合成整體剛度矩陣和整體載荷向量。2.3.1.5施加邊界條件在x=0和x=1的節(jié)點(diǎn)上施加固定邊界條件，即位移為0。2.3.1.6求解方程使用線性代數(shù)方法求解整體方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。2.3.1.7后處理從節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)力和應(yīng)變，以及桿的變形。2.3.2代碼示例以下是一個(gè)使用Python和NumPy庫進(jìn)行一維桿有限元分析的簡(jiǎn)單示例：importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面積，單位：m^2

#幾何參數(shù)

L=1.0#桿的長(zhǎng)度，單位：m

n=2#單元數(shù)量

#載荷

q=10#均勻分布載荷，單位：N/m

#單元長(zhǎng)度

l=L/n

#剛度矩陣

K=np.array([[E*A/l,-E*A/l],

[-E*A/l,E*A/l]])

#載荷向量

F=np.array([q*l/2,q*l/2])

#整體剛度矩陣和載荷向量

K_global=np.zeros((n+1,n+1))

F_global=np.zeros(n+1)

#組裝整體方程

foriinrange(n):

K_global[2*i:2*i+2,2*i:2*i+2]+=K

F_global[2*i:2*i+2]+=F

#施加邊界條件

K_global[[0,-1],:]=0

K_global[:,[0,-1]]=0

K_global[0,0]=1

K_global[-1,-1]=1

F_global[0]=0

F_global[-1]=0

#求解方程

u=np.linalg.solve(K_global,F_global)

#后處理

stress=E*np.gradient(u)/l

strain=np.gradient(u)/l

print("節(jié)點(diǎn)位移：",u)

print("單元應(yīng)力：",stress)

print("單元應(yīng)變：",strain)這段代碼首先定義了材料屬性、幾何參數(shù)和載荷，然后計(jì)算了單元的剛度矩陣和載荷向量。接著，它組裝了整體剛度矩陣和載荷向量，并施加了邊界條件。最后，它求解了整體方程，得到了節(jié)點(diǎn)位移，并計(jì)算了單元的應(yīng)力和應(yīng)變。2.4剛度矩陣與載荷向量2.4.1剛度矩陣剛度矩陣是有限元分析中最重要的矩陣之一，它描述了結(jié)構(gòu)的剛度特性。對(duì)于每個(gè)單元，剛度矩陣的元素表示節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。在整體分析中，所有單元的剛度矩陣被組合成一個(gè)大的整體剛度矩陣，用于描述整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度特性。2.4.2載荷向量載荷向量包含了作用在結(jié)構(gòu)上的所有外力和邊界條件。在有限元分析中，載荷向量被離散化，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的力或力矩都被表示為載荷向量中的一個(gè)元素。載荷向量與剛度矩陣一起，構(gòu)成了求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的線性方程組。2.4.3示例：二維梁的有限元分析假設(shè)我們有一根長(zhǎng)度為1米、寬度為0.1米的矩形梁，兩端分別固定在(0,0)和(1,0)。梁受到一個(gè)垂直向下的集中載荷P=100N。我們使用有限元法來分析這根梁的應(yīng)力和應(yīng)變。2.4.3.1幾何離散化我們將梁離散化為10個(gè)長(zhǎng)度為0.1米的線性單元。2.4.3.2選擇插值函數(shù)對(duì)于二維梁，我們選擇二次插值函數(shù)，即位移u(x,y)和v(x,y)在每個(gè)單元內(nèi)可以表示為：u(x,y)=a0+a1*x+a2*y+a3*x*y+a4*x^2+a5*y^2

v(x,y)=b0+b1*x+b2*y+b3*x*y+b4*x^2+b5*y^2其中，a0至a5和b0至b5是待定系數(shù)，可以通過節(jié)點(diǎn)位移來確定。2.4.3.3建立單元方程對(duì)于每個(gè)單元，我們有以下微分方程：d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0

d^2v/dx^2+d^2v/dy^2=0將微分方程與插值函數(shù)結(jié)合，可以得到單元的剛度矩陣和載荷向量。2.4.3.4組裝整體方程將所有單元的剛度矩陣和載荷向量組合成整體剛度矩陣和整體載荷向量。2.4.3.5施加邊界條件在(0,0)和(1,0)的節(jié)點(diǎn)上施加固定邊界條件，即位移為0。2.4.3.6求解方程使用線性代數(shù)方法求解整體方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。2.4.3.7后處理從節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)力和應(yīng)變，以及梁的變形。2.4.4代碼示例以下是一個(gè)使用Python和SciPy庫進(jìn)行二維梁有限元分析的簡(jiǎn)單示例：fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#幾何參數(shù)

L=1.0#梁的長(zhǎng)度，單位：m

B=0.1#梁的寬度，單位：m

n=10#單元數(shù)量

#載荷

P=100#集中載荷，單位：N

#單元長(zhǎng)度

l=L/n

#剛度矩陣

K=lil_matrix((2*(n+1),2*(n+1)))

#載荷向量

F=np.zeros(2*(n+1))

#組裝整體方程

foriinrange(n):

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

k=np.array([[E*A/l,0,-E*A/l,0],

[0,E*A/l,0,-E*A/l],

[-E*A/l,0,E*A/l,0],

[0,-E*A/l,0,E*A/l]])

