模型15 全等三角形-雨傘模型-解析版

全等三角形模型（十五）——雨傘模型【條件】AP是∠BAC的平分線，BO⊥AP【結(jié)論】①△ABO≌△ADO，②AB=AD，③OB=OD角平分線＋垂直＝延長【證明】延長BO交AC于D，在△BAO和△DAO中∠BAO＝∠DAOAO＝AO∠AOB＝∠AOD∴△BAO≌△DAO∴AB＝AD,OB＝ODeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)角平分線+垂線,輕輕延長等腰現(xiàn) 1．（2022·江蘇泰州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析【分析】（1）延長BE、AC交于點(diǎn)H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵．2．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點(diǎn)D．（1）若的中點(diǎn)為M，連接交于點(diǎn)N，求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）,證明見解析．【分析】（1）由已知條件可得，進(jìn)而得，由直線平分及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得，再由三角形的外角定理，分別求得，根據(jù)角度的等量代換，即可得，最后由等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可得證；（2）如圖，延長交軸于點(diǎn)，先證明，得，再證明，即可得．【詳解】（1），，，，直線平分，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，．（2），證明：如圖，延長交軸于點(diǎn)，直線平分，，，，又，（ASA），，，，即，，又，（ASA），，即．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的定義，非負(fù)數(shù)之和為零，三角形角平分線的定義，三角形中線的性質(zhì)，三角形外角定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，熟練掌握以上知識(shí)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．1．（2022·廣東·豐順縣小勝中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE點(diǎn)F在AB上，且BF=DE（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析【分析】（1）延長CE交AB于點(diǎn)G，證明，得E為中點(diǎn)，通過中位線證明DEAB，結(jié)合BF=DE，證明BDEF是平行四邊形（2）通過BDEF為平行四邊形，證得BF=DE=BG，再根據(jù)，得AC=AG，用AB-AG=BG，可證【詳解】（1）證明：延長CE交AB于點(diǎn)G∵AECE∴在和∴∴GE=EC∵BD=CD∴DE為的中位線∴DEAB∵DE=BF∴四邊形BDEF是平行四邊形（2）理由如下：∵四邊形BDEF是平行四邊形∴BF=DE∵D，E分別是BC，GC的中點(diǎn)∴BF=DE=BG∵∴AG=ACBF=（AB-AG）=（AB-AC）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的證明，中位線的性質(zhì)，全等三角形的證明等綜合性內(nèi)容，作好適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖中，，，的平分線交于點(diǎn)，，求證：.【答案】見解析.【分析】延長BD交CA的延長線于F，先證得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再證△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出結(jié)論即可．【詳解】證明：如圖，延長交的延長線于，平分【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．1．在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD的大小為_________；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD的大小與（2）中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫出的大?。敬鸢浮浚?）30°；（2）30°；（3）為或或．【分析】（1）由，，可以確定，旋轉(zhuǎn)角為，時(shí)是等邊三角形，且，知道的度數(shù)，進(jìn)而求得的大??；（2）由，，可以確定，連接、．，，，由案．依次證明，．利用角度相等可以得到答案．（3）結(jié)合（1）（2）的解題過程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是等邊三角形時(shí)，在內(nèi)部時(shí)，在外部時(shí)，求得答案．【詳解】解：（1）解（1）∵，，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴．又∵，∴為等腰三角形，∴，∴．（2）方法1：如圖作等邊，連接、．，．，，．，．．①，，．②，③由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下圖所示，構(gòu)造等邊三角形ADE，連接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可證．結(jié)合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下圖所示，平移CD至AE，連接ED，EB，則四邊形ACDE是平行四邊形．∵，∴四邊形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等邊三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．（3）由（1）知道，若，時(shí)，則；①由（1