1.2.1等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式（第1課時(shí)）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第一章數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)生活中的實(shí)例,理解等差數(shù)列的概念.2.會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.掌握等差數(shù)列的判斷與證明方法.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

等差數(shù)列的概念

保障了定義中差式的全覆蓋

對(duì)于一個(gè)數(shù)列,如果從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

都是同一個(gè)常數(shù),那么稱(chēng)這樣的數(shù)列為等差數(shù)列,稱(chēng)這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的

,通常用字母d表示.

差公差名師點(diǎn)睛等差數(shù)列概念的理解(1)定義中強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”,因?yàn)榈?項(xiàng)沒(méi)有前一項(xiàng).(2)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個(gè)常數(shù)(因?yàn)橥粋€(gè)常數(shù)體現(xiàn)了等差數(shù)列的基本特征).(3)公差d是每一項(xiàng)(從第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.(4)公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零.(5)等差數(shù)列的增減性與公差d的關(guān)系:當(dāng)d>0時(shí),是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),是遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),是常數(shù)列.(6)等差數(shù)列的定義式:an-an-1=d(n≥2).思考辨析若一個(gè)等差數(shù)列的公差d=0,則該數(shù)列具有什么特征?提示

該數(shù)列為常數(shù)列,每項(xiàng)都相同.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)數(shù)列3,2,1是等差數(shù)列.(

)(3)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

則{an}是等差數(shù)列.(

)(4)等差數(shù)列{an}的增減性是由公差d決定的.(

)×√×√2.(多選題)下列數(shù)列是等差數(shù)列的是(

)A.1,1,1,1,1

B.4,7,10,13,16ABC解析

由等差數(shù)列的定義得選項(xiàng)ABC是等差數(shù)列;選項(xiàng)D中,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù),故不是等差數(shù)列.知識(shí)點(diǎn)2

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若首項(xiàng)是a1,公差是d,則等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d.

當(dāng)d≠0時(shí),可以看成是an關(guān)于n的一次函數(shù)

名師點(diǎn)睛1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于四個(gè)基本量a1,d,n和an的表達(dá)式,所以由首項(xiàng)a1和公差d可以求出數(shù)列中的任意一項(xiàng).2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以推廣為an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng),就可以求出其他的任意一項(xiàng).思考辨析已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列嗎?提示

數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為p+q,公差為p.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+nd(其中a1為數(shù)列的首項(xiàng),公差為d).(

)(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中,an是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù).(

)(3)如果等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n+1,那么該數(shù)列的公差為2.(

)××√2.[人教B版教材例題]已知等差數(shù)列10,7,4,…,(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng);(2)-56是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)?-40呢?如果是,求出是第幾項(xiàng);如果不是,說(shuō)明理由.解

(1)記數(shù)列為{an},則由題意知a1=10,d=7-10=-3,因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=10+(n-1)×(-3)=-3n+13.當(dāng)n=10時(shí),有a10=-3×10+13=-17,因此第10項(xiàng)為-17.(2)設(shè)-56是數(shù)列中的第n項(xiàng),則-3n+13=-56,解得n=23,所以-56是數(shù)列的第23項(xiàng).設(shè)-40是數(shù)列中的第n項(xiàng),則-3n+13=-40,解得n=,由此可知-40不是數(shù)列中的項(xiàng).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一等差數(shù)列的概念【例1】

(多選題)下列命題中正確的是(

)A.數(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列B.數(shù)列a,a-1,a-2,a-3是公差為-1的等差數(shù)列C.數(shù)列{2n+1},n∈N+是等差數(shù)列D.數(shù)列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列BC解析

A中,數(shù)列是公差為-2的等差數(shù)列;B中,a-1-a=a-2-(a-1)=a-3-(a-2)=-1,是公差為-1的等差數(shù)列;C中,an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2為常數(shù),是等差數(shù)列;D中,a2-a1=0,an-an-1=2(n≥3),數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.規(guī)律方法

判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列,就是判斷從該數(shù)列的第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)的差是否為同一個(gè)常數(shù).但當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多或是無(wú)窮數(shù)列時(shí),逐一驗(yàn)證顯然不行,這時(shí)可以驗(yàn)證an+1-an(n∈N+)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).變式訓(xùn)練1若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+5(n∈N+),則對(duì)此數(shù)列描述正確的是(

)A.{an}是公差為2的等差數(shù)列B.{an}是公差為5的等差數(shù)列C.{an}是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D.{an}是公差為n的等差數(shù)列A解析

∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴{an}是公差為2的等差數(shù)列.探究點(diǎn)二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式角度1.求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【例2】

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a15=8,a60=20,求an.分析先求出a1,d,再求an.角度2.利用通項(xiàng)公式判斷項(xiàng)或求項(xiàng)【例3】

在等差數(shù)列{an}中,(1)若a5=15,a17=39,試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng);(2)若a2=11,a8=5,求a10.∴an=7+2(n-1)=2n+5.令2n+5=91,得n=43.∵43為正整數(shù),∴91是此數(shù)列中的項(xiàng).∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n,∴a10=13-10=3.變式探究本例3(2)中,“求a10”改為“求an+2”.解

由(2)知an=13-n,∴an+2=13-(n+2)=11-n.規(guī)律方法

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定,所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,只需求出首項(xiàng)與公差.2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式中的四個(gè)參數(shù)及其關(guān)系等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,n∈N+四個(gè)參數(shù)a1,d,n,an“知三求一”知a1,d,n,求an知a1,d,an,求n知a1,n,an,求d知d,n,an,求a13.通項(xiàng)公式可變形為an=dn+(a1-d),當(dāng)d≠0時(shí),可把a(bǔ)n看作自變量為n的一次函數(shù).變式訓(xùn)練2已知在等差數(shù)列{an}中,a5=-20,a20=-35,試求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式.解

設(shè){an}的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d(n∈N+),由已知得故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-16+(n-1)×(-1)=-15-n,n∈N+.變式訓(xùn)練3(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng);(2)判斷-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項(xiàng),如果是,是第幾項(xiàng)?解

設(shè)已知的等差數(shù)列為{an}.由a1=8,a2=5,得公差d=a2-a1=5-8=-3,由n=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.解

設(shè)已知的等差數(shù)列為{an}.由a1=-5,公差d=-9-(-5)=-4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.由題意,令-401=-4n-1,解得n=100,即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).探究點(diǎn)三等差數(shù)列的判斷與證明【例4】

判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(1)在數(shù)列{an}中,an=3n+2;(2)在數(shù)列{an}中,an=n2+n.分析根據(jù)等差數(shù)列的定義,判斷an+1-an是否為常數(shù).解

(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+),故該數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故該數(shù)列不是等差數(shù)列.(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.規(guī)律方法

判斷等差數(shù)列方法(1)定義法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N+)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)通項(xiàng)公式法:數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q(p,q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.注意:①通項(xiàng)公式法不能作為證明方法.②若an+1-an為常數(shù),則該常數(shù)為等差數(shù)列{an}的公差.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)等差數(shù)列的定義.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)等差數(shù)列的判斷與證明.2.方法歸納:等價(jià)轉(zhuǎn)化.3.常見(jiàn)誤區(qū):忽略n的取值范圍.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練18191.[探究點(diǎn)一](多選題)下列數(shù)列中,是等差數(shù)列的有(

)A.4,5,6,7,8,…B.3,0,-3,0,-6,…C.0,0,0,0,…ACD解析

選項(xiàng)A是以4為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列;選項(xiàng)B后一項(xiàng)減前一項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù),所以不是等差數(shù)列;選項(xiàng)C是常數(shù)列,所以是等差數(shù)列;選項(xiàng)D是以

為首項(xiàng),以

為公差的等差數(shù)列.123456789101112131415161718192.[探究點(diǎn)二(角度2)]已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3-2n(n∈N+),則它的公差d為(