#將單元?jiǎng)偠染仃囂砑拥秸w剛度矩陣中

K[2*i:2*i+4,2*i:2*i+4]+=k

#施加邊界條件

K[[0,-1],:]=0

K[:,[0,-1]]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

F[1]=P

#求解方程

u=spsolve(K,F)

#后處理

#這里省略了后處理的代碼，因?yàn)樗婕暗礁鼜?fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算和物理量的轉(zhuǎn)換。這段代碼首先定義了材料屬性、幾何參數(shù)和載荷，然后計(jì)算了單元的剛度矩陣和載荷向量。接著，它組裝了整體剛度矩陣和載荷向量，并施加了邊界條件。最后，它求解了整體方程，得到了節(jié)點(diǎn)位移。后處理部分省略了，因?yàn)樗婕暗礁鼜?fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算和物理量的轉(zhuǎn)換。3彈性力學(xué)基本方程3.1平衡方程平衡方程描述了在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力與外力之間的關(guān)系，確保了材料在受力作用下處于平衡狀態(tài)。在三維空間中，平衡方程可以表示為：?其中，σij是應(yīng)力張量，bi$$\frac{\partial\sigma_{x}}{\partialx}+\frac{\partial\sigma_{y}}{\partialy}+b_x=0\\\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialx}+\frac{\partial\sigma_{y}}{\partialy}+b_y=0$$這里，σx和σy是正應(yīng)力，3.2幾何方程幾何方程，也稱為應(yīng)變-位移關(guān)系，描述了位移如何引起應(yīng)變。在小變形假設(shè)下，對(duì)于三維問題，幾何方程可以表示為：?其中，?ij是應(yīng)變張量，ui$$\epsilon_x=\frac{\partialu}{\partialx}\\\epsilon_y=\frac{\partialv}{\partialy}\\\gamma_{xy}=\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialv}{\partialx}$$這里，u和v是位移分量，?x和?y是正應(yīng)變，3.3物理方程物理方程，也稱為本構(gòu)關(guān)系，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。對(duì)于線性彈性材料，物理方程遵循胡克定律，可以表示為：σ其中，Ciσ這里，λ和μ是拉梅常數(shù)，δi3.4邊界條件邊界條件是彈性力學(xué)問題中不可或缺的一部分，用于描述彈性體與外界的相互作用。邊界條件可以分為兩種類型：位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。3.4.1位移邊界條件位移邊界條件規(guī)定了彈性體邊界上的位移。例如，固定邊界上的位移為零。3.4.2應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件規(guī)定了彈性體邊界上的應(yīng)力。例如，受力邊界上的應(yīng)力等于外力。3.4.3示例：二維彈性力學(xué)問題的有限元分析假設(shè)我們有一個(gè)矩形彈性體，長(zhǎng)為1m，寬為0.5m，受到均勻分布的垂直向下的力。我們將使用Python和SciPy庫來解決這個(gè)問題。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)

n_x=10#網(wǎng)格在x方向的節(jié)點(diǎn)數(shù)

n_y=5#網(wǎng)格在y方向的節(jié)點(diǎn)數(shù)

L=1.0#彈性體的長(zhǎng)度

H=0.5#彈性體的高度

x=np.linspace(0,L,n_x+1)

y=np.linspace(0,H,n_y+1)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

nodes=np.vstack((X.flatten(),Y.flatten())).T

#定義單元

elements=[]

foriinrange(n_x):

forjinrange(n_y):

elements.append([i*(n_y+1)+j,(i+1)*(n_y+1)+j,(i+1)*(n_y+1)+j+1,i*(n_y+1)+j+1])

#定義外力

force=np.zeros((len(nodes),2))

force[:,1]=-1e6#垂直向下的力，單位：N/m^2

#定義位移邊界條件

displacement=np.zeros((len(nodes),2))

displacement[0,0]=1e-3#左邊界x方向位移，單位：m

displacement[-1,0]=-1e-3#右邊界x方向位移，單位：m

#定義應(yīng)力邊界條件

stress=np.zeros((len(nodes),2))

stress[0,1]=0#左邊界y方向應(yīng)力，單位：Pa

stress[-1,1]=0#右邊界y方向應(yīng)力，單位：Pa

#構(gòu)建剛度矩陣

K=lil_matrix((len(nodes)*2,len(nodes)*2))

foreinelements:

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

Ke=np.zeros((8,8))

foriinrange(4):

forjinrange(4):

#計(jì)算幾何矩陣

B=np.zeros((3,8))

B[0,2*i:2*i+2]=[1,0]

B[1,2*j:2*j+2]=[0,1]

B[2,2*i:2*i+2]=[0,1]

B[2,2*j:2*j+2]=[1,0]

#計(jì)算物理矩陣

D=np.array([[lmbda+2*mu,lmbda,0],

[lmbda,lmbda+2*mu,0],

[0,0,mu]])

#更新單元?jiǎng)偠染仃?/p>

Ke+=B.T@D@B

#更新全局剛度矩陣

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*e[i]:2*e[i]+2,2*e[j]:2*e[j]+2]+=Ke[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]

#應(yīng)用邊界條件

foriinrange(len(nodes)):

ifdisplacement[i,0]!=0:

K[2*i,:]=0

K[2*i,2*i]=1

force[2*i]=displacement[i,0]

ifdisplacement[i,1]!=0:

K[2*i+1,:]=0

K[2*i+1,2*i+1]=1

force[2*i+1]=displacement[i,1]

#求解位移

u=spsolve(K.tocsr(),force.flatten())

#計(jì)算應(yīng)變和應(yīng)力

epsilon=np.zeros((len(nodes),3))

sigma=np.zeros((len(nodes),3))

foriinrange(len(nodes)):

#計(jì)算幾何矩陣

B=np.zeros((3,8))

B[0,2*i:2*i+2]=[1,0]

B[1,2*i:2*i+2]=[0,1]

B[2,2*i:2*i+2]=[0,1]

B[2,2*i+1:2*i+3]=[1,0]

#計(jì)算應(yīng)變

epsilon[i]=B@u[2*i:2*i+2]

#計(jì)算應(yīng)力

sigma[i]=D@epsilon[i]

#輸出結(jié)果

print("位移：")

print(u.reshape((len(nodes),2)))

print("應(yīng)變：")

print(epsilon)

print("應(yīng)力：")

print(sigma)這個(gè)例子展示了如何使用有限元方法解決一個(gè)二維彈性力學(xué)問題，包括構(gòu)建剛度矩陣、應(yīng)用邊界條件、求解位移、計(jì)算應(yīng)變和應(yīng)力。通過調(diào)整材料屬性、網(wǎng)格大小和外力，可以模擬不同的彈性力學(xué)問題。4彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法：有限元法基礎(chǔ)4.1混合元法原理4.1.1混合元法的基本思想混合元法(MixedFiniteElementMethod)是一種在有限元分析中處理復(fù)雜問題的有效方法，尤其適用于流體動(dòng)力學(xué)、固體力學(xué)和電磁學(xué)等領(lǐng)域。其基本思想是將原始的偏微分方程組分解為多個(gè)方程，每個(gè)方程可以獨(dú)立地用不同的插值函數(shù)來逼近，從而提高解的精度和穩(wěn)定性。在彈性力學(xué)中，混合元法通常用于同時(shí)求解位移和應(yīng)力，或位移和應(yīng)變，而不是像標(biāo)準(zhǔn)有限元法那樣僅求解位移。4.1.2混合元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)混合元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建立在變分原理和泛函分析上?？紤]一個(gè)典型的彈性力學(xué)問題，其控制方程可以表示為：σ?其中，σ是應(yīng)力張量，ε是應(yīng)變張量，C是彈性系數(shù)矩陣，f是體力。在混合元法中，我們引入輔助變量，例如，將應(yīng)力或應(yīng)變作為獨(dú)立變量，從而將上述方程組轉(zhuǎn)化為：σ?接下來，我們使用Galerkin方法或其變種來離散這些方程。對(duì)于每個(gè)方程，我們選擇不同的插值函數(shù)，例如，位移可能使用線性插值，而應(yīng)力可能使用常數(shù)插值。這樣，我們可以在每個(gè)單元內(nèi)獨(dú)立地逼近位移和應(yīng)力，從而避免了標(biāo)準(zhǔn)有限元法中可能出現(xiàn)的鎖定位移或應(yīng)力的數(shù)值問題。4.1.3混合元法與標(biāo)準(zhǔn)有限元法的比較混合元法與標(biāo)準(zhǔn)有限元法的主要區(qū)別在于，混合元法允許獨(dú)立逼近不同物理量，如位移和應(yīng)力，而標(biāo)準(zhǔn)有限元法通常只逼近位移。這種獨(dú)立逼近的能力使得混合元法在處理某些特定問題時(shí)更為有效，例如，當(dāng)應(yīng)力或應(yīng)變的精確解對(duì)問題至關(guān)重要時(shí)，混合元法可以提供更準(zhǔn)確的結(jié)果。4.1.3.1示例：使用混合元法求解平面應(yīng)力問題假設(shè)我們有一個(gè)平面應(yīng)力問題，需要求解一個(gè)矩形板在邊界載荷下的位移和應(yīng)力。我們使用混合元法，其中位移使用線性插值，應(yīng)力使用常數(shù)插值。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

C=np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])*E/(1+nu)/(1-2*nu)

#定義網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

elements=np.array([[0,1,2],[0,2,3]])

#定義邊界條件和載荷

boundary_nodes=[0,3]

boundary_values=[np.array([0,0]),np.array([0,0])]

loads={1:np.array([0,-1e6]),2:np.array([0,-1e6])}

#初始化矩陣和向量

K=lil_matrix((2*len(nodes),2*len(nodes)),dtype=float)

F=np.zeros(2*len(nodes))

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

foreinelements:

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

Ke=np.zeros((6,6))

foriinrange(3):

forjinrange(3):

Ke[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]+=C@np.array([[1,0],[0,1]])*0.5

#應(yīng)用邊界條件

fori,nodeinenumerate(boundary_nodes):

Ke=np.delete(np.delete(Ke,2*node,axis=0),2*node,axis=1)

#將單元?jiǎng)偠染仃囂砑拥饺謩偠染仃?/p>

K+=Ke

#計(jì)算單元載荷向量

Fe=np.zeros(6)

fori,nodeinenumerate(e):

ifnodeinloads:

Fe[2*i:2*i+2]+=loads[node]

#應(yīng)用邊界條件

fori,nodeinenumerate(boundary_nodes):

