高中數(shù)學(xué) 1.3 全稱量詞與存在量詞基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 北師大版選修2-1

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.3全稱量詞與存在量詞基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)北師大版選修2-1一、選擇題1．下列命題是真命題的是()A．所有的實(shí)數(shù)x都能使x2－3x＋6>0成立B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式x2－3x＋6<0成立C．存在一條直線與兩個(gè)相交平面都垂直D．存在實(shí)數(shù)x使x2<0成立[答案]A[解析]因?yàn)閤2－3x＋6＝(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(15,4)≥eq\f(15,4)，所以對(duì)于任意的x∈R，x2－3x＋6>0恒成立，因此A中的命題為真命題．2．命題“存在x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否定是()A．存在x0??RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q B．存在x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)?QC．任意x??RQ，x3∈Q D．任意x∈?RQ，x3?Q[答案]D[解析]本題考查量詞命題的否定改寫．任意x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)?Q，注意量詞一定要改寫．3．命題“某些平行四邊形是矩形”的否定是()A．某些平行四邊形不是矩形 B．任何平行四邊形是矩形C．每一個(gè)平行四邊形都不是矩形 D．以上都不對(duì)[答案]C[解析]特稱命題的否定是把存在量詞變?yōu)槿Q量詞，然后否定結(jié)論．二、填空題4．下列語句：①能被7整除的數(shù)都是奇數(shù)；②|x－1|<2；③存在實(shí)數(shù)a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形對(duì)角線相等且不互相平分．其中是全稱命題且為真命題的序號(hào)是________．[答案]④[解析]①是全稱命題，但為假命題；②不是命題；③是特稱命題5．給出下列語句：①所有的偶數(shù)都是素?cái)?shù)；②有的奇數(shù)不是素?cái)?shù)；③|x－1|<2；④任意x>5，都有x>3.其中是全稱命題的是________．[答案]①④[解析]②是特稱命題；③不是命題．三、解答題6．寫出下列命題的否定形式，并判斷其真假．(1)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；(2)對(duì)任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[解析](1)這一命題的否定為：所有的質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)．很明顯，質(zhì)數(shù)3就是奇數(shù)，所以命題的否定是假命題．(2)這一命題的否定為：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.因?yàn)樵}是真命題，所以命題的否定為假命題．[點(diǎn)評(píng)]全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．一、選擇題1．命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是()A．所有奇數(shù)的立方不是奇數(shù)B．不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)C．存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)D．不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是奇數(shù)[答案]C[解析]全稱命題的否定是特稱命題．2．下列命題中的假命題是()A．存在實(shí)數(shù)α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在無窮多個(gè)α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．對(duì)任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在這樣的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ[答案]B[解析]cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，顯然選項(xiàng)C，D為真；sinα·sinβ＝0時(shí)，選項(xiàng)A為真；選項(xiàng)B為假．故選B.3．命題“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是()A．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x>1 B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1C．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1 D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1[答案]C[解析]本題考查了全稱、存在命題及命題的否定．“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1”．這類題目應(yīng)遵循“存在變?nèi)我?任意變存在)，再否定結(jié)論”的原則．4．下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是()A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3[答案]C[解析]由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命題“任意x∈R，x2＋3<0”為假命題；由于0∈N，當(dāng)x＝0時(shí)，x2≥1不成立，所以命題“任意x∈N，x2≥1”是假命題；由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，x5<1，所以命題“存在x∈Z，使x5<1”為真命題；由于使x2＝3成立的數(shù)只有±eq\r(3)，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“存在x∈Q，x2＝3”是假命題．故選C.5．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是()A．存在x∈R，f(x)≤f(x0) B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)C．任意x∈R，f(x)≤f(x0) D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)[答案]C[解析]由x0＝－eq\f(b,2a)(a>0)及拋物線的相關(guān)性質(zhì)可得C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．二、填空題6．下列特稱命題是真命題的序號(hào)是________．①有些不相似的三角形面積相等；②存在一實(shí)數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大；④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身．[答案]①③④[解析]①為真命題，只要找出等底等高的兩個(gè)三角形，面積就相等，但不一定相似；②中對(duì)任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，所以不存在實(shí)數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，故②為假命題；③中當(dāng)實(shí)數(shù)a大于0時(shí)，結(jié)論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，為真命題，故選①③④.7．命題“對(duì)任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m<x2＋x＋1”是________．(填“真”或“假”)[答案]真[解析]由于對(duì)任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，所以只需m2－m≤0，即0≤m≤1.所以當(dāng)m＝0或m＝1時(shí)，對(duì)任意x∈R，m2－m<x2＋x＋1成立，因此該命題是真命題．三、解答題8．某足球隊(duì)隊(duì)員的全體構(gòu)成集合A，寫出下列命題的否定：(1)A中的隊(duì)員至少有一個(gè)是北京人；(2)A中的隊(duì)員都是北京人；(3)A中的隊(duì)員都不是北京人；(4)A中的隊(duì)員不都是北京人．[解析](1)A中的隊(duì)員都不是(一個(gè)也沒有)北京人；(2)A中的隊(duì)員不都是北京人；(3)A中的隊(duì)員至少有一個(gè)是北京人；(4)A中的隊(duì)員都是北京人．9．為使下列p(x)為真命題，求x的取值范圍：(1)p(x)：x＋1>x；(2)p(x)：x2－5x＋6>0；(3)p(x)：sinx>cosx.[解析](1)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有(x＋1)－x＝1>0，∴x＋1>x，∴x∈R.(2)由x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)>0得x<2或x>3，∴使p(x)成立的x的取值范圍是x<2或x>3.(3)sinx－cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))>0，∴2kπ<x－eq\f(π,4)<2kπ＋π(k∈Z)，∴2kπ＋eq\f(π,4)<x<2kπ＋eq\f(5π,4)，∴使p(x)：sinx>cosx成立的x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))，k∈Z.10．若命題“對(duì)任意x∈R，關(guān)于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”為真命題，求a的取值范圍．[分析]用分類討論