等比數(shù)列的前n項和一知識分享

2.5等比數(shù)列的前n項和(一)海南省洋浦中學(xué)周麗宇從前，有個貪婪的地主，總是剝削他的佃農(nóng)，有一天，農(nóng)夫終于想到了一個辦法來對付這個地主。春天到來時，地主對農(nóng)夫說：“一年之計在于春，又到了春播時節(jié)了。你到地里干一個月（30天）的活，先來談?wù)勀愕墓ゅX。哎，最近官吏征收繁多，地主家也沒有多少余糧啊?！鞭r(nóng)夫說：“這樣吧，工錢不要了，我每天給你一袋米（40斤），你第一天給我一粒大米，第二天給我兩粒，第三天四粒，第四天八?！院竺刻旖o我的大米數(shù)是前一天的2倍。你看如何？”地主心想：第一天1粒，第二天2粒，第三天4粒，第四天8?！尤挥羞@么笨的農(nóng)夫，我一把米可以換他多少袋米啊。哈哈，我賺大發(fā)了。地主就馬上同農(nóng)夫進行了簽字畫押。

問題引入求等比數(shù)列的前30項的和。(二)問題探究問題1：這個故事中，地主中計了嗎？到底誰吃虧了？問題2：這個月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？問題3：這個月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？（1000粒米約40克）40×30=1200（斤）問題4：這是什么數(shù)列求和？求前多少項的和？現(xiàn)在我們一起來尋找答案。米粒的總數(shù)為:問題5：如何求出這個和？用計算器怎么樣？問題7：怎樣求等比數(shù)列的前n項和公式？問題6：等差數(shù)列有求和的公式，那么等比數(shù)列是否也有求和的公式呢？若有就直接用公式時間很長，太麻煩了。(二)問題探究問題8：能否類比等差數(shù)列前n項和公式的求法？等比數(shù)列的前n項和公式解析1：找個具體的等比數(shù)列來檢驗問題1：對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加的方法進行求和呢?請大家動手試試。?(四)類比探究每個括號里的值不相等,不能寫成n倍來化簡!所以解析2：一般地，對于等比數(shù)列，因為：問題1：對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加的方法進行求和呢?請大家動手試試。?等比數(shù)列的前n項和公式(四)類比探究無法化簡問題1：對于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加的方法進行求和呢?請大家動手試試。?反思：對于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘此方法的本質(zhì)（求和的根本目的）。問題2：求和的根本目的是什么？答：求和的根本目的是消項。消項后就可化簡。改進：為了看清式子的特點，我們不妨把各項都用首項和公比來表示。①等比數(shù)列的前n項和公式(四)類比探究①問題4：類比等差數(shù)列求和方法，需要構(gòu)造另一個式子②，而要達到消項的目的，就須使兩式具有＿＿＿＿問題3：觀察求和的式子①，相鄰兩項有什么特征？怎樣把某一項變成它的后一項？后項=前項×公比相同的項問題5：如何構(gòu)造式子②？將式子①的兩邊都乘以②問題6：為了消項，接下來將這兩個式子怎么樣？相減等比數(shù)列的前n項和公式(四)類比探究①-②得：問題7：要求出，是否可以把上式兩邊同除以？當(dāng)時，除以得：當(dāng)時，①②注意：分類討論是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法！等比數(shù)列的前n項和公式(四)類比探究當(dāng)q=1時，當(dāng)q≠1時，則探究成果：①等比數(shù)列的前n項和公式(四)類比探究等差數(shù)列方法小結(jié)：課后思考：用錯位相減法求和時只能乘以公比嗎？能否乘以其它的數(shù)？聯(lián)想我們所學(xué)過的知識，即類比＿＿＿＿＿＿＿＿，挖掘其方法的＿＿＿（求和的根本目的是＿＿＿），結(jié)合等比數(shù)列自身的＿＿＿來構(gòu)造式子②，再把兩式＿＿＿，這種求和方法叫做＿＿＿＿＿＿求和方法本質(zhì)消項特征相減錯位相減(四)類比探究問題1：還有其它的推導(dǎo)方法嗎？①問題2：根據(jù)①式的特點，能否建立一個關(guān)于的方程？若能，就可從方程中解出問題3：①式的左邊是,要建立一個關(guān)于的方程,那就要將①式的右邊也用含

的式子來表示。問題4：觀察①式的右邊，從第二項開始，每一項都含有因式

，是否可考慮將之提出來？(五)方程探究等比數(shù)列的前n項和公式①問題5：括號里面的，與①式右邊對照，少了哪一項？問題6：括號里面的，怎樣用含的式子表示？從這個方程解出問題7：這樣就得到了一個什么方程？問題8：解方程時要注意對＿＿＿＿＿＿進行＿＿。

一元一次方程未知量的系數(shù)討論(五)方程探究等比數(shù)列的前n項和公式移項，得：當(dāng)q=1時，當(dāng)q≠1時，①①(五)方程探究等比數(shù)列的前n項和公式(建立方程)用表示注意：方程法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法！

一部分項提公因式過程小結(jié)：解方程根據(jù)等比數(shù)列求和式子的特點，對其部分項提出公因式＿＿后，可將其用含＿＿＿的式子表示出來，從而建立關(guān)于＿＿＿的方程，解此方程即可。課后思考：對和式①的右邊部分，只能提出公比嗎？能否提出其它的公因式？

(五)方程探究(六)熟悉理解等比數(shù)列前n項和公式當(dāng)q≠1時，當(dāng)q＝1時，①②思考1：根據(jù)公式①，要求一個等比數(shù)列的前n項和，一般要先求出哪些量？思考2：能否將Sn和用a1,q,an來表示？思考3：什么時候用公式①,什么時候用公式②?例1.求下列等比數(shù)列前8項的和．(七)公式的應(yīng)用思考：能否用公式②求？答：可以。但要先求出公比和解題思路：求出公比后用公式①求變式1判斷正誤：反思總結(jié):用公式前，先弄清楚數(shù)列的首項、公比、項數(shù)n①②③(七)公式的應(yīng)用×××①在等比數(shù)列中，已知中的三個，可求另外兩個。變式2

填空：反思總結(jié):②如果不能用公式直接求出某個量，就要建立方程組來求解。qn第1題326第2題80.50.5第3題-1.5496第4題1.534.5第5題-2-96-66(七)公式的應(yīng)用96189515.5-476.511.5-65知三求二(八)問題解決問題1：這個故事中，地主中計了嗎？到底誰吃虧了？問題2：這個月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？問題3：這個月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？（1000粒米約40克）40×30=1200（斤）地主中計米粒的總數(shù)為:智慧來源于積極思考！啟示：這個故事告訴我們不貪圖眼前小利，把目光放長遠！(八)問題解決學(xué)會理性思考，學(xué)好數(shù)學(xué)！(九)課堂小結(jié)1.一個公式：2.兩種方法：3.三種數(shù)學(xué)思想：這節(jié)課我們主