12二次函數(shù)中的應(yīng)用題學(xué)生版

第第頁第講二次函數(shù)中的應(yīng)用題適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域課時(shí)時(shí)長（分鐘）120分鐘知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)與最值問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1二次函數(shù)中涉及到最值問題，往往利用函數(shù)思想，通過設(shè)元列出相關(guān)量的函數(shù)表達(dá)式，然后通過二次函數(shù)頂點(diǎn)求解方法進(jìn)行最值的求解。學(xué)習(xí)重點(diǎn)1函數(shù)思想的運(yùn)用以及對(duì)于函數(shù)的綜合問題的了解。學(xué)習(xí)難點(diǎn)函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用以及求值的問題。教學(xué)過程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)上節(jié)課我們對(duì)于掌握等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，并能求出相關(guān)的點(diǎn)的存在性問題，理解并掌握拋物線與特殊的平行四邊形的求法，理解并掌握拋物線與相似三角形問題的解法，理解并掌握拋物線與梯形的存在性問題的求法進(jìn)行了學(xué)習(xí)。知識(shí)講解1、求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵是把每一段的解析式表示正確．最值問題分為最短距離、三角形面積的最值、最大利潤、一般函數(shù)的最值、分段函數(shù)的最值等，求分段函數(shù)的最值方法是求出每一段函數(shù)的最值，最后作比較，得出最值．2、二次函數(shù)的利潤問題的應(yīng)用三、例題精析例一.2015南京·27某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本（單位：元）、銷售價(jià)（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義；（2）求線段AB所表示的與x之間的函數(shù)表達(dá)式；[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]（3）當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？例二、（2015南通，第26題，10分）某網(wǎng)店打出促銷廣告：最潮新款服裝30件，每件售價(jià)300元．若一次性購買不超過10件時(shí)，售價(jià)不變；若一次性購買超過10件時(shí)，每多買1件，所買的每件服裝的售價(jià)均降低3元．已知該服裝成本是每件200元，設(shè)顧客一次性購買服裝x件時(shí)，該網(wǎng)店從中獲利y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）顧客一次性購買多少件時(shí)，該網(wǎng)店從中獲利最多？例三．（2015無錫，第28題，10分）如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，OC=6，N為邊OB上異于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn)，P是線段CN上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，PM∥OB交OA于點(diǎn)M．（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求證：CN⊥OB；（2）當(dāng)點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OMPQ始終保持為菱形；①問：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請(qǐng)說明理由；②設(shè)菱形OMPQ的面積為，△NOC的面積為，求的取值范圍．課堂運(yùn)用1、已知：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過點(diǎn)M、N分別作邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過程中，為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；（2）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．求四邊形mnqp的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．CPQCPQBAMNCPQBAMN2.為迎接第四屆世界太陽城大會(huì)，德州市把主要路段路燈更換為太陽能路燈．已知太陽能路燈售價(jià)為5000元/個(gè)，目前兩個(gè)商家有此產(chǎn)品．甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個(gè)，按原價(jià)付款；若一次購買100個(gè)以上，且購買的個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少10元，但太陽能路燈的售價(jià)不得低于3500元/個(gè)．乙店一律按原價(jià)的80℅銷售．現(xiàn)購買太陽能路燈x個(gè)，如果全部在甲商家購買，則所需金額為y1元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為y2元.（1）分別求出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若市政府投資140萬元，最多能購買多少個(gè)太陽能路燈？3．如圖所示的遮陽傘，傘炳垂直于水平地面，起示意圖如圖2.當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；當(dāng)三慢慢撐開時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P由A向B移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，傘張得最開。已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米．BC=2.0分米。設(shè)AP=ｘ分米.（1）求ｘ的取值范圍；（2）若∠CPN=60度，求ｘ的值；（3）設(shè)陽光直射下傘的陰影（假定為圓面）面積為ｙ，求ｙ與ｘ的關(guān)系式（結(jié)構(gòu)保留π）課后作業(yè)1、如圖12，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)。設(shè)CP=x,△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y。（1）求∠CPQ的度數(shù)。（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的邊AB上？（3）當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD外部時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。并求此時(shí)函數(shù)值y的取值范圍。FEFE圖12（2）PDCQABRB圖12（1）PRQACD2、如圖，在梯形ABCD中，,AB=2，DC=10，AD=BC=5，點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC上運(yùn)動(dòng)，并保持，，，垂足分別為E、F求梯形ABCD的面積探究一：四邊形MNFE的面積有無最大值？