28高中數(shù)學(xué)新教材課堂導(dǎo)學(xué)案（變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義）及答案

課堂導(dǎo)學(xué)（5.1變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義）【知識(shí)點(diǎn)】1.瞬時(shí)速度的概念：物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度.2.平均變化率的概念：對(duì)于函數(shù)，設(shè)自變量從變化到，相應(yīng)地，函數(shù)值就從變化到.這時(shí)，的變化量為，的變化量為，把比值，即叫做函數(shù)從到的平均變化率.3.瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)的物理意義）的概念：如果當(dāng)時(shí)，平均變化率無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱(chēng)在處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做在處的導(dǎo)數(shù)（也稱(chēng)為瞬時(shí)變化率），記作或，即.4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是在點(diǎn)的斜率，即.這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【典例】例1.（課本P59改編）全紅嬋在一次跳水中，身體重心相對(duì)于水面的高度（單位：）與起跳后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，記為，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：（1）全紅嬋參加的項(xiàng)目是（B）A.女子三米跳板B.女子十米跳臺(tái)C.男子三米跳板D.男子十米跳臺(tái)（2）當(dāng)時(shí)，全紅嬋達(dá)到最高，最高時(shí)；（3）計(jì)算全紅嬋從起跳到達(dá)到最高點(diǎn)的這個(gè)時(shí)段的平均速度為；（4）計(jì)算當(dāng)，全紅嬋的平均速度；（5）當(dāng)時(shí)，①在之前或之后任意取一個(gè)時(shí)刻（且）計(jì)算與之間的平均速度；②當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于定值，即為全紅嬋在時(shí)的瞬時(shí)速度.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以身體重心離水面11米，是十米跳臺(tái)；（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸公式時(shí)，；（3）即當(dāng)時(shí)，（米/秒）（4）當(dāng)時(shí)，；（5）①②當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于定值，即為全紅嬋在時(shí)的瞬時(shí)速度.總結(jié)：平均速度與瞬時(shí)速度的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：瞬時(shí)速度刻畫(huà)物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而平均速度則是刻畫(huà)物體在某一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，與該段時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻無(wú)關(guān)；2.聯(lián)系：瞬時(shí)速度是平均速度的極限值.例2.已知函數(shù)，回答以下問(wèn)題（1）當(dāng)時(shí)候，函數(shù)的平均變化率為；（2）當(dāng)時(shí)候，函數(shù)的平均變化率為；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率為.解：（1）；（2）；（3）先算再取極限，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，記，若當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨向于一個(gè)確定的值，則記這個(gè)值為，即.例3.（割線斜率與切線斜率）已知函數(shù)，回答以下問(wèn)題（1）函數(shù)在與（且）兩點(diǎn)間的割線斜率為；（2）當(dāng)無(wú)限趨近與0是，割線斜率無(wú)限趨近于定值，即為在時(shí)的切線斜率；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的切線斜率為.例4.已知函數(shù)，求在處的切線方程.【作業(yè)】三、練習(xí)檢測(cè)1.函數(shù)，當(dāng)自變量由變化到時(shí)，函數(shù)的變化率（D）（A）（B）（C）（D）2.若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為4，則m的值為(C)A.-5 B.-3 C.3 D.52.答案：C解析：由題意，得，即，解得.3.曲線在點(diǎn)處的切線方程為(C)A. B.C. D.3.答案：C解析：因?yàn)?，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率，則切線方程為，即為.4.在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(diǎn)（1，2）及附近一點(diǎn)（1＋Δx，2＋Δy），則為（C）A.Δx＋＋2 B.Δx－－2C.Δx＋2 D.2＋Δx－4.【答案】C【解析】∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝（1＋Δx）2＋1－2＝2Δx＋（Δx）2，∴＝2＋Δx。5.（多選）若當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中正確的是(AD)A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.曲線上點(diǎn)處的切線斜率為-1D.曲線上點(diǎn)處的切線斜率為-25.答案：AD解析：由題意，得曲線上點(diǎn)處的切線斜率為-2，故C錯(cuò)誤，D正確；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故A正確，B錯(cuò)誤.故選AD.6.汽車(chē)行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示。在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，，，其三者的大小關(guān)系是________。6.【答案】3>2>1【解析】∵，，由圖象可知：kMA<kAB<kBC，∴3>2>1。解答題7.若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下（位移：m，時(shí)間：s）：求：（1）物體在t∈[3，5]內(nèi)的平均速度；（2）物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度；（3）物體的初速度v0。【思路分析】（1）求，注意解析式的選擇。（2）先求，再求瞬時(shí)速度s′（1）。（3）初速度v0為t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度s′（0）?！窘馕觥浚?）∵物體在t∈[3，5]內(nèi)的時(shí)間變化量為Δt＝5－3＝2，∴物體在t∈[3，5]內(nèi)的位移變化量為Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×（52－32）＝48，∴物體在t∈[3，5]上的平均速度為＝＝24（m/s）。（2）物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝1處的瞬時(shí)變化率?！呶矬w在t＝1附近的平均變化率為，∴物體在t＝1處的瞬時(shí)變化率為s′（1）＝＝（3Δt－12）＝－12（m/s），即物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－12m/s。（3）求物體的初速度v0即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度?！呶矬w在t＝0附近的平均變化率為，∴物體在t＝0處的瞬時(shí)速度為s′（0）＝＝（3Δt－18）＝－18（m/s），即物體的初速度為－18m/s。8.求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的切線方程.【思路分析】求函數(shù)f（x）在任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求平均變化率，再求f′（x0）?！窘馕觥?/p>