培優(yōu)課橢圓的綜合問題及應(yīng)用課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第三章圓錐曲線的方程培優(yōu)課橢圓的綜合問題及應(yīng)用人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一橢圓的中點(diǎn)弦問題【例1】

已知橢圓

的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1),求直線AB的方程.解

(方法1)易知直線AB的斜率k存在.設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),(方法2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.∵M(jìn)(2,1)為AB的中點(diǎn),∴x1+x2=4,y1+y2=2.(方法3)設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(x,y),由于AB的中點(diǎn)為M(2,1),則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-x,2-y).∵A,B兩點(diǎn)都在橢圓上,①-②,得x+2y-4=0.顯然點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程.代入驗(yàn)證可知點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足這個(gè)方程,而過A,B的直線只有一條,故所求直線的方程為x+2y-4=0.規(guī)律方法

處理橢圓的中點(diǎn)弦問題的三種途徑(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組,消掉其中的一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元二次方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.(2)點(diǎn)差法:設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,兩式相減即得弦的中點(diǎn)與斜率的關(guān)系.即“設(shè)而不求”思想,這也是此類問題最常用的方法.(3)中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法:先設(shè)出弦的一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)得出弦的另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),分別代入橢圓方程作差即得.變式訓(xùn)練1已知橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則橢圓的方程為

.探究點(diǎn)二直線與橢圓的位置關(guān)系規(guī)律方法

直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法

變式訓(xùn)練2已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F2(2,0),長軸長為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A,B兩點(diǎn).(1)求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo);(2)求△OAB的面積.探究點(diǎn)三橢圓中的最值與范圍問題【例3】

如圖,點(diǎn)A,B分別是橢圓

長軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.規(guī)律方法

解決與橢圓有關(guān)的最大(小)值或范圍問題的方法(1)定義法:利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理.(2)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘幾何特征,尋找最大(小)值點(diǎn)(或臨界點(diǎn)),進(jìn)而求解.(3)函數(shù)法:選擇恰當(dāng)?shù)淖宰兞?構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值或范圍.變式訓(xùn)練3[2023四川達(dá)州期末]古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積等于圓周率π與橢圓的長半軸長、短半軸長的乘積.已知橢圓Γ的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1,F2均在x軸上,離心率等于,面積為15π.(1)求Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l與圓M:x2+y2=16相切,且直線l與Γ交于C,D兩點(diǎn),求△COD面積的最大值.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+t,C(x1,y1),D(x2,y2),因?yàn)橹本€l與圓M相切,探究點(diǎn)四橢圓中的定點(diǎn)、定值問題(1)求橢圓C的方程.(2)已知P(0,2),過點(diǎn)Q(-1,-2)作直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.試問k1+k2是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.(2)k1+k2為定值4.①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=-1,②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-(-2)=k[x-(-1)],即y=kx+k-2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),規(guī)律方法

定點(diǎn)、定值問題的求法定點(diǎn)、定值是在變化過程中不變的量,解決這類問題的基本思想是函數(shù)思想.具體處理方法有以下兩種:(1)從特殊關(guān)系入手,求出定點(diǎn)(定值),再證明這個(gè)定點(diǎn)(定值)與變量無關(guān).(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算過程中消去變量.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)直線與橢圓的位置關(guān)系;(2)橢圓中的中點(diǎn)弦、最值與范圍、定點(diǎn)與定值問題.2.方法歸納:分類討論法、點(diǎn)差法.3.常見誤區(qū):容易忽略直線中斜率不存在的情況.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]直線y=x-1被橢圓2x2+y2=4所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A12345678910111213141516172.[探究點(diǎn)三]已知F1,F2是橢圓

+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則使|PF1|·|PF2|取最大值的點(diǎn)P為(

)A.(-2,0) B.(0,1)C.(2,0) D.(0,1)或(0,-1)D1234567891011121314151617B12345678910111213141516174.[探究點(diǎn)二]過橢圓

+y2=1的右焦點(diǎn)且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=

.

11234567891011121314151617212345678910111213141516176.[探究點(diǎn)四]已知F1為橢圓C:+y2=1的左焦點(diǎn),直線l:y=x-1與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),那么|F1A|+|F1B|的值為

.

12345678910111213141516177.[探究點(diǎn)一][2023山西陽泉期末]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),該橢圓被直線x+3y-4=0所截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.1234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617B級必備知識基礎(chǔ)練D123456789101112131415161710.直線y=x+2與橢圓(m>0且m≠3)有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是(

)A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)B∴Δ=(4m)2-4m(3+m)>0,解得m>1或m<0.又m>0且m≠3,∴m>1且m≠3.1234567891011121314151617B1234567891011121314151617A1234567891011121314151617解析

如圖所示,依題意得∠F1PF2=90°,|PF2|=c,∴|PF1|=2a-c.又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(2a-c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,1234567891011121314151617AD1234567891011121314151617解析

若C上存在點(diǎn)P滿足∠APB=120°,則只需當(dāng)點(diǎn)P在短軸頂點(diǎn)時(shí)∠APB≥120°.故分析長半軸與短半軸的關(guān)系即可.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí),若∠APB≥120°,1234567891011121314151617A123456789101112131415161715.已知P是橢圓(a>b>0)上的一點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),∠F1PF2=120°,且|PF1|=3|PF2|,則橢圓的離心率為

.

解析

設(shè)|PF2|=m(m>0),則|PF1|=3m.由∠F1PF2=120°得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

120°,1234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617C級必備知識基礎(chǔ)練17.有一橢圓形溜冰場,長軸長是100m,短軸長是60m.現(xiàn)要在這個(gè)溜冰場上劃定一個(gè)各頂點(diǎn)都在溜冰場邊界上的矩形,且使這個(gè)矩形的面積最大,試確定這個(gè)矩形的頂點(diǎn)的位置.這時(shí)矩形的周長是多少?123456