若有，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若無，請(qǐng)說明理由；探究二：四邊形MNFE能否為正方形？若能，請(qǐng)求出正方形的面積；若不能，請(qǐng)說明理由.3．某公司有甲、乙兩個(gè)綠色農(nóng)場品種植基地，在收獲期這兩個(gè)基地當(dāng)天收獲的某種農(nóng)場品，一部分存入倉庫，另一部分運(yùn)往外地銷售。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該農(nóng)場品在收獲過程中兩個(gè)種植基地累積總產(chǎn)量y（噸）與收獲天數(shù)x（天）滿足函數(shù)關(guān)系y=2x+3（1≤x≤10且x為整數(shù)）。該農(nóng)場品在收獲過程中甲、乙兩基地的累積產(chǎn)量分別占兩基地累積總產(chǎn)量的百分比和甲、乙兩基地累積存入倉庫的量分別占甲、乙兩基地的累積產(chǎn)量的百分比如下表：百分比種植基地該基地的累積產(chǎn)量占兩基地累積總產(chǎn)量的百分比該基地累積存入倉庫的量占該基地的累積產(chǎn)量的百分比甲60%85%乙40%22.5%（1）請(qǐng)用含y的代數(shù)式分別表示在收獲過程中甲、乙兩個(gè)基地累積存入倉庫的量；（2）設(shè)在收獲過程中甲、乙兩基地累積存入倉庫的該種農(nóng)產(chǎn)品的總量為p（噸），請(qǐng)求出p（噸）與收獲天數(shù)x（天）的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若倉庫內(nèi)原有該種農(nóng)產(chǎn)品42.6噸，為滿足本地市場需求，在收獲期開始的同時(shí)，每天從倉庫調(diào)出一部分該種農(nóng)產(chǎn)品揉入本地市場，若現(xiàn)在本地市場售出的該種農(nóng)產(chǎn)品總量m（噸）與收獲天數(shù)x（天）滿足函數(shù)關(guān)系式（1≤x≤10且x為整數(shù)）。問在此收獲期內(nèi)連續(xù)銷售幾天，該農(nóng)產(chǎn)品庫存量達(dá)到最低值？最低庫存量是多少噸？課堂練習(xí)答案：1.【答案】(1)若要四邊形MNQP為矩形，則有MP=QN，此時(shí)由于∠PMA=∠QNB=90°，∠A=∠B=60°，所以Rt△PMA≌Rt△QNB，因此AM=BN.移動(dòng)了t秒之后有AM=t，BN=3-t，由AM=BN，t=3-t即得t=1.5.此時(shí)Rt△AMP中，AM=1.5，∠A=60°，所以MP=，又MN=1，所以矩形面積為.(2)仍按上題的思路，如果M，N分列三角形底邊AB中線兩端，由于AM=t，所以MP=t，由于BN=4-t-1=3-t，所以NQ=(3-t)，因?yàn)镸N=1，所以梯形MNQP的面積為·MN·(MP+QN)=×(t+(3-t))=為定值（即不隨時(shí)間變化而變化）。這時(shí)要求1<t<2.若t<=1或者t≥2則M，N兩點(diǎn)都在底邊中線同側(cè)，如第二個(gè)圖和第三個(gè)圖所示.在第二個(gè)圖中，BM=t，BN=1+t，所以梯形面積為S=×1×[t+(3-t))]=(2t+1)，此時(shí)0≤t≤1.類似地也可求得2≤t≤=3時(shí)的情況，此時(shí)面積為S=(7-2t).2.【答案】解：（1）由題意可知，當(dāng)x≤100時(shí)，購買一個(gè)需元，故；當(dāng)x≥100時(shí)，因?yàn)橘徺I個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少10元，但售價(jià)不得低于3500元/個(gè)，所以x≤+100=250．即100≤x≤250時(shí)，購買一個(gè)需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；當(dāng)x>250時(shí)，購買一個(gè)需3500元，故；所以，．(2)當(dāng)0<x≤100時(shí)，y1=5000x≤500000<1400000；當(dāng)100<x≤250時(shí)，y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+900000<1400000；所以，由，得；由，得．故選擇甲商家，最多能購買400個(gè)路燈．3.【答案】23.解（1）因?yàn)锽C=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10所以ｘ的取值范圍是因?yàn)镃N=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等邊三角形．所以CP=6所以AP=AC-PC=12-6=6即當(dāng)∠CPN=60°時(shí)，ｘ=6分米連接MN、EF，分別交AC與0、H，因?yàn)镻M=PN=CM=CN，所以四邊形PNCM是菱形。所以MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線在中，PM=6，又因?yàn)镃E=CF，AC是∠ECF的平分線，所以EH=HF，EF垂直AC。因?yàn)椤螮CH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，所以，所以MO/EH=CM/CE所以所以所以課后作業(yè)答案：【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC又AB=6,AD=2,∠C=90°∴CD=6,BC=2∴tan∠CBD＝=∴∠CBD=60°∵PQ∥BD∴∠CPQ=∠CBD=60°………2分（2）如題圖12（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△RPQ≌△CPQ∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60°∴∠RPB=60°,∴RP=2BP∵CP=x∴RP=x,PB=2-x.………4分∴在△RPB中，有2（2-x）=x∴x=………………6分（3）當(dāng)R點(diǎn)在矩形ABCD的外部時(shí)（如題圖12（2）），﹤x﹤2在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x）∴RP=CP=x∴ER=RF-PF=3x-4………7分在Rt△ERF中∵∠EFR=∠PFB=30°∴ER=RF·tan30°=x-4∴Ｓ△ERF=ER×FR=(x-4)(3x-4)=-12x+8………8分又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=x×x=∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△ERF∴當(dāng)﹤x﹤2時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-（-12x+8）=-+12x-8（﹤x﹤2）…………10分∵y=-+12x-8=-(x-2)+4∴當(dāng)﹤x﹤2時(shí)，y隨x的增大而增大∴函數(shù)值y的取值范圍是﹤y﹤4…………12分2.【答案】解：做AG⊥DC，BH⊥DC.（1）因?yàn)锳B//DC,所以四邊形AGHB是矩形，所以GH=AB=2，AG=BH.又因?yàn)锳D=BC=5，所以Rt△ADG≌Rt△BCH，所以DG=CF.所以DG=（DC-GH）÷2=4.在Rt△ADG中，AG==3.所以梯形ABCD的面積是=18.（2）設(shè)MN=x，則EF=MN=x，所以DE==.因?yàn)镸E⊥DC，NF⊥DC，所以ME//AG,∠MED=∠AGD=90°，所以△DEM∽△DGA，所以=，所以=，所以ME=，所以四邊形MEFN的面積是S=MN·ME=x·==.所以當(dāng)x=5時(shí)，四邊形MEFN的面積的最大值是.（3）四邊形MEFN能為正方形，且邊長為x，則由（2）知道，=，所以=，所以x=.此時(shí)四邊形的面積是.3.【答案】解：（1）①甲基地累積存入倉庫的量：85%×60%y=0.51y（噸）………………