第2講　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx2.借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（α±π2，α±π同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用2023全國卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全國卷甲T9；2020全國卷ⅠT9本講主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式化簡與求值，常與三角恒等變換結(jié)合命題，考查基本運(yùn)算能力.題型以選擇題、填空題為主，難度中等偏下.在2025年高考復(fù)習(xí)備考時，要掌握公式并會靈活運(yùn)用.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用2020北京T9；2019全國卷ⅠT7同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用學(xué)生用書P0751.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.（2）商的關(guān)系：tanα＝sinαcosα（α≠π2＋kπ，（3）公式常見變形：sin2α＝1－cos2α；sinα＝±1－cos2α；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α+1，cos2α＝cos注意利用平方關(guān)系時，若要開方，要注意判斷符號.2.誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα②－sinα－sinα③sinαcosα④cosα余弦cosα⑤－cosαcosα⑥－cosαsinα⑦－sinα正切tanα⑧tanα－tanα⑨－tanα口訣奇變偶不變，符號看象限.1.[易錯題]已知α是第二象限角，sinα＝513，則cosα＝（AA.－1213 B.－513 C.513 解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin2.[2023貴州聯(lián)考]已知tanθ＝－2，則sinθ＋cosθsinA.－1 B.－3 C.－12 D.解析因?yàn)閠anθ＝－2，則sinθ＋cosθsinθ＝1＋1tan3.[2023上饒重點(diǎn)中學(xué)模擬]下面誘導(dǎo)公式使用正確的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθ B.cos（3π2＋θ）＝－C.sin（3π2－θ）＝－cosθ D.cos（θ－π2）＝－解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A錯誤；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B錯誤；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正確；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）4.sin1050°＝－12解析sin1050°＝sin（－30°）＝－125.[2023成都八中模擬]已知tan（π＋α）＝2，則sin（π2＋α解析因?yàn)閠an（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋α）＋sin（π學(xué)生用書P076命題點(diǎn)1同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用例1（1）[2024山東模擬]若tanθ＝2，則1＋sinθcosθ＝（B）A.73 B.C.54 D.解析易知cosθ≠0，則1＋sinθcosθ＝1+sinθcosθ1＝sin2θ（2）[2023全國卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，則sinθ－cosθ＝－5解析由tanθ＝sinθcosθ＝12，sin2θ＋cos2θ=1，且方法技巧同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用技巧（1）利用sin2α＋cos2α＝1和tanα＝sinαcosα，可以解決sinα，cosα，（2）利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以解決sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα知一求二的問題，注意方程思想的應(yīng)用.（3）利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正、余弦互化；利用tanα＝sinαcosα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦、切互化，主要考查齊次式的使用技巧以及“訓(xùn)練1[多選/2023江西省上饒市第一中學(xué)模擬]已知θ∈（－π，0），sinθ＋cosθ＝713，則下列結(jié)論正確的是（BDA.θ∈（－π，－π2） B.cosθ＝C.tanθ＝512 D.sinθ－cosθ＝－解析由sinθ＋cosθ＝713可得，cosθ＝713－sin則（713－sinθ）2＋sin2θ＝1解得sinθ＝1213或sinθ＝－5由θ∈（－π，0），可得sinθ＝－513，cosθ＝1213，故由sinθ＝－513＜0，cosθ＝1213＞0可得θ為第四象限角，又θ∈（－π，0），所以（－π2，0），故Atanθ＝sinθcosθ＝－sinθ－cosθ＝－513－1213＝－1713，故D正確命題點(diǎn)2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例2（1）[全國卷Ⅲ]函數(shù)f（x）＝15sin（x＋π3）＋cos（x－π6）的最大值為（A.65 B.1 C.35 解析因?yàn)閏os（x－π6）＝cos[（x＋π3）－π2]＝sin（x＋π3），所以f（x）＝65sin（x＋π3），所以（2）[北京高考]若函數(shù)f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx的最大值為2，則常數(shù)φ的一個取值為π2（答案不唯一）解析易知當(dāng)y＝sin（x＋φ），y＝cosx同時取得最大值1時，函數(shù)f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cosx，則φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常數(shù)φ的一個取值為π方法技巧應(yīng)用誘導(dǎo)公式的一般思路（1）化負(fù)角為正角，化大角為小角，直到化到銳角；（2）統(tǒng)一角，統(tǒng)一名；（3）角中含有π2的整數(shù)倍時，用公式去掉π2的整數(shù)訓(xùn)練2（1）[2023山東省濟(jì)寧市模擬]已知cos（π6－θ）＝13，則cos（5π2sin（5π3－θ）的值為－1解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（－3cos（π6－θ）＝－（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，則sin（－tan2（π－α）的值為－916解析原式＝－sin（3π2＋α）cos（3π2－α）sinαcosα·tan2α＝－cosαsinαsinαcosα·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－35，x2＝2.又α命題點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例3（1）[2023陜西模擬]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，則tan（2π3－αA.52 B.－52 C.53 解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，則sin（α＋π3）＝1－cos2（α＋π3）＝1－（－23）2＝53，所以tan（α＋π3）＝sin（α＋π3）cos（（2）[全國卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，則tan（θ－π4）＝－解析解法一因?yàn)閟in（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因?yàn)棣葹榈谒南笙藿牵裕?＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－1－（解法二因?yàn)棣仁堑谒南笙藿?，且sin（θ＋π4）＝35，所以θ＋cos（θ＋π4）＝45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π方法技巧利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式解題的基本思路（1）分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋求條件及所求間的關(guān)系，尤其是角之間的關(guān)系；（2）選擇恰當(dāng)公式，利用公式靈活變形；（3）化簡求值.注意（1）角的范圍會影響三角函數(shù)值的符號，開方時要先判斷三角函數(shù)值的符號.（2）化簡過程是恒等變換.訓(xùn)練3[2024安徽省皖江名校聯(lián)考]已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（2，4）在角α終邊上，則sin3（π－αA.23 B.32 C.－35 解析由題意可得tanα＝2，所以原式＝sin3α＋cos3αsi1.[命題點(diǎn)1/2023廣州市一測]已知θ為第一象限角，sinθ－cosθ＝33，則tan2θ＝（DA.223 B.255 C.－22解析由sinθ－cosθ＝33，得1－2sinθcosθ＝13，∴sinθcosθ＝13，∴（sincosθ）2＝1＋2sinθ·cosθ＝53∵θ是第一象限角，∴sinθ＋cosθ＝153解法一易得sinθ＝3（5+1）6，cosθ＝3（∴tan2θ＝2×5+15－1÷[1－（5+15－解法二易得sinθcosθ＝13，∴sin2θ＝2∵sinθ－cosθ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易錯警示：不知道求角∴π2＜2θ＜π∴cos2θ＝－53，∴tan2θ＝－252.[命題點(diǎn)2/北京高考]已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（C）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，則當(dāng)k＝2n，n∈Z時，α＝2nπ＋β，則sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時，α＝（2n＋1）π－β，則sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，則α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要條件.3.[命題點(diǎn)3/2023廣東惠州一模]若tanα＝cosα3－sinα，則sin（2α＋π2）＝A.23 B.13 C.89 解析因?yàn)閠anα＝cosα3－sinα即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝7故選D.學(xué)生用書·練習(xí)幫P2921.若θ∈（π2，π），則1－2sin（πA.sinθ－cosθ B.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ） D.sinθ＋cosθ解析1－2sin（π＋θ）sin（3π2－θ）＝1－2sinθcosθ＝（sinθ－cosθ）2＝｜sinθ－cosθ｜，因?yàn)?.[2024北大附中模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，若sinα＝45，則cosβ＝（BA.－45 B.45 C.－35 解析因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，所以α＋β2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因?yàn)閟inα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα3.[2024江西聯(lián)考]已知sin（α＋π3）＝－14，則cos（α＋5π6）＝（A.－14 B.14 C.154 解析因?yàn)閟in（α＋π3）＝－14，所以cos（α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin（α＋4.[2024內(nèi)蒙古包頭模擬]若tanα＝2，則sinα（sinα＋cosα）＝（D）A.25 B.35 C.45 解析sinα（sinα＋cosα）＝sin2α＋sinαcosαsi5.[2023湖南衡陽模擬]已知θ為第三象限角，且tan（π2－θ）＝43，則cos（θ＋π2）＝（A.－45 B.－35 C.35 解析tan（π2－θ）＝sin（π2－θ）cos（π2－θ）＝cos∴sinθ＜0，cosθ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝－35，cosθ＝－45，∴cos（θ＋π－sinθ＝35.故選6.[2023深圳光明區(qū)一模]已知α為第一象限角，cos（α＋10°）＝13，則tan（170°－α）＝（AA.－22 B.22 C.－2 D.2解析因?yàn)棣翞榈谝幌笙藿?，且cos（α＋10°）＝13＞0，所以α＋10°sin（α＋10°）＝1－cos2（α+10°）＝1－（13）2＝223，可得tan（α＋10°）＝sin（α+10°）cos（α+10°）＝22，則tan（170°－α）7.[多選]在△ABC中，下列結(jié)論正確的是（ABC）A.sin（A＋B）＝sinC B.sinB＋C.tan（A＋B）＝－tanC（C≠π2）D.cos（A＋B）＝cosC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，A正確.sinB＋C2＝sin（π2－A2）＝cosA2，B正確.tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanC（C≠π2），C正確.cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－8.[2023四川省資陽市模擬]在△ABC中，3sin（π2－A）＝3sin（π－A），cos－3cos（π－B），則△ABC為直角三角形解析在△ABC中，由3sin（π2－A）＝3sin（π－A），得3cosA＝3sinA，即tanA＝33，又A∈（0，π），∴A＝π6，又cosA＝－3cos（π－B），∴32＝3cosB，即cosB＝12，又B∈（0，π），∴B＝π3，∴C＝π－9.已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈（0，π），則tanθ＝－43；2sinθcos解析因?yàn)閟inθ＋cosθ＝15，θ∈（0，π），所以（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝125，所以sinθcosθ＝－1225＜0，所以sinθ＞0，cosθ＜0.由sinθ＋cosθ＝15，sin2θ＋cos2θ=1，得25sin2θ－5sinθ－12＝0，解得sinθ＝45或sinθ＝－35（舍去），所以sinθ＝45，cosθ＝－35，所以tanθ＝－43.（或sinθ－cosθ＞0，（sinθ－cosθ）2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcos解法一2sinθcosθ+2sin2θ1－解法二2sinθcosθ＋2sin2θ＝2sinθcosθ+2sin2θsin2θ＋co10.設(shè)f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零實(shí)數(shù)，若f（2024）＝1，則f（2025）＝（D）A.1 B.2 C.0 D.－1解析f（2024）＝asin（2024π＋α）＋bcos（2024π＋β）＝asinα＋bcosβ＝1，f（2025）＝asin（2025π＋α）＋bcos（2025π＋β）＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＝－asinα－bcosβ＝－（asinα＋bcosβ）＝－1.故選D.11.[數(shù)學(xué)探索/2023河南部分學(xué)校聯(lián)考]“黑洞”是時光曲率大到光都無法從其事件視界逃脫的天體，在數(shù)學(xué)中也有這種神秘的“黑洞”現(xiàn)象.數(shù)字串是由一串?dāng)?shù)字組成的，如：743258….任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)