Fe=np.delete(Fe,2*node)

#將單元載荷向量添加到全局載荷向量

F+=Fe

#應(yīng)用邊界條件

fori,nodeinenumerate(boundary_nodes):

K=np.delete(np.delete(K,2*node,axis=0),2*node,axis=1)

F=np.delete(F,2*node)

#求解線性方程組

u=spsolve(K.tocsr(),F)

#輸出位移和應(yīng)力

print("位移:",u)

print("應(yīng)力:",C@np.array([[1,0],[0,1]])*0.5)此代碼示例展示了如何使用混合元法求解一個(gè)簡(jiǎn)單的平面應(yīng)力問題。我們首先定義了材料屬性、網(wǎng)格、節(jié)點(diǎn)、邊界條件和載荷。然后，我們初始化了剛度矩陣和載荷向量，并通過遍歷每個(gè)單元來構(gòu)建它們。在每個(gè)單元中，我們計(jì)算了單元?jiǎng)偠染仃嚭洼d荷向量，應(yīng)用了邊界條件，并將它們添加到全局矩陣和向量中。最后，我們應(yīng)用了全局邊界條件，求解了線性方程組，并輸出了位移和應(yīng)力的結(jié)果?；旌显ㄍㄟ^允許獨(dú)立逼近不同物理量，提供了一種更靈活和精確的有限元分析方法，尤其是在處理應(yīng)力或應(yīng)變的精確解對(duì)問題至關(guān)重要的情況下。5混合元法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用5.1平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題5.1.1原理在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題是兩種常見的簡(jiǎn)化模型，用于分析薄板和厚板的應(yīng)力應(yīng)變分布。平面應(yīng)力問題假設(shè)結(jié)構(gòu)在厚度方向上的應(yīng)力可以忽略，而平面應(yīng)變問題則假設(shè)結(jié)構(gòu)在厚度方向上的應(yīng)變?yōu)榱恪；旌显ㄔ谔幚磉@類問題時(shí)，通過引入額外的未知數(shù)（如應(yīng)力或應(yīng)變）來提高數(shù)值解的精度和穩(wěn)定性。5.1.2內(nèi)容混合元法在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題中的應(yīng)用，主要涉及以下步驟：選擇位移和應(yīng)力的插值函數(shù)：在有限元分析中，位移和應(yīng)力通常由多項(xiàng)式函數(shù)表示?；旌显ㄔ试S位移和應(yīng)力使用不同的插值函數(shù)，這可以更好地逼近實(shí)際的應(yīng)力分布。建立變分原理：基于位移和應(yīng)力的插值函數(shù)，建立相應(yīng)的變分原理，如最小勢(shì)能原理或混合變分原理。求解方程：通過求解得到的變分方程，找到位移和應(yīng)力的數(shù)值解。5.1.2.1示例：平面應(yīng)力問題的混合元法求解假設(shè)我們有一個(gè)矩形薄板，其尺寸為10x1，材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。板的左邊界固定，右邊界受到均勻的橫向力作用。我們使用混合元法求解板的位移和應(yīng)力分布。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料參數(shù)

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

#定義幾何參數(shù)

L=10.0#長(zhǎng)度

H=1.0#高度

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n_x=10#x方向的單元數(shù)

n_y=1#y方向的單元數(shù)

#計(jì)算單元尺寸

dx=L/n_x

dy=H/n_y

#初始化位移和應(yīng)力矩陣

u=np.zeros((n_x+1,n_y+1))

v=np.zeros((n_x+1,n_y+1))

sigma_xx=np.zeros((n_x,n_y))

sigma_yy=np.zeros((n_x,n_y))

sigma_xy=np.zeros((n_x,n_y))

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

K=lil_matrix((2*(n_x+1)*(n_y+1),2*(n_x+1)*(n_y+1)))

F=np.zeros(2*(n_x+1)*(n_y+1))

#應(yīng)用邊界條件

foriinrange(n_y+1):

K[i,i]=1

K[n_x*(n_y+1)+i,n_x*(n_y+1)+i]=1

#應(yīng)用載荷

F[-1]=-1e6*dy#右邊界上的橫向力

#求解位移

u_v=spsolve(K.tocsr(),F)

#將位移向量轉(zhuǎn)換為網(wǎng)格上的位移

u=u_v[:len(u_v)//2].reshape((n_x+1,n_y+1))

v=u_v[len(u_v)//2:].reshape((n_x+1,n_y+1))

#計(jì)算應(yīng)力

foriinrange(n_x):

forjinrange(n_y):

du_dx=(u[i+1,j]-u[i,j])/dx

dv_dy=(v[i,j+1]-v[i,j])/dy

du_dy=(u[i,j+1]-u[i,j])/dy

dv_dx=(v[i+1,j]-v[i,j])/dx

sigma_xx[i,j]=E/(1-nu**2)*(du_dx+nu*dv_dy)

sigma_yy[i,j]=E/(1-nu**2)*(dv_dy+nu*du_dx)

sigma_xy[i,j]=E/(2*(1+nu))*(du_dy+dv_dx)

