高中數(shù)學(xué) 2.4 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則基礎(chǔ)鞏固 北師大版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則基礎(chǔ)鞏固北師大版選修2-2一、選擇題1．曲線y＝2x3－6x上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－1,4) B．(1，－4)C．(－1，－4)或(1,4) D．(－1,4)或(1，－4)[答案]D[解析]y′＝(2x3－6x)′＝6x2－6，由y′＝0，得x＝1或x＝－1.代入y＝2x3－6x，得y＝－4或y＝4，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－4)或(－1,4)．2．(·合肥一六八高二期中)下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝exC．y＝lnx D．y＝cosx－eq\f(1,2)[答案]D[解析]由y＝sinx得y′＝cosx為偶函數(shù)，故A錯；又y＝ex時，y′＝ex為非奇非偶函數(shù)，∴B錯；C中y＝lnx的定義域x>0，∴C錯；D中y＝cosx－eq\f(1,2)時，y′＝－sinx為奇函數(shù)，∴選D.3．已知曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．3 B．2C．1 D.eq\f(1,2)[答案]A[解析]y′＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)，∴x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2.又∵x＞0，∴x＝3.二、填空題4．(·杭州質(zhì)檢)若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為________．[答案](2，＋∞)[解析]由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函數(shù)定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－2x－4,x)＝2·eq\f(x2－x－2,x)＝2·eq\f(x＋1x－2,x)，f′(x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集為(2，＋∞)．5．(·上海徐匯摸底)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，過點(diǎn)P(－2，－2)作曲線y＝f(x)的切線，則切線的方程為________．[答案]y＝9x＋16或y＝－2[解析]①當(dāng)P(－2，－2)為切點(diǎn)時，切線方程為y＝9x＋16；②當(dāng)P(－2，－2)不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為(a，b)，則b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3，所以切線的斜率k＝3a2－3，故切線方程為y－b＝(3a2－3)(x－a)，又切線過點(diǎn)(－2，－2)，所以－2－b＝(3a2－3)·(－2－a)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－2，))(舍去)，所以切線方程為y＝－2.綜上，所求的切線方程為y＝9x＋16或y＝－2.三、解答題6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x2·sinx；(3)y＝eq\f(ex＋1,ex－1).[分析]仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣求導(dǎo)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式，不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進(jìn)行恒等變形．[解析](1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5；(2)y′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2x·sinx＋x2·cosx；(3)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).一、選擇題1．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，則f′(0)等于()A．2 B．－2C．－4 D．0[答案]C[解析]f′(x)＝2x＋2f′(1)，于是f′(1)＝2＋2f′(1)，則故得f′(x)＝2x－4，因此f′(0)＝－4.故選C.2．(·深圳模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,x)的導(dǎo)數(shù)是()A.eq\f(xsinx＋cosx,x2)B.eq\f(xcosx＋sinx,x2)C.eq\f(xsinx－cosx,x2)D.eq\f(xcosx－sinx,x2)[答案]D[解析]f′(x)＝(eq\f(sinx,x))′＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，故選D.3．(·太原模擬)曲線y＝sinx＋ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0[答案]C[解析]依題意得y′＝cosx＋ex，又曲線y＝sinx＋ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為cos0＋e0＝2，因此該切線方程是y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.選C.4．(·山師附中高二期中)直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1,3)，則2a＋bA．2 B．－1C．1 D．－2[答案]C[解析]由條件知，點(diǎn)A在直線上，∴k＝2，又點(diǎn)A在曲線上，∴a＋b＋1＝3，∴a＋b＝2.由y＝x3＋ax＋b得y′＝3x2＋a，∴3＋a＝k，∴a＝－1，∴b＝3，∴2a＋b5．(·遼寧文，12)已知點(diǎn)P在曲線y＝eq\f(4,ex＋1)上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()A．[0，eq\f(π,4)) B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)] D．