第三章 函數(shù)的概念及性質(zhì)章末總結(jié)及測試（解析版）

第三章函數(shù)的概念及性質(zhì)章末總結(jié)及測試考點(diǎn)一函數(shù)的定義域1.（23-24高一下·北京·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，令，等價(jià)于，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D2．（23-24黑龍江·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題可知的定義域?yàn)?，則為使有意義必須且只需，解得，所以的定義域?yàn)?故選：D3．（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，可知，即的定義域?yàn)?，所以需滿足，解得，即的定義域?yàn)?故選：D4．（23-24江蘇南京·期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】的定義域?yàn)?，是使在?shí)數(shù)集上恒成立.若時(shí),要使恒成立,則有且,即,解得.若時(shí)，化為，恒成立，所以滿足題意，所以故答案為：.考點(diǎn)二函數(shù)的解析式1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函數(shù)，且，求；(4)定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)或(4)【解析】（1）因?yàn)?，所以．?）解法一（換元法）：令，，則，所以，所以．解法二（配湊法）：，因?yàn)椋裕?）設(shè)，則，所以，解得或，所以或．（4）對任意的有，由，①得，②聯(lián)立①②解得，．2．（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函數(shù)，且，求；(4)已知為二次函數(shù)，且，求；(5)定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)或(4)(5)【解析】（1）因?yàn)?，所?（2）解法一（換元法）：令，，則，所以，所以.解法二（配湊法）：，因?yàn)?，所?（3）設(shè)，則，所以，解得或，所以或.（4）設(shè)，則，所以，解得，所以.（5）對任意的有，由，①得，②聯(lián)立①②解得，.考點(diǎn)三函數(shù)的值域或最值1．（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因?yàn)?，所以的值域?yàn)?，即，故選：A.2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)，的值域?yàn)椋?/p>

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以．故選：C.3．（22-23河南平頂山·階段練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【解析】設(shè)，，，時(shí)，，時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，即且，綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．4．（23-24高二下·山東青島·期末）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為（）A．1 B． C． D．-【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，存在最小值，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則，解得：，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則，不等式無解；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，則的最大值為.故選：A.5．（23-24高一上·安徽阜陽·期中）已知函數(shù)，若值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，由，得，由，得，解得或，作出的圖象如下圖所示，由圖象可得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.6．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知當(dāng)時(shí)，，故要使函數(shù)的值域?yàn)?，需滿足，解得，故的取值范圍是，選：D考點(diǎn)四函數(shù)的單調(diào)性1．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列函數(shù)在定義域上為嚴(yán)格減函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A:當(dāng)，當(dāng)，,在定義域上不是嚴(yán)格減函數(shù)，錯誤；對于B:當(dāng)，當(dāng)，，在定義域上不是嚴(yán)格減函數(shù)，錯誤；對于C:,當(dāng)，，在定義域上不是嚴(yán)格減函數(shù)，錯誤；對于D:因?yàn)樵诙x域內(nèi)為嚴(yán)格減函數(shù),正確.故選：D.2．（23-24高一下·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，需滿足，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，需滿足，即，解得，又，所以,綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B3．（23-24黑龍江牡丹江·期末）函數(shù)，若對任意，，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閷θ我?，都有成立，所以是上的減函數(shù)，則，解得．故選：A．4．（23-24高一下·廣東揭陽·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，對稱軸為直線，其對稱軸左側(cè)的圖象是下降的，∴，故，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.5．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】開口向下的二次函數(shù)的對稱軸是，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得.故答案為：.6．（24-25高一上·上海·單元測試）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．【答案】【解析】的對稱軸為，因?yàn)?，所以的圖象開口向上，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：7．（23-24高二下·湖北·期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】】當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖（1）所示，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖（2）所示，要使得在上單調(diào)遞增，則滿足或，解得或，綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.考點(diǎn)五函數(shù)的奇偶性1．（22-23高一上·廣東湛江·期中）（多選）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】A.因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，A正確；B.因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，B正確C.因?yàn)榈亩x域?yàn)椋O(shè)，則，所以，則，同理當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C正確；D.由，即，解得,所以函數(shù)的定義域是，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故D錯誤；故選：ABC2．（23-24高二下·廣西北?！て谀┤艉瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，即，即所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，故選：A.3．（23-24山東濟(jì)寧·期末）已知定義在上的偶函數(shù)，若對于任意不等實(shí)數(shù)都滿足，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閷τ谌我獠坏葘?shí)數(shù)都滿足，即當(dāng)時(shí)，；時(shí)，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，則，所以不等式，又，由在區(qū)間上單調(diào)遞增.則，即，解得，或，故選：D.4．（22-23高一下·云南昭通·期末）定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由，可得：，或，或，解得或，所以滿足的x的取值范圍是，故選：C.5．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或【解析】由題設(shè)，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，即，解得或，故答案為：或.6．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象的對稱軸為，且開口向上，所以在上嚴(yán)格增，且在R上是偶函數(shù)，所以，兩邊平方得，所以.故答案為：7．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，時(shí)．所以，所以．所以時(shí)，故答案為：．考點(diǎn)六冪函數(shù)1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）（多選）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)的值域?yàn)镈．在其定義域上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】設(shè)，由的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，解得，所以.選項(xiàng)A，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不具有奇偶性，A錯誤；選項(xiàng)B，根據(jù)偶次方要的被開方數(shù)非負(fù)得的定義域?yàn)?，B正確；選項(xiàng)C，由在上是增函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，C正確；選項(xiàng)D，由在上是增函數(shù)，D正確.故選：BCD.2．（23-24高一下·四川眉山·開學(xué)考試）（多選）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的定義域是 D．為偶函數(shù)【答案】BC【解析】由冪函數(shù)，則，即，且，解得，，則A錯誤，B正確；的定義域?yàn)?，故C正確，D錯誤.故選：BC.3．（23-24高一上·湖南婁底·期末）（多選）關(guān)于冪函數(shù)的性質(zhì)下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在是單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，在是單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)【答案】AD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，且注意到，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，即是偶函數(shù)，所以在是單調(diào)遞減，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，且注意到，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，即是奇函數(shù)，所以在是單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，它為非奇非偶函?shù)，故C錯誤；對于D，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，且，所以此時(shí)是偶函數(shù)，故D正確.故選：AD.4．（23-24高一上·山東濱州·期末）（多選）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的為（

）A．為偶函數(shù) B．為增函數(shù)C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】設(shè)冪函數(shù)，由于圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以，故在定義域,上單調(diào)遞增，B正確；為非奇非偶函數(shù)，A不符合題意；當(dāng)，解得，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故，即成立，D正確．故選：BD5．（23-24高一上·四川綿陽·期末）（多選）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃．不等式的解集為 D．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】BCD【解析】由題意知，，即，得，所以.A：，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔄錯誤；B：由，知函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；C：由，得且，即，故C正確；D：易知函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，由，知函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：BCD6．（23-24高一上·廣東深圳·期末）（多選）已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【解析】將代入函數(shù)中，可得，解得，故，即A正確，易知，故的定義域?yàn)椋蔅錯誤，對于，故函數(shù)為偶函數(shù)，即C正確，任取，，使，必有，故在單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的值域?yàn)?，故D正確，故選：ACD考點(diǎn)七函數(shù)的應(yīng)用1．（22-23高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地．在甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y（km）與甲車行駛時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲車出發(fā)2h時(shí)，兩車相遇B．乙車出發(fā)1.5h時(shí)，兩車相距170kmC．乙車出發(fā)2h時(shí)，兩車相遇D．甲車到達(dá)C地時(shí)，兩車相距40km【答案】BCD【解析】觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t＝2時(shí)，兩函數(shù)圖象相交，∵C地位于A、B兩地之間，∴交點(diǎn)代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結(jié)論A錯誤；甲車的速度為240÷4＝60（km/h），乙車的速度為200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙車出發(fā)1.5h時(shí)，兩車相距170km，結(jié)論B正確；∵，∴乙車出發(fā)時(shí)，兩車相遇，結(jié)論C正確；∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲車到達(dá)C地時(shí)，兩車相距40km，結(jié)論D正確；故選：BCD2．（22-23山東聊城·階段練習(xí)）某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機(jī)的售價(jià)為5000元，且生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年全部銷售完.(1)求2023年該款手機(jī)的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以.（2）當(dāng)時(shí)，,∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.3．（22-23高一上·新疆·期中）黨的二十大報(bào)告提出“積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和”，降低能源消耗，建設(shè)資源節(jié)約型社會．日常生活中我們使用的燈具就具有節(jié)能環(huán)保的作用，它環(huán)保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，長壽命，有效降低資源消耗．經(jīng)過市場調(diào)查，可知生產(chǎn)某種燈需投入的年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品，需另投入變動成本萬元，在年產(chǎn)量不足6萬件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于6萬件時(shí)，．每件產(chǎn)品售價(jià)為6元．假設(shè)該產(chǎn)品每年的銷量等于當(dāng)年的產(chǎn)量．(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式．（注：年利潤年銷售收入固定成本變動成本）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，年利潤最大？最大年利潤是多少？【答案】(1)(2)年產(chǎn)量為9萬件時(shí)，年利潤最大，最大年利潤是16萬元．【解析】（1）由題可知，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸為，開口向下，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，因?yàn)?，所以年產(chǎn)量為9萬件時(shí)，年利潤最大，最大年利潤是16萬元．4．（22-23高一上·遼寧沈陽·期中）世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動汽車主要分三類：純電動汽車、混合動力電動汽車和燃料電池電動汽車.這3類電動汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同的發(fā)展策略.中國的電動汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽（柴）油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重新塑造全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬元），且；已知每輛車售價(jià)5萬元，由市場調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1);(2)100（百輛），2300萬元.【解析】（1）由題意知利潤收入-總成本，所以利潤,故2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號；綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為100（百輛）時(shí)，取得最大利潤，最大利潤為2300萬元．5．（22-23高一上·重慶璧山·階段練習(xí)）某廠家擬對A產(chǎn)品做促銷活動，對A產(chǎn)品的銷售數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品的月銷售量t（單位：萬件）與月促銷費(fèi)用x（單位：萬元）滿足關(guān)系式（k為常數(shù)，），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的月銷量是1萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品每月固定投入為7萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入4萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)定為元，設(shè)該產(chǎn)品的月利潤為y萬元，（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)投入-促銷費(fèi)用）(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)月促銷費(fèi)用為多少萬元時(shí)，該產(chǎn)品的月利潤最大？最大利潤為多少？【答案】(1)，(2)月促銷費(fèi)用為2萬元時(shí)，A產(chǎn)品的月利潤最大，最大利潤為7萬元．【解析】（1）由題知，當(dāng)時(shí)，，代入得．．將代入得．所以，所求函數(shù)為．（2）由（1）知，．因?yàn)椋?，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．所以．故月促銷費(fèi)用為2萬元時(shí)，A產(chǎn)品的月利潤最大，最大利潤為7萬元．考點(diǎn)八抽象函數(shù)1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù).對任意，總有，，且時(shí)，恒成立.(1)求(2)判斷的奇偶性并證明(3)證明在上單調(diào)遞減【答案】(1)(2)奇函數(shù)，證明見解析(3)證明見解析【解析】（1）由對任意，總有，令，則，則，又由，得，則，（2）令，則，則有，故，則是奇函數(shù)（3）設(shè)任意，，則，又，則，則，則在上單調(diào)遞減.2．（23-24高一下·河北保定·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足：．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)若，求；(3)若，判斷并證明的單調(diào)性．【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)(3)在上單調(diào)遞增，證明見解析【解析】（1）是奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)?，令，得到，令，得到，即，所以是奇函?shù).（2）令，得到，由（1）知是奇函數(shù)，所以.（3）在上單調(diào)遞增，證明如下：在上任取，令，則，又因?yàn)?，而，所以，即，得到，所以在上單調(diào)遞增.3．（23-24高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)的定義域是，若對于任意，都有，且時(shí)，有．令．(1)求的定義域；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以有，即，解得：，所以的定義域?yàn)椋?）令，可得，即，令，得，即是奇函數(shù)，令，則，且為奇函數(shù)，，即，在上單調(diào)遞增，由題意可知，，，解得，即不等式的解集為．4．（23-24高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，，又．(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)為奇函數(shù)；(2)在上的單調(diào)遞減，證明見解析；(3).【解析】（1）結(jié)合題意：由函數(shù)的定義域?yàn)?且，取，則，即，取，則，所以，所以為奇函數(shù).（2）在R上的單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，則，令，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上的單調(diào)遞減.（3）由，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏系膯握{(diào)遞減，所以，即時(shí)，恒成立，等價(jià)于對任意時(shí)，恒成立，令，則，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.一、單選題1．（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)若，則的值為（

）A． B．或2 C．或2 D．或【答案】C【解析】①當(dāng)時(shí)，由，解得，其中不滿足題意，故；②當(dāng)時(shí)，由，解得，滿足，故；綜上所述，則的值為或.故選：C.2．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得且，解得且，故的定義域?yàn)?故選：B3．（23-24高一下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】A【解析】由函數(shù)是奇函數(shù)，得，則，解得，函數(shù)定義域?yàn)?，是奇函?shù)，所以.故選：A4．（22-23高一上·廣東湛江·期中）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，故A正確，BD錯誤，且為偶函數(shù)，所以為非奇非偶函數(shù)，C錯誤；故選：A．5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由是上的增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B6．（22-23高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，當(dāng)時(shí)，有，解得或，即，或；當(dāng)時(shí)，，解得，即；綜上，不等式的解集是；故選：B．7．（23-24高二下·吉林長春·期末）二次函數(shù)在上最大值為1，則實(shí)數(shù)a值為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】，則圖像開口向上，對稱軸為直線.當(dāng)時(shí)，即，時(shí)有最大值1,即，解得；當(dāng)時(shí)，即，時(shí)有最大值1,即，得；故或.故選：D．8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，給出以下結(jié)論：①；②；③；④是奇函數(shù).所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④【答案】D【解析】因?yàn)?，對于①：令，可得，故①正確；對于②：令，可得，解得；③令，可得，解得，故③錯誤；對于④：令，可得，且的定義域?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，故④正確.故選：D二、多選題9．（23-24高二下·黑龍江牡丹江·期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】選項(xiàng)A不具有奇偶性；選項(xiàng)B是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增；選項(xiàng)C，記，則，函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)；選項(xiàng)D，函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增.故選：BD10．（23-24高一上·廣東湛江·期中）下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)是同一函數(shù)的有（

）A．和B．和C．D．和【答案】AC【解析】A：與定義域和對應(yīng)法則都相同，為同一函數(shù)；B：定義域?yàn)椋x域?yàn)镽，它們的定義域、對應(yīng)法則都不同，不為同一函數(shù)；C：與定義域和對應(yīng)法則都相同，為同一函數(shù)；D：定義域?yàn)?，而定義域?yàn)榛?，它們定義域不同，不為同一函數(shù).故選：AC11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．和表示同一個函數(shù)C．函數(shù)的值域?yàn)镈．定義在上的函數(shù)滿足，則【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，對于，令，則，則，所以，即的定義域?yàn)?，A選項(xiàng)正確；對于B，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，不是同一個函數(shù)，B選項(xiàng)不正確；對于C，因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)?，C選項(xiàng)正確；對于D，由可得，所以由可得，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.三、填空題12．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)，與函數(shù)，為“同族函數(shù)”．有四個函數(shù)解析式：①；②；③；④，其中能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的是．【答案】①②④【解析】由①②圖象關(guān)于y軸對稱可知，“能夠被用來構(gòu)造同族”函數(shù)，③在定義域內(nèi)任意一個x值都有唯一y值于之對應(yīng)，故不可構(gòu)造函數(shù)，④，與，的值域都為，是同族函數(shù)．故答案為：①②④.13．（22-23高一上·廣東湛江·期中）已知函數(shù)，若，則a的值是．【答案】或4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得．綜上所述，a的值是或4．故答案為：或4.14．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）已知在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以在上?yán)格增函數(shù)所以，．故答