#輸出結(jié)果

print("位移u:")

print(u)

print("位移v:")

print(v)

print("應(yīng)力sigma_xx:")

print(sigma_xx)

print("應(yīng)力sigma_yy:")

print(sigma_yy)

print("應(yīng)力sigma_xy:")

print(sigma_xy)此代碼示例展示了如何使用混合元法求解平面應(yīng)力問題。首先，我們定義了材料和幾何參數(shù)，然后構(gòu)建了剛度矩陣和載荷向量，應(yīng)用了邊界條件和載荷，最后求解了位移并計(jì)算了應(yīng)力。5.2軸對(duì)稱問題5.2.1原理軸對(duì)稱問題是指結(jié)構(gòu)關(guān)于某一軸對(duì)稱，且所有物理量（如位移、應(yīng)力和應(yīng)變）都與該軸的徑向距離有關(guān)，而與角度無關(guān)。在處理這類問題時(shí)，混合元法可以有效地減少計(jì)算量，因?yàn)榭梢詫⑷S問題簡(jiǎn)化為二維問題。5.2.2內(nèi)容軸對(duì)稱問題的混合元法求解，通常包括以下步驟：選擇位移和應(yīng)力的插值函數(shù)：與平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題類似，但需要考慮軸對(duì)稱的特性。建立變分原理：基于軸對(duì)稱的假設(shè)，建立相應(yīng)的變分原理。求解方程：通過求解得到的變分方程，找到位移和應(yīng)力的數(shù)值解。5.2.2.1示例：軸對(duì)稱問題的混合元法求解假設(shè)我們有一個(gè)圓柱形壓力容器，其內(nèi)徑為1，外徑為2，材料為鋁，彈性模量為70GPa，泊松比為0.33。容器內(nèi)部受到均勻的壓力作用。我們使用混合元法求解容器的位移和應(yīng)力分布。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料參數(shù)

E=70e9#彈性模量

nu=0.33#泊松比

#定義幾何參數(shù)

r_i=1.0#內(nèi)徑

r_o=2.0#外徑

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n_r=10#徑向的單元數(shù)

#計(jì)算單元尺寸

dr=(r_o-r_i)/n_r

#初始化位移和應(yīng)力矩陣

u=np.zeros(n_r+1)

sigma_rr=np.zeros(n_r)

sigma_tt=np.zeros(n_r)

sigma_rt=np.zeros(n_r)

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

K=lil_matrix((n_r+1,n_r+1))

F=np.zeros(n_r+1)

#應(yīng)用邊界條件

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#應(yīng)用載荷

F[-1]=-1e6*2*np.pi*r_o*dr#內(nèi)表面的壓力

#求解位移

u=spsolve(K.tocsr(),F)

#計(jì)算應(yīng)力

foriinrange(n_r):

du_dr=(u[i+1]-u[i])/dr

sigma_rr[i]=E/(1-nu**2)*(du_dr+nu*u[i]/(r_i+i*dr))

sigma_tt[i]=E/(1-nu**2)*(u[i]/(r_i+i*dr)+nu*du_dr)

sigma_rt[i]=0#軸對(duì)稱問題中，徑向和切向的剪應(yīng)力為零

#輸出結(jié)果

print("位移u:")

print(u)

print("應(yīng)力sigma_rr:")

print(sigma_rr)

print("應(yīng)力sigma_tt:")

print(sigma_tt)此代碼示例展示了如何使用混合元法求解軸對(duì)稱問題。我們定義了材料和幾何參數(shù)，構(gòu)建了剛度矩陣和載荷向量，應(yīng)用了邊界條件和載荷，最后求解了位移并計(jì)算了應(yīng)力。5.3維彈性問題5.3.1原理三維彈性問題涉及結(jié)構(gòu)在三個(gè)方向上的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。混合元法在處理這類問題時(shí)，可以提供更準(zhǔn)確的應(yīng)力和應(yīng)變分布，尤其是在應(yīng)力集中或復(fù)雜幾何形狀的情況下。5.3.2內(nèi)容三維彈性問題的混合元法求解，通常包括以下步驟：選擇位移和應(yīng)力的插值函數(shù)：三維問題需要考慮六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量和三個(gè)位移分量。建立變分原理：基于三維彈性理論，建立相應(yīng)的變分原理。求解方程：通過求解得到的變分方程，找到位移和應(yīng)力的數(shù)值解。5.3.2.1示例：三維彈性問題的混合元法求解假設(shè)我們有一個(gè)立方體結(jié)構(gòu)，其尺寸為1x1x1，材料為銅，彈性模量為120GPa，泊松比為0.34。結(jié)構(gòu)的一側(cè)固定，另一側(cè)受到均勻的力作用。我們使用混合元法求解結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力分布。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料參數(shù)

E=120e9#彈性模量

nu=0.34#泊松比

#定義幾何參數(shù)

L=1.0#長(zhǎng)度

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n_x=5#x方向的單元數(shù)

n_y=5#y方向的單元數(shù)

n_z=5#z方向的單元數(shù)

#計(jì)算單元尺寸

dx=L/n_x

dy=L/n_y

dz=L/n_z

#初始化位移和應(yīng)力矩陣

u=np.zeros((n_x+1,n_y+1,n_z+1))

v=np.zeros((n_x+1,n_y+1,n_z+1))

w=np.zeros((n_x+1,n_y+1,n_z+1))

sigma_xx=np.zeros((n_x,n_y,n_z))

sigma_yy=np.zeros((n_x,n_y,n_z))

sigma_zz=np.zeros((n_x,n_y,n_z))

sigma_xy=np.zeros((n_x,n_y,n_z))

sigma_xz=np.zeros((n_x,n_y,n_z))

sigma_yz=np.zeros((n_x,n_y,n_z))

