2021-2022學年貴州省仁懷市周林高級中學高二上學期期末綜合能力測試題4數(shù)學試題解析版

仁懷市周林高級中2021-2022學年度新高考高二數(shù)學期末綜合能力測試卷4考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題1．已知數(shù)列滿足，且，，其前n項和為，若對任意的正整數(shù)n，恒成立，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，，當時，，，，，將以上各式累加得，，當時，也滿足，，由，得，，即，，．故m的取值范圍是．故選：C．2．函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)將的圖象各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由圖可知，過點，故，因為，解得：，將的圖像各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，得.故選：D.3．在等比數(shù)列中，如果，，那么（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，，，，成等比數(shù)列，其首項為，公比為，所以.故選：C.4．某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后三年年產(chǎn)量保持不變，則可以用來描述該廠前t年這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量c與時間t的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，可知圖象的斜率隨的變大而變大，在圖象向上呈現(xiàn)下凹的情形；又后三年年產(chǎn)量的增長速度保持不變，可知圖象呈直線型變化．故選：A．5．已知數(shù)列的通項公式為，其前n項和為，將數(shù)列的前4項去掉其中一項后，剩下三項按原來的順序恰為等比數(shù)列的前3項，記數(shù)列的前n項和為，若對任意的，，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由已知數(shù)列的通項公式為，可得，所以．數(shù)列的前4項為4，3，2，1，所以等比數(shù)列的前3項為4，2，1，所以，所以，顯然是遞增數(shù)列，且．若對任意的，，總有成立，則，所以．故選：D．6．已知是三角形的一個內(nèi)角，且，則這個三角形的形狀是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】由，將兩邊平方得，而，故為鈍角.故選：B.7．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，的圖象與軸交于點，與軸交于點，點在的圖象上，點?關(guān)于點對稱，則下列說法中正確的是（）

A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)的最小正周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為偶函數(shù)【答案】A【詳解】點?關(guān)于點對稱，則，，所以B錯誤；由，可得，代入，可得，解得，，，則，即，因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故C錯誤；由圖象可得在，遞減，則在遞減，所以A正確；函數(shù)的圖象向右平移后，可得，是奇函數(shù)，D錯誤.故選：A8．已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由已知可得.故選：C.二、多選題9．（多選題）下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】解：對于選項A，因為，而，所以A錯誤；對于選項B，因為，所以B錯誤；對于選項C，因為成立，所以C正確；對于選項D，當時，，所以D正確.故選：CD.10．已知，，，則下列說法正確的是（）A．的最大值是 B．的最小值是8C．的最小值是 D．的最小值是【答案】ACD【詳解】A：由，得，所以(當且僅當時取等號)，故A正確；B：，當且僅當時取等號，故B錯誤；C：，即當且僅當時取等號，故C正確；D：由，則當時取得最小值，最小值為，故D正確.故選：ACD.11．對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“好數(shù)”，已知某數(shù)列的“好數(shù)”，記數(shù)列的前n項和為，若對任意的恒成立，則k的可能取值為（）A．2 B． C． D．【答案】BCD【詳解】由題意，，則，時，，兩式相減得：，所以，，當時，上式對也成立，故，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，故對任意的恒成立可化為，；即，解得，．結(jié)合四個選項，BCD符合的取值，故選：BCD．12．（多選）在中，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】在中，有，則，A正確；，B正確；，C正確；，D錯誤；故選：ABC.第II卷（非選擇題）三、雙空題13．已知函數(shù)（，且為常數(shù)）在區(qū)間上的最大值為，則________；若，則________．【答案】【詳解】解：令t＝ax>0，因為x[－1，1]，a>1，所以t，則y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，故當t＝a時，函數(shù)y取得最大值為a2＋2a－1＝14，解得a＝3或（舍去），所以f(x)＝32x＋2×3x－1.由f(x)＝7，即32x＋2×3x－1＝7，所以(3x＋4)(3x－2)＝0，解得3x＝2，所以x＝log32.故答案為：；.四、填空題14．已知函數(shù)在（0，1）內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【詳解】（1）當在（0，1）內(nèi)有一個零點時，由，得或，此時函數(shù)的零點為或1，不合題意，由零點存在性定理可得，即，解得，（2）當在（0，1）內(nèi)有兩個零點時，則，解得，綜上，，即實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：15．在等差數(shù)列中，，，若數(shù)列的前項和為，則___________.【答案】【詳解】由題可知，解得，則.故答案為：16．若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長的取值范圍為___________.【答案】【詳解】因為，所以，所以，所以，解得，則，故虛軸長.故答案為：.五、解答題17．已知拋物線C：的焦點為F，點是拋物線內(nèi)一點，若該拋物線上存在點E，使得有最小值3．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l：，點B是l與y軸的交點，過點A作與l平行的直線，過點A的動直線與拋物線C相交于P，Q兩點，直線PB，QB分別交直線于點M，N，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（1）過點E作拋物線C的準線的垂線，垂足為點D，根據(jù)拋物線的定義可得，于是，當A，E，D三點共線時，有最小值，所以，解得，所以拋物線C得方程為．（2）證明：直線l：，令得，所以點，因為直線平行于直線l：，且過點，所以直線：，設(shè)直線：，聯(lián)立，得，所以，設(shè)點，，由韋達定理可得，，所以直線PB的方程為，直線QB的方程為，聯(lián)立解得，同理可得，所以，因為，所以，即A是線段MN的中點．所以．18．已知函數(shù)的導函數(shù)在上的圖像如圖所示．

