五年級上冊數(shù)學(xué)培優(yōu)奧數(shù)講義-第25講 組合圖形的面積

第25講組合圖形的面積知識裝備平面組合圖形是由兩個(gè)或兩個(gè)以上簡單的幾何圖形組合而成，與平面組合圖形相關(guān)的計(jì)算應(yīng)看清所求圖形是由哪幾個(gè)基本圖形組合而成，還要找出圖中的隱蔽條件與已知條件和要求的問題間的關(guān)系。在實(shí)際問題中，常采用數(shù)據(jù)推導(dǎo)、割補(bǔ)、平移、巧添輔助線、旋轉(zhuǎn)、組合等方法，將復(fù)雜問題簡單化。初級挑戰(zhàn)1如下圖，空白部分是兩個(gè)平行四邊形，求圖中陰影部分的面積。思路引領(lǐng)：圖中空白部分是兩個(gè)（），可將它們轉(zhuǎn)化成與之等底等高的（），再平移到圖形的一側(cè)，那么陰影部分的面積就變成了規(guī)則的（）。答案：28×20＝560（平方米）能力探索1下圖是一塊長10米，寬8米的長方形草坪，中間有兩條走道，求草地的面積。答案：（10－1）×（8－1）＝63（平方米）初級挑戰(zhàn)2求四邊形ABCD的面積。（單位：厘米）思路引領(lǐng)：如下圖延長BA、CD交于E，△BEC中，S四邊形ABCD＝S△EBC－S△ADE。根據(jù)∠C＝45°可知，BE＝BC＝7，因此S△BEC＝（）。∠E＝（），那么△ADE中，DE＝AD＝3，S△ADE＝（）。答案：S△BCE：7×7÷2＝24.5（平方厘米）；S△ADE：3×3÷2＝4.5（平方厘米）；S四邊形ABCD：24.5－4.5＝20（平方厘米）。能力探索2計(jì)算下面圖形的面積（單位：厘米）答案：將圖形分割成一個(gè)三角形和長方形，再計(jì)算面積。三角形面積：（12－8）×（10－5）÷2＝4×5÷2＝10（平方厘米）；長方形面積：8×10＝80（平方厘米）；圖形面積：10＋80＝90（平方厘米）。中級挑戰(zhàn)1下面一個(gè)長方形被分成六個(gè)小長方形，其中四個(gè)長方形的面積如圖所示（單位：平方厘米），求A和B的面積。10A63063B思路引領(lǐng)：長方形的面積＝（）×（）①兩個(gè)長方形的長相等，它們面積的倍數(shù)等于對應(yīng)寬的倍數(shù)②兩個(gè)長方形的寬相等，它們面積的倍數(shù)等于對應(yīng)長的倍數(shù)。答案：A：63÷（30÷10）＝21（平方厘米）B：63÷21×6＝18（平方厘米）能力探索31、一個(gè)大長方形被兩條平行于它兩條邊的線段分成四個(gè)較小的長方形，其中三個(gè)長方形的面積如下圖所示，求第4個(gè)長方形的面積。答案：42÷（18÷6）＝142、一塊平行四邊形草地，被劃分為4塊，如圖所示，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)，求陰影部分面積是多少？答案：6÷3＝2，50×2＝100(平方厘米)中級挑戰(zhàn)2把長為9厘米、寬為6厘米的長方形，劃成如圖的四個(gè)三角形，其面積分別為S1、S2、S3、S4，如果S1＝S2＝S4＋S3，求S4。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，長方形的面積為（）平方厘米，而S1＝S2＝S4＋S3＝（）平方厘米。再根據(jù)a＝2S÷h，可求出BE和DF的長，從而推出CE和CF的長。那么S3可求，再求出S4。答案：S1＝S2＝S4＋S3＝9×6÷3＝18（平方厘米）DF：18×2÷9＝4（厘米）CF：6－4＝2（厘米）BE：18×2÷6＝6（厘米）CE：9－6＝3（厘米）S3＝3×2÷2＝3（平方厘米）S4＝18－3＝15（平方厘米）能力探索4如圖，正方形ABCD邊長為6厘米，△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積都相等，求△AEF的面積。答案：S△ABE＝S△ADF＝6×6÷3＝12（平方厘米），BE＝12×2÷6＝4（厘米）；DF＝12×2÷6＝4（厘米），EC＝6－4＝2（厘米），F(xiàn)C＝6－4＝2（厘米）。S△CEF＝2×2÷2＝2（平方厘米）；S△AEF＝12－2＝10（平方厘米）。聰明泉蒼蠅飛了多遠(yuǎn)？兩個(gè)男孩各騎一輛自行車，從相距20英里（1英里合1.6093千米）的兩個(gè)地方，開始沿直線相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛自行車車把上的一只蒼蠅，開始向另一輛自行車徑直飛去。