[eq\f(3π,4)，π)[答案]D[解析]考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、均值不等式及三角不等式解析：y′＝－eq\f(4ex,ex＋12)∴tanα＝－eq\f(4ex,ex＋12)＝－eq\f(4ex,ex2＋2ex＋1)＝－eq\f(4,ex＋\f(1,ex)＋2)∵ex＞0∴ex＋eq\f(1,ex)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號)∴ex＋eq\f(1,ex)＋2≥4，∴0＜eq\f(4,ex＋\f(1,ex)＋2)≤1∴－1≤tanα＜0∵α∈[0，π)，∴α∈[eq\f(3,4)π，π)，故選D二、填空題6．(·遼寧理，15)已知P、Q為拋物線x2＝2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)分別為4、－2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________．[答案]－4[解析]本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．由題意知：P(4,8)，Q(－2,2)，y′＝x，∴切線斜率k＝4或k＝－2.LAP：y－8＝4(x－4)，LAQ：y－2＝－2(x＋2)聯(lián)立消去x，得y＝－4.注意在切線問題中常常用導(dǎo)數(shù)的幾何意義．7．(·廣東理，10)曲線y＝e－5x＋2在點(diǎn)(0,3)處的切線方程為________．[答案]y＝－5x＋3[解析]∵y＝e－5x＋2，∴y′＝－5e－5x|x＝0＝－5.∴k＝－5，又過點(diǎn)(0.3)，∴切線方程y－3＝kx＝－5x，∴y＝－5x＋3，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義．三、解答題8．求過原點(diǎn)作曲線C：y＝x3－3x2＋2x－1的切線方程．[分析]因為C不過原點(diǎn)，所以切點(diǎn)不為原點(diǎn)，應(yīng)另設(shè)切點(diǎn)，再用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程．[解析]設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵y′＝3x2－6x＋2，∴切線斜率為3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2，∴切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2)(x－x0)∵切點(diǎn)在曲線C，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0－1， ①又切線過原點(diǎn)，∴－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2)(－x0)， ②由①②得0＝－2xeq\o\al(3,0)＋3xeq\o\al(2,0)－1，∴2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，因式分解得：(x0－1)2(2x0＋1)＝0∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)，∴兩個切點(diǎn)為(1，－1)，(－eq\f(1,2)，－eq\f(23,8))∴兩條切線方程為y＋1＝－1(x－1)和y＋eq\f(23,8)＝eq\f(23,4)(x＋eq\f(1,2))即x＋y＝0或23x－4y＝0.[點(diǎn)評]過曲線外一點(diǎn)作切線，應(yīng)是設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，再列關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求解．9．已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線的方程；(2)第(1)小題中切線與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)？[解析](1)把x＝1代入C的方程，求得y＝－4，∴切點(diǎn)為(1，－4)，y′＝12x3－6x2－18x，∴切線斜率為k＝12－6－18＝－12.∴切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x4－2x3－9x2＋4，,y＝－12x＋8))得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，∴(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0，∴x＝1，－2，eq\f(2,3).代入y＝3x4－2x3－9x2＋4，求得y＝－4,32,0，即公共點(diǎn)為(1，－4)(切點(diǎn))，(－2,32)，(eq\f(2,3)，0).∴除切點(diǎn)外，還有兩個交點(diǎn)(－2,32)、(eq\f(2,3)，0).10．已知拋物線：C1y＝x2＋2x和C2y＝－x2＋a.如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點(diǎn)之間的線段稱為公切線段．(1)a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程．(2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分．[解析](1)函數(shù)y＝x2＋2x的導(dǎo)數(shù)y′＝2x＋2，曲線C1在點(diǎn)P(x1，xeq\o\al(2,1)＋2x1)的切線方程是y－(xeq\o\al(2,1)＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－xeq\o\al(2,1). ①函數(shù)y＝－x2＋a的導(dǎo)數(shù)y′＝－2x，曲線C2在點(diǎn)Q(x2，－xeq\o\al(2,2)＋a)的切線方程是y－(－xeq\o\al(2,2)＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋xeq\o\al(2,2)＋a. ②如果直線l是過點(diǎn)P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝－x2，,－x\o\al(2,1)＝x\o\al(2,2)＋a，))消去x2得方程2xeq\o\al(2,1)＋2x1＋1＋a＝0，此方程Δ＝4－4×2(1＋a)．由Δ＝0，得a＝－eq\f(1,2)，解得x＝－eq\f(1,2)，此時P與Q重合，即當(dāng)a＝－eq\f(1,2)時，C1和C2有且僅有一條公切線．由①得公切線方程為y＝x－eq\f(1,4).(2)由(1)可知，當(dāng)a＜－eq\f(1,2)時，C1和C2有兩條公