（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）判斷函數(shù)在內(nèi)是否存在極值，如果存在，求出所有極值點：如果不存在，說明理由；（3）畫出在上圖像的大致形狀．【答案】（1）,單調(diào)遞減，,單調(diào)遞增，,單調(diào)遞減.（2）存在，為極小值點，為極大值點.（3）見解析.（1），單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，由圖可知，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，（2）由（1）知，,單調(diào)遞減，,單調(diào)遞增，且，為極小值點；,單調(diào)遞增，,單調(diào)遞減，且，為極大值點；（3）只需滿足（1）（2）的函數(shù)圖象均可，在上圖像的大致形狀可以如下圖所示.19．記的內(nèi)角的對邊分別為.已知，點是邊的中點，（1）證明：；（2）求.【答案】（1）證明見解析（2）（1）由題意得：由正弦定理得：，即，所以，由于，所以：.（2）由題意知：，所以，同理由于，所以整理得，由余弦定理：.20．某超市舉辦有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有個紅球，個白球的甲箱和裝有個紅球，個白球的乙箱中，各隨機摸出個球，若都是紅球，則可獲得現(xiàn)金元；若只有個紅球，則可獲得現(xiàn)金元；若沒有紅球，則不獲獎.球的大小重量完全相同，每次抽獎后都將球放回且攪拌均勻.（1）若某顧客有次抽獎機會，求該顧客獲得現(xiàn)金元或元的概率；（2）若某顧客有次抽獎機會，求該顧客在次抽獎中一共獲得現(xiàn)金元的概率.【答案】（1）；（2）.（1）設(shè)“該顧客獲得現(xiàn)金元或元”，為顧客抽一次獎所獲獎金，則，，所以.所以該顧客獲得現(xiàn)金元或元的概率為.（2）設(shè)“該顧客在兩次抽獎中一共獲得現(xiàn)金元”，由（1）知，，，所以.所以該顧客在次抽獎中一共獲得現(xiàn)金元的概率.21．設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）若函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）π；（2）增區(qū)間：，減區(qū)間：.（1），故函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象左移個單位得到的圖象，則，，則當即時，g(x)單調(diào)遞增，時，g(x)單調(diào)遞減.∴g(x)在上的單調(diào)增區(qū)間為：，單調(diào)減區(qū)間為：.22．求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝2