第56講、立體幾何解答題（學生版）

第56講立體幾何解答題必考題型全歸納題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體例1．（2024·全國·高三專題練習）已知正四棱臺的體積為，其中.

(1)求側棱與底面所成的角；(2)在線段上是否存在一點P，使得？若存在請確定點的位置；若不存在，請說明理由.例2．（2024·全國·高三專題練習）在三棱臺中，為中點，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.例3．（2024·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習）如圖，在正四棱臺中，，，，為棱，的中點，棱上存在一點，使得平面．

(1)求；(2)當正四棱臺的體積最大時，求與平面所成角的正弦值．變式1．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考模擬預測）如圖，在三棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)設是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．變式2．（2024·安徽·高三安徽省定遠中學?？茧A段練習）如圖，圓錐的高為，是底面圓的直徑，四邊形是底面圓的內接等腰梯形，且，點是母線上一動點.

(1)證明：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.變式3．（2024·云南·云南師大附中?？寄M預測）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.變式4．（2024·內蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，四邊形是圓的內接四邊形，為底面圓的直徑，在母線上，且，，．

(1)求證：平面平面；(2)設點為線段上動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．變式5．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面⊙O的內接正三角形，．(1)劣弧上是否存在點D，使得平面？若存在，求出劣弧的長度；若不存在，請說明理由．(2)求平面和平面所成角的正弦值．題型二：立體幾何存在性問題例4．（2024·全國·高三對口高考）如圖，如圖1，在直角梯形中，．把沿對角線折起到的位置，如圖2所示，使得點P在平面上的正投影H恰好落在線段上，連接，點E，F(xiàn)分別為線段，的中點．

(1)求證：平面//平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一點M，使得M到點四點的距離相等？請說明理由．例5．（2024·上海長寧·上海市延安中學?？既＃┮阎退诘钠矫婊ハ啻怪保?，，，，是線段的中點，.(1)求證：；(2)設，在線段上是否存在點（異于點），使得二面角的大小為.例6．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）如圖，在中，，為邊上一動點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至.(1)證明：平面平面；(2)若，且，線段上是否存在一點（不包括端點），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.變式6．（2024·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當時，在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．變式7．（2024·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）斜三棱柱的各棱長都為，點在下底面的投影為的中點.

(1)在棱（含端點）上是否存在一點使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離.變式8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面PAD，△PAD為等邊三角形，//，，平面PBC交平面PAD直線l，E、F分別為棱PD，PB的中點．

(1)求證：∥；(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在點G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說明理由．變式9．（2024·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）在三棱錐P-ABC中，若已知，，點P在底面ABC的射影為點H，則(1)證明：(2)設，則在線段PC上是否存在一點M，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設，求出的值，若不存在，請說明理由.變式10．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預測）在四棱錐中，底面為矩形，，為等腰直角三角形，平面平面，為中點.(1)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為.若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(2)求二面角的正弦值.變式11．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，，，分別為的中點，平面與底面的交線為.(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為，試問在直線上是否存在點，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿足？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.變式12．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考二模）如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，.(1)證明：面；(2)線段上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，指出點位置；若不存在，請說明理由.題型三：立體幾何折疊問題例7．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點，E在BC邊上，且，沿AC將進行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．例8．（2024·廣東深圳·?？级＃┤鐖D1所示，等邊的邊長為，是邊上的高，，分別是，邊的中點．現(xiàn)將沿折疊，如圖2所示.

(1)證明：；(2)折疊后若，求二面角的余弦值.例9．（2024·四川南充·高三閬中中學?？茧A段練習）如圖甲所示的正方形中，對角線分別交于點，將正方形沿折疊使得與重合，構成如圖乙所示的三棱柱(1)若點在棱上，且，證明：∥平面；(2)求二面角的余弦值.變式13．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點，現(xiàn)在將沿著CD進行翻折，使得翻折后S點在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點，如圖乙所示.(1)證明：平面SBC；(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.變式14．（2024·全國·高三專題練習）如圖1，在直角梯形BCDE中，，，A為DE的中點，且，，將沿AB折起，使得點E到達P處（P與D不重合），記PD的中點為M，如圖2．(1)在折疊過程中，PB是否始終與平面ACM平行？請說明理由；(2)當四棱錐P-ABCD的體積最大時，求CD與平面ACM所成角的正弦值．變式15．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四邊形中，，E，F(xiàn)分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時點F到平面的距離．變式16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，以為折痕，將向一方折疊到的位置，使D點在平面內的射影在上，再將向另一方折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.（1）若點F為的中點，求證：平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值.變式17．（2024·四川瀘州·瀘縣五中?？既＃┤鐖D1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊.若把沿邊折疊到的位置，使平面平面，如圖2.（1）證明：；（2）若為棱的中點，求點到平面的距離.變式18．（2024·湖南長沙·長沙一中?？家荒＃┤鐖D1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點，滿足，為的中點，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點（端點除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.題型四：立體幾何作圖問題例10．（2024·云南昆明·高三?？茧A段練習）已知正四棱錐中，O為底面ABCD的中心，如圖所示．(1)作出過點O與平面PAD平行的截面，在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，寫出簡要作圖過程及理由；(2)設PD的中點為G，，求AG與平面PAB所成角的正弦值．例11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，，且.(1)試在平面內過點作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.例12．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，且.(1)試在平面內過點作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；(2)求點到平面的距離.變式19．（2024·全國·高三專題練習）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點.（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）.變式20．（2024·全國·高三專題練習）四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，.,且平面，，點分別是線段上的中點，在上.且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.變式21．（2024·安徽六安·安徽省舒城中學?？寄M預測）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點為，在平面內過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式22．（2024·廣西·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，三棱柱中，側面為菱形.

(1)（如圖1）若點為內任一點，作出與面的交點（作出圖象并寫出簡單的作圖過程，不需證明）；(2)（如圖2）若面面，求二面角的余弦值.變式23．（2024·四川成都·成都七中校考模擬預測）是邊長為2的正三角形，P在平面上滿足，將沿AC翻折，使點P到達的位置，若平面平面ABC，且．(1)作平面，使得，且，說明作圖方法并證明；(2)點M滿足，求二面角的余弦值．變式24．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側棱平面，點在棱上，且，點是在棱上的動點（不為端點）.（如圖所示）(1)若是棱中點，（i）畫出的重心（保留作圖痕跡），指出點與線段的關系，并說明理由；（ii）求證：平面；(2)若四邊形是正方形，且，當點在何處時，直線與平面所成角的正弦值取最大值.題型五：立體幾何建系繁瑣問題例13．（2024·福建福州·福建省福州格致中學?？寄M預測）如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.例14．（2024·全國·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，M，N分別為的中點，．(1)證明：平面；(2)若，三棱錐的體積為2，求二面角的余弦值．例15．（2024·江西撫州·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在幾何體中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．(1)證明：平面；(2)若，設為棱上的點，且滿足，求當幾何體的體積取最大值時，與所成角的余弦值．變式25．（2024·黑龍江佳木斯·高一建三江分局第一中學?？计谀┤鐖D，已知三棱柱的底面是正三角形，側面是矩形，分別為的中點，為上一點，過和的平面交于，交于．（1）證明：平面；（2）設為的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．變式26．（2024·黑龍江哈爾濱·哈九中校考三模）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側面是矩形，，分別為，的中點，為上一點，過和的平面交于，交于.（1）證明：，且平面平面；（2）設為的中心，若，平面，且，求四棱錐的體積.變式27．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，每一個面均為邊長為2的菱形，平面底面，，分別是，的中點，是的中點.(1)證明：平面；(2)若側棱與底面所成的角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知四棱錐中，平面，，，，，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在一點M，使得平面？若存在，請指出點M的位置；若不存在，請說明理由．變式29．（2024·全國·模擬預測）如圖，三棱柱的底面為等邊三角形，，點D，E分別為AC，的中點，，．(1)求點到平面BDE的距離；(2)求二面角的余弦值．變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知兩個四棱錐與的公共底面是邊長為4的正方形，頂點，在底面的同側，棱錐的高，，分別為AB，CD的中點，與交于點E，與交于點F.(1)求證：點E為線段的中點；(2)求這兩個棱錐的公共部分的體積.變式31．（2024·全國·高一專題練習）《九章算術》是中國古代的一部數(shù)學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系.《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.

（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.（i）證明：平面平面；（ii）設平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.變式32．（2024·浙江金華·高一浙江金華第一中學?？计谀┤鐖D，四面體ABCD中，等邊三角形，，且.

(1)記AC中點為M，若面面ABD，求證：面ADC；(2)當二面角的大小為時，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.變式33．（2024·河北衡水·高二?？奸_學考試）已知四面體，，，且平面平面．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的大?。}型六：兩角相等（構造全等）的立體幾何問題例16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點P是AC的中點，連接BP，DP證明：平面平面BDP；若，，求三棱錐的體積．例17．（2024·高二校考單元測試）如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點是的中點,連接．（1）證明:平面平面;（2）若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值．例18．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，底面為邊長是2的正方形，，分別是，的中點，，，且二面角的大小為.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.變式34．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，.（1）證明：平面平面；（2）當直線與平面所成的角為30°時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.變式35．（2024·廣東陽江·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．(1)求證：平面平面ABC；(2)若，二面角的余弦值為，求m．變式36．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，已知，，(1)求證：；(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P系建系例19．（2024·河北·高三河北衡水中學?？茧A段練習）如圖，在長方體，平面與平面所成角為.(1)若，求直線與平面所成角的余弦值（用表示）；(2)將矩形沿旋轉度角得到矩形，設平面與平面所成角為，請證明：.例20．（2024·全國·唐山市第十一中學?？寄M預測）在四棱錐中，，，，，平面平面.(1)證明：；(2)若是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的大小.例21．（2024·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．(1)求CE的長；(2)設二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．變式37．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，是線段的中點，設平面與平面的交線為.(1)證明∥平面BCM(2)已知，為上的點，若與平面所成角的正弦值為是，求線段的長.(3)在（2）的條件下，求二面角的正弦值.變式38．（2024·江西撫州·高二臨川一中?？计谥校┤鐖D，直線平面，直線平行四邊形ABCD，四棱錐P-ABCD的頂點在平面上，，，，，分別是與的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.變式39．（2024·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側面SAD為等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；(2)側棱SC上是否存在一點P（P不在端點處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．變式40．（2024·吉林長春·高二?？计谀┤鐖D，四棱錐中，底面為矩形，底面，，.點在側棱上，°.（1）證明：是側棱的中點；（2）求二面角的余弦值.變式41．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）三棱柱的底面是等邊三角形，的中點為，底面，與底面所成的角為，點在棱上，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.變式42．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實驗中學校聯(lián)考階段練習）如圖，三棱錐P-ABC所有棱長都等，PO⊥平面ABC，垂足為O．點，分別在平面PAC，平面PAB內，線段，都經過線段PO的中點D．(1)證明：平面ABC；(2)求直線AP與平面所成角的正弦值．變式43．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點在平面內的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.變式44．（2024·全國·高三專題練習）如圖，平面平面，菱形平面，，為平面內一動點.(1)若平面，間的距離為，設直線，與平面所成的角分別為，，，求動點在平面內的射影的一個軌跡方程；(2)若點在平面內的射影為，證明：直線與平面所成的角與的大小無關.題型八：空間中的點不好求例22．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知三棱錐ABCD，D在面ABC上的投影為O，O恰好為△ABC的外心．，.(1)證明：BC⊥AD；(2)E為AD上靠近A的四等分點，若三棱錐A-BCD的體積為，求二面角的余弦值．例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，，分別為，的中點，點在上，且為三角形的重心.(1)證明：平面；(2)若，，四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.例24．（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）如圖，平行六面體中，點P在對角線上，，平面平面．(1)求證：O，P，三點共線；(2)若四邊形是邊長為2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．變式45．（2024·江西·校聯(lián)考二模）正四棱錐中，，E為中點，，平面平面，平面.(1)證明：當平面平面時，平面(2)當時，T為表面上一動點（包括頂點），是否存在正數(shù)m，使得有且僅有5個點T滿足，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由.變式46．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為2的正方體中，點M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時針旋轉后，得到四棱錐．(1)若，求證：平面平面；(2)是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．變式47．（2024·全國·模擬預測）已知菱形ABCD中，，四邊形BDEF為正方形，滿足，連接AE，AF，CE，CF．(1)證明：；(2)求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值．題型九：創(chuàng)新定義例25．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）魏晉時期數(shù)學家劉徽（圖a）為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個獨特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上．如圖，將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時（如圖b），兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標出的各點，，，，，均在原正方體的表面上）．(1)由“牟合方蓋”產生的過程可知，圖d中的曲線為一個橢圓，求此橢圓的離心率；(2)如圖c，點在橢圓弧上，且三棱錐的體積為，求二面角的正弦值．例26．（2024·遼寧沈陽·東北育才學校?？家荒＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝?，如圖1所示.蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側棱長