#構(gòu)建剛度矩陣和載荷向量

K=lil_matrix((3*(n_x+1)*(n_y+1)*(n_z+1),3*(n_x+1)*(n_y+1)*(n_z+1)))

F=np.zeros(3*(n_x+1)*(n_y+1)*(n_z+1))

#應(yīng)用邊界條件

foriinrange(n_y+1):

forjinrange(n_z+1):

K[i*(n_y+1)*(n_z+1),i*(n_y+1)*(n_z+1)]=1

K[(n_x+1)*(n_y+1)*(n_z+1)+i*(n_y+1)*(n_z+1),(n_x+1)*(n_y+1)*(n_z+1)+i*(n_y+1)*(n_z+1)]=1

K[2*(n_x+1)*(n_y+1)*(n_z+1)+i*(n_y+1)*(n_z+1),2*(n_x+1)*(n_y+1)*(n_z+1)+i*(n_y+1)*(n_z+1)]

#應(yīng)用載荷

F[-1]=-1e6*dy*dz#右邊界上的力

#求解位移

u_v_w=spsolve(K.tocsr(),F)

#將位移向量轉(zhuǎn)換為網(wǎng)格上的位移

u=u_v_w[:len(u_v_w)//3].reshape((n_x+1,n_y+1,n_z+1))

v=u_v_w[len(u_v_w)//3:2*len(u_v_w)//3].reshape((n_x+1,n_y+1,n_z+1))

w=u_v_w[2*len(u_v_w)//3:].reshape((n_x+1,n_y+1,n_z+1))

#計(jì)算應(yīng)力

foriinrange(n_x):

forjinrange(n_y):

forkinrange(n_z):

du_dx=(u[i+1,j,k]-u[i,j,k])/dx

dv_dy=(v[i,j+1,k]-v[i,j,k])/dy

dw_dz=(w[i,j,k+1]-w[i,j,k])/dz

du_dy=(u[i,j+1,k]-u[i,j,k])/dy

du_dz=(u[i,j,k+1]-u[i,j,k])/dz

dv_dx=(v[i+1,j,k]-v[i,j,k])/dx

dv_dz=(v[i,j,k+1]-v[i,j,k])/dz

dw_dx=(w[i+1,j,k]-w[i,j,k])/dx

dw_dy=(w[i,j+1,k]-w[i,j,k])/dy

sigma_xx[i,j,k]=E/(1-nu**2)*(du_dx+nu*(dv_dy+dw_dz))

sigma_yy[i,j,k]=E/(1-nu**2)*(dv_dy+nu*(du_dx+dw_dz))

sigma_zz[i,j,k]=E/(1-nu**2)*(dw_dz+nu*(du_dx+dv_dy))

sigma_xy[i,j,k]=E/(2*(1+nu))*(du_dy+dv_dx)

sigma_xz[i,j,k]=E/(2*(1+nu))*(du_dz+dw_dx)

sigma_yz[i,j,k]=E/(2*(1+nu))*(dv_dz+dw_dy)

#輸出結(jié)果

print("位移u:")

print(u)

print("位移v:")

print(v)

print("位移w:")

print(w)

print("應(yīng)力sigma_xx:")

print(sigma_xx)

print("應(yīng)力sigma_yy:")

print(sigma_yy)

print("應(yīng)力sigma_zz:")

print(sigma_zz)

print("應(yīng)力sigma_xy:")

print(sigma_xy)

print("應(yīng)力sigma_xz:")

print(sigma_xz)

print("應(yīng)力sigma_yz:")

print(sigma_yz)此代碼示例展示了如何使用混合元法求解三維彈性問題。我們定義了材料和幾何參數(shù)，構(gòu)建了剛度矩陣和載荷向量，應(yīng)用了邊界條件和載荷，最后求解了位移并計(jì)算了應(yīng)力。三維問題的處理比平面問題復(fù)雜，需要考慮更多的位移和應(yīng)力分量。6彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法：有限元法基礎(chǔ)6.1有限元分析步驟6.1.1前處理：網(wǎng)格劃分與節(jié)點(diǎn)編號(hào)在有限元分析中，前處理階段是將實(shí)際的物理結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)可以處理的數(shù)學(xué)模型的過程。這通常包括將結(jié)構(gòu)離散化為一系列小的、簡(jiǎn)單的形狀，稱為“單元”，以及對(duì)這些單元的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。6.1.1.1網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分是將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解為多個(gè)小單元的過程。這些單元可以是線性的、二次的、三角形的、四邊形的、六面體的等，具體取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀和分析的復(fù)雜性。例如，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的矩形板，可以使用四邊形單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。6.1.1.2節(jié)點(diǎn)編號(hào)節(jié)點(diǎn)編號(hào)是為每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)分配一個(gè)唯一編號(hào)的過程。這有助于在后續(xù)的分析中追蹤每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置和響應(yīng)。節(jié)點(diǎn)編號(hào)通常從1開始，順序進(jìn)行，確保每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)編號(hào)。6.1.1.3示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的矩形板，尺寸為1mx1m，厚度為0.1m。我們將使用四邊形單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義板的尺寸

length=1.0

width=1.0

thickness=0.1

#定義網(wǎng)格劃分的參數(shù)

num_elements_length=10

num_elements_width=10

#計(jì)算每個(gè)單元的尺寸

element_length=length/num_elements_length

element_width=width/num_elements_width

#創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes=np.zeros((num_elements_length*num_elements_width+1,2))

foriinrange(num_elements_length+1):

forjinrange(num_elements_width+1):

nodes[i*(num_elements_width+1)+j]=[i*element_length,j*element_width]

#創(chuàng)建單元連接

elements=np.zeros((num_elements_length*num_elements_width,4),dtype=int)

foriinrange(num_elements_length):

forjinrange(num_elements_width):

elements[i*num_elements_width+j]=[i*(num_elements_width+1)+j,

i*(num_elements_width+1)+j+1,

(i+1)*(num_elements_width+1)+j+1,

(i+1)*(num_elements_width+1)+j]

#可視化網(wǎng)格

plt.figure()

foriinrange(len(elements)):

plt.plot(nodes[elements[i,0],0],nodes[elements[i,0],1],'ro')

plt.plot(nodes[elements[i,1],0],nodes[elements[i,1],1],'ro')

plt.plot(nodes[elements[i,2],0],nodes[elements[i,2],1],'ro')

plt.plot(nodes[elements[i,3],0],nodes[elements[i,3],1],'ro')

plt.plot([nodes[elements[i,0],0],nodes[elements[i,1],0]],

[nodes[elements[i,0],1],nodes[elements[i,1],1]],'k-')

plt.plot([nodes[elements[i,1],0],nodes[elements[i,2],0]],

[nodes[elements[i,1],1],nodes[elements[i,2],1]],'k-')

plt.plot([nodes[elements[i,2],0],nodes[elements[i,3],0]],

[nodes[elements[i,2],1],nodes[elements[i,3],1]],'k-')

plt.plot([nodes[elements[i,3],0],nodes[elements[i,0],0]],

[nodes[elements[i,3],1],nodes[elements[i,0],1]],'k-')

plt.show()6.1.2求解過程：方程建立與求解在有限元分析中，求解過程涉及建立和求解結(jié)構(gòu)的平衡方程。這通常通過應(yīng)用胡克定律和牛頓第二定律來完成，將結(jié)構(gòu)的物理行為轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程。6.1.2.1方程建立方程建立階段是將每個(gè)單元的物理行為轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程的過程。這通常涉及到計(jì)算單元的剛度矩陣和載荷向量，然后將這些矩陣和向量組合成全局的剛度矩陣和載荷向量。6.1.2.2求解求解階段是求解全局平衡方程的過程。這通常涉及到求解一個(gè)大規(guī)模的線性方程組，可以使用直接求解器或迭代求解器來完成。6.1.2.3示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的彈簧系統(tǒng)，由兩個(gè)彈簧和兩個(gè)質(zhì)量塊組成。我們將使用有限元法來建立和求解系統(tǒng)的平衡方程。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

#定義系統(tǒng)的參數(shù)

k1=1000.0#彈簧1的剛度

k2=2000.0#彈簧2的剛度

m1=1.0#質(zhì)量塊1的質(zhì)量

m2=2.0#質(zhì)量塊2的質(zhì)量

f1=100.0#作用在質(zhì)量塊1上的力

f2=200.0#作用在質(zhì)量塊2上的力

#創(chuàng)建剛度矩陣

K=np.zeros((4,4))

K[0,0]=k1

K[0,1]=-k1

K[1,0]=-k1

K[1,1]=k1+k2

K[1,2]=-k2

K[2,1]=-k2

K[2,2]=k2

K[2,3]=-k2

K[3,2]=-k2

K[3,3]=k2

#創(chuàng)建質(zhì)量矩陣

M=np.zeros((4,4))

M[0,0]=m1

M[1,1]=m1

M[2,2]=m2

M[3,3]=m2

#創(chuàng)建載荷向量

F=np.array([f1,0.0,f2,0.0])

#求解平衡方程

u=np.linalg.solve(K,F)

#輸出位移

print("位移向量：",u)6.1.3后處理：結(jié)果分析與可視化在有限元分析中，后處理階段是分析和可視化求解結(jié)果的過程。這通常涉及到計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量，并將這些物理量可視化，以便于理解和解釋結(jié)果。6.1.3.1結(jié)果分析結(jié)果分析階段是計(jì)算和分析求解結(jié)果的過程。這通常涉及到計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量，然后對(duì)這些物理量進(jìn)行分析，以確定結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。6.1.3.2可視化可視化階段是將求解結(jié)果轉(zhuǎn)化為圖形的過程。這通常涉及到使用可視化工具，如Matplotlib或Paraview，將應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量轉(zhuǎn)化為圖形，以便于理解和解釋結(jié)果。6.1.3.3示例假設(shè)我們已經(jīng)求解了一個(gè)簡(jiǎn)單的矩形板的有限元分析，現(xiàn)在我們將分析和可視化求解結(jié)果。#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義求解結(jié)果

u=np.zeros((121,2))

u[100:121,0]=0.01

#可視化位移

plt.figure()

plt.quiver(nodes[:,0],nodes[:,1],u[:,0],u[:,1])

plt.show()以上就是有限元分析的基本步驟，包括前處理、求解過程和后處理。在實(shí)際應(yīng)用中，這些步驟可能會(huì)更加復(fù)雜，涉及到更多的物理定律和數(shù)學(xué)方程。但是，這些基本步驟提供了一個(gè)理解有限元分析過程的框架。7實(shí)例分析與計(jì)算7.1維桿件的混合元法分析在彈性力學(xué)中，一維桿件的混合元法分析主要關(guān)注于桿件的軸向變形?；旌显ńY(jié)合了位移法和應(yīng)力法的優(yōu)點(diǎn)，通過引入額外的未知數(shù)（如應(yīng)力或應(yīng)變）來提高數(shù)值解的精度和穩(wěn)定性。下面，我們將通過一個(gè)具體的例子來展示如何使用混合元法分析一維桿件。7.1.1問題描述假設(shè)有一根長(zhǎng)度為1米的均勻桿件，兩端分別固定和自由，受到軸向力的作用。桿件的橫截面積為0.01平方米，彈性模量為200GPa。我們需要計(jì)算桿件在不同軸向力作用下的軸向位移和應(yīng)力分布。7.1.2混合元法分析步驟離散化：將桿件離散為多個(gè)單元，每個(gè)單元采用混合元法進(jìn)行分析。建立方程：在每個(gè)單元內(nèi)，同時(shí)考慮位移和應(yīng)力的平衡方程。求解：通過求解全局方程組，得到位移和應(yīng)力的數(shù)值解。7.1.3代碼示例#彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法分析一維桿件

importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#橫截面積，單位：m^2

L=1.0#桿件長(zhǎng)度，單位：m

F=10000#軸向力，單位：N

#單元離散

n_elements=10

element_length=L/n_elements

#單元?jiǎng)偠染仃?/p>

k=(E*A)/element_length

K=np.array([[k,-k],[-k,k]])

#全局剛度矩陣

K_global=np.zeros((n_elements+1,n_elements+1))

foriinrange(n_elements):

K_global[i:i+2,i:i+2]+=K

#邊界條件

K_global[0,:]=0

K_global[:,0]=0

K_global[0,0]=1

#載荷向量

F_global=np.zeros(n_elements+1)

F_global[-1]=F

#求解位移

U=np.linalg.solve(K_global,F_global)

#計(jì)算應(yīng)力

stress=np.zeros(n_elements)

foriinrange(n_elements):

stress[i]=E*(U[i+1]-U[i])/element_length

#輸出結(jié)果

print("位移分布：",U)

print("應(yīng)力分布：",stress)7.1.4解釋此代碼首先定義了材料屬性和桿件的幾何參數(shù)，然后將桿件離散為10個(gè)單元。通過計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚥⒔M合成全局剛度矩陣，應(yīng)用邊界條件和載荷向量，最后求解得到位移和應(yīng)力的分布。7.2維平板的混合元法分析二維平板的混合元法分析通常涉及平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題。我們將通過一個(gè)具體的例子來展示如何使用混合元法分析二維平板。7.2.1問題描述考慮一個(gè)尺寸為1mx1m的平板，厚度為0.01m，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。平板的一邊固定，另一邊受到均勻分布的面力作用。我們需要計(jì)算平板在面力作用下的位移和應(yīng)力分布。7.2.2混合元法分析步驟網(wǎng)格劃分：將平板劃分為多個(gè)四邊形單元。建立方程：在每個(gè)單元內(nèi)，同時(shí)考慮位移和應(yīng)力的平衡方程。求解：通過求解全局方程組，得到位移和應(yīng)力的數(shù)值解。7.2.3代碼示例#彈性力學(xué)數(shù)值方法：混合元法分析二維平板

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

t=0.01#厚度，單位：m

F=1000#面力，單位：N/m

#單元屬性

n_elements_x=10

n_elements_y=10

element_length_x=1.0/n_elements_x

element_length_y=1.0/n_elements_y

#單元?jiǎng)偠染仃?/p>

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

K=np.zeros((8,8))

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]+=D

#全局剛度矩陣

n_nodes=(n_elements_x+1)*(n_elements_y+1)

K_global=lil_matrix((2*n_nodes,2*n_nodes))

foriinrange(n_elements_x):

forjinrange(n_elements_y):

node1=i*(n_elements_y+1)+j

node2=(i+1)*(n_elements_y+1)+j

node3=(i+1)*(n_elements_y+1)+j+1

node4=i*(n_elements_y+1)+j+1

nodes=[node1,node2,node3,node4]

forkinrange(4):

forlinrange(4):

K_global[2*nodes[k]:2*nodes[k]+2,2*nodes[l]:2*nodes[l]+2]+=K[2*k:2*k+2,2*l:2*l+2]

#邊界條件

foriinrange(n_nodes):

ifi%(n_elements_y+1)==0:

K_global[i,:]=0

K_global[i,i]=1

K_global[i+1,:]=0

K_global[i+1,i+1]=1

#載荷向量

F_global=np.zeros(2*n_nodes)

foriinrange(n_elements_x+1):

node=i*(n_elements_y+1)

F_global[2*node+1]=F*element_length_x*t

#求解位移

U=spsolve(K_global.tocsc(),F_global)

#計(jì)算應(yīng)力

stress=np.zeros((n_elements_x,n_elements_y))

foriinrange(n_elements_x):

forjinrange(n_elements_y):