它一到達(dá)另一輛自行車車把，就立即轉(zhuǎn)向往回飛行。這只蒼蠅如此往返，在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到兩輛自行車相遇為止。如果每輛自行車都以每小時(shí)10英里的速度前進(jìn)，蒼蠅以每小時(shí)15英里的速度飛行，那么，蒼蠅總共飛行了多少英里？答案:每輛自行車運(yùn)動的速度是每小時(shí)10英里，兩者將在1小時(shí)后相遇于20英里距離的中點(diǎn)。蒼蠅飛行的速度是每小時(shí)15英里，因此在1小時(shí)中，它總共飛行了15英里。許多人試圖用復(fù)雜的方法求解這道題目。他們計(jì)算蒼蠅在兩輛自行車車把之間的第一次路程，然后是返回的路程，依此類推，算出那些越來越短的路程。但這將涉及所謂無窮級數(shù)求和，這是非常復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)。拓展挑戰(zhàn)如圖，ABCD是正方形，邊長24厘米，AEFG是長方形，E在BC上，D在FG上，AE長36厘米，AG長多少厘米?【思路點(diǎn)撥】連接DE（如下圖），在正方形ABCD中，△ADE的底AD與對應(yīng)的高，都等于正方形ABCD的邊長，所以△ADE面積是正方形ABCD面積的；在長方形AEFG中，△ADE的底AE與對應(yīng)的高分別與長方形AEFG的長和寬相等，所以△ADE面積是長方形AEFG面積的。所以長方形AEFG的面積與正方形ABCD的面積相等。即:S長方形AEFG＝S長方形AEFG＝24×24＝576（平方厘米）那么AG的長是576÷36＝16（厘米）。能力探索5如圖，ABCD是長方形，AB長25厘米，AD長36厘米，DEFG是正方形，G在BC上，A在EF上，EF長多少厘米?答案：連接AG，△AGD是長方形ABCD面積的一半，也是正方形DEFG面積的一半，所以長方形ABCD的面積＝正方形DEFG的面積，正方形DEFG的面積＝36×25＝900（平方厘米），而900＝30×30，所以EF長30厘米。課堂小測1、下圖是一塊長方形公園綠地，綠地長24米，寬16米，中間有一條寬為2米的道路，求草地（陰影部分）的面積。答案：（24－2）×（16－2）＝308（平方米）2、下圖一個(gè)大長方形被分成四個(gè)小長方形，其中三個(gè)小長方形的面積分別是15平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求陰影部分的面積。答案：30÷15×32＝64（平方厘米）3、四個(gè)完全一樣的長方形和一個(gè)小正方形組成了一個(gè)大正方形，如果大、小正方形的面積分別是36平方米和4平方米，求其中一個(gè)長方形的寬。答案：因?yàn)?6＝6×6，4＝2×2所以大正方形的邊長為6米，小正方形的邊長為2米，寬：（6－2）÷2＝2（米）4、如圖，正方形ABCD的邊長為24厘米，AE長15厘米，BF長14厘米，求圖中陰影部分的面積。答案：正方形面積是24×24＝576（平方厘米），三角形AED的面積是24×15÷2＝180（平方厘米），三角形BEF的面積是（24－15）×14÷2＝63（平方厘米），三角形DCF的面積是24×（24－14）÷2＝120（平方厘米），陰影部分的面積是576－180－63－120＝213（平方厘米）?！?、計(jì)算圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）答案：把△ABC的面積擴(kuò)大一倍后變成一個(gè)長方形，如下圖。由圖形可知①的面積與②的面積相等，③的面積與④的面積相等，所以兩個(gè)陰影部分的面積也相等，因此所求陰影部分的面積是：6×4＝24（平方厘米）課后作業(yè)1、一個(gè)平行四邊形模具，被分為4塊，如圖所示，那么A的面積是多少？答案：60÷30＝2，20÷2＝10(平方厘米)2、如圖是一塊長方形草地，長是16米，寬是10米。中間有一條平行四邊形路和一條長方形路。求有草部分（陰影部分）的面積有多大？答案：因平行四邊形的高與長方形的長相等，先將平行四邊形轉(zhuǎn)化成面積相等的長方形，再將兩條路平移，使得陰影部分是一個(gè)規(guī)則的長方形。然后求出面積：（16－2）×（10－2）＝14×8＝112（平方米）3、如圖，ABCD是直角梯形，其中