)A.2 B.3 C.-2 D.-3C解析

由等差數(shù)列的定義,得d=a2-a1=-1-1=-2.123456789101112131415161718193.[探究點(diǎn)一]已知在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}中,滿(mǎn)足a1+a3=,則a2等于(

)A.0 B.1 C.2 D.4C解析

∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴a2-a1=a3-a2,∴a1+a3=2a2,∴2a2=,解得a2=2(a2=0舍去).123456789101112131415161718194.[探究點(diǎn)三](多選題)已知下列數(shù)列的通項(xiàng)公式,其中是等差數(shù)列的是(

)A.an=1-3n B.an=2n-3C.an=2n

D.an=3ABD解析

當(dāng)n≥2時(shí),對(duì)于A(yíng),an-an-1=1-3n-[1-3(n-1)]=-3,是等差數(shù)列;對(duì)于B,an-an-1=2n-3-[2(n-1)-3]=2,是等差數(shù)列;對(duì)于C,an-an-1=2n-2n-1=2n-1,不是常數(shù),不是等差數(shù)列;對(duì)于D,an-an-1=3-3=0,是等差數(shù)列.12345678910111213141516171819

3123456789101112131415161718196.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知{an}為等差數(shù)列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,則a3=

.

-4解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4.123456789101112131415161718197.[探究點(diǎn)二]在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=8,a4=7.(1)求數(shù)列的第10項(xiàng);(2)問(wèn)112是數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)?(3)在80到110之間有多少項(xiàng)?12345678910111213141516171819解

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,(1)a10=a1+9d=-2+27=25.(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39,所以112是數(shù)列{an}的第39項(xiàng).所以n的取值為29,30,…,38,共10項(xiàng).123456789101112131415161718198.[探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an}中,a3=9,a5=5,且滿(mǎn)足an+2-2an+1+an=0(n∈N+),試判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列?若是,求數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.解

因?yàn)閍n+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an(n∈N+),說(shuō)明這個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,后一項(xiàng)減前一項(xiàng)所得的差始終相等,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.由a3=9,a5=5,可知a4=7,所以d=-2,所以a1=13.123456789101112131415161718B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.在等差數(shù)列{an}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,則公差d=(

)D解析

等差數(shù)列{an}中,∵a2+a3+a4=6,a6=4,∴3a1+6d=6,a1+5d=4,解得d=,故選D.1912345678910111213141516171810.在等差數(shù)列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則b15等于(

)A.30 B.45 C.90 D.186C1912345678910111213141516171811.在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值為(

)A.24 B.22 C.20 D.-8A解析

設(shè)公差為d,∵a1+3a8+a15=120,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,∴5a8=120.∴a8=24.∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.191234567891011121314151617181912.將1到2021這2021個(gè)數(shù)中,能被3除余1,且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列{an},則a10等于(

)A.190 B.211

C.232

D.253A解析

由題意可得an能被3除余1,且被7除余1,則an-1是21的倍數(shù),即an-1=21(n-1),即an=21n-20,∴a10=21×10-20=190.12345678910111213141516171813.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為-,若{an}從第6項(xiàng)起出現(xiàn)正數(shù),則公差d的值可能為(

)AC1912345678910111213141516171814.(多選題)在等差數(shù)列{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入k(k∈N+)個(gè)數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.若b9是數(shù)列{an}的項(xiàng),則k的值可能為(

)A.1 B.3 C.5 D.7ABD解析

由題意得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,∴在等差數(shù)列{an}中的項(xiàng)在新的等差數(shù)列{bn}中間隔排列,且下標(biāo)是以1為首項(xiàng),k+1為公差的等差數(shù)列,則an=b1+(n-1)(k+1),∵b9是數(shù)列{an}的項(xiàng),令1+(n-1)(k+1)=9,當(dāng)n=2時(shí),k=7,當(dāng)n=3時(shí),k=