第11講二次函數(shù)中矩形、正方形的存在性問(wèn)題專(zhuān)題探究(原卷版+解析)

第11講二次函數(shù)中矩形、正方形的存在性問(wèn)題專(zhuān)題探究【知識(shí)總結(jié)】方法策略：抓矩形兩大性質(zhì)【內(nèi)角=90°＋對(duì)角線相等→轉(zhuǎn)化為直角△存在性問(wèn)題】正方形存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形存在性問(wèn)題【類(lèi)題訓(xùn)練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）點(diǎn)E為直線l下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的面積的最大值為時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（1，4），與x軸交于A和B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)A，B、C的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使以B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BD為對(duì)角線的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為直線y＝x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，求四邊形PBDC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以PC為對(duì)角線的正方形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．?4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線BD∥AC交拋物線于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，連接DP，交AC于點(diǎn)E，連接BE，BP，求△BPE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線沿射線CA方向平移單位得到新的拋物線y'，點(diǎn)M是新拋物線y'對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出其中一個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)的求解過(guò)程．5．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B，C重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，直線DF與直線AC交于點(diǎn)E，若DE＝EA，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線BD交直線AC于點(diǎn)H，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A，D，H，G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），C為該拋物線圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值；（3）點(diǎn)D在拋物線上（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)，問(wèn)是否存在正方形ACPD？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，二次函數(shù)y＝﹣+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，求P點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，△BCP的面積最大，并求出這個(gè)最大面積．（3）在直線CD上有點(diǎn)E，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)以O(shè)、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo)．8．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），其對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，與y軸交于點(diǎn)B．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）點(diǎn)M在線段AB上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．①若MN：NC＝2：5，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PBC的面積為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若兩垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)數(shù)值是面積數(shù)值的2倍，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“二倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)P（，3）是“二倍點(diǎn)”．（1）在點(diǎn)A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍點(diǎn)”的有；（2）若點(diǎn)E為雙曲線y＝﹣（x＞0）上任意一點(diǎn)．①請(qǐng)說(shuō)明隨著點(diǎn)E在圖象上運(yùn)動(dòng)，為什么函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大？②若將點(diǎn)E向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位得到點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F為“二倍點(diǎn)”．（3）已知“二倍點(diǎn)”M在拋物線y＝x2（x＞0）的圖象上，“二倍點(diǎn)”N在一次函數(shù)y＝x（x＞0）的圖象上，點(diǎn)G在x軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)H，若以點(diǎn)M，N，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)．11．已知，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）如圖1，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作DP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)P作PE⊥x軸，垂足為E，交BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG⊥PE，交DP于G，連接CG，OG，求陰影部分面積S的最大值和D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖3，將拋物線沿射線AC方向移動(dòng)個(gè)單位得到新的拋物線y'＝ax2+bx+c（a≠0），是否在新拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CB為邊的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第11講二次函數(shù)中矩形、正方形的存在性問(wèn)題專(zhuān)題探究【知識(shí)總結(jié)】方法策略：抓矩形兩大性質(zhì)【內(nèi)角=90°＋對(duì)角線相等→轉(zhuǎn)化為直角△存在性問(wèn)題】正方形存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形存在性問(wèn)題【類(lèi)題訓(xùn)練】1．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（1，4），與x軸交于A和B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)A，B、C的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使以B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BD為對(duì)角線的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由題意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，則x＝﹣1或3，即可求解；（2）由△BCP面積＝S△PHC+S△PHB＝PH?OB，即可求解；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和對(duì)角線BD＝MN列出方程組，即可求解．【解答】解：（1）由題意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，則x＝﹣1或3，即點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）；（2）過(guò)點(diǎn)作PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），則△BCP面積＝S△PHC+S△PHB＝PH?OB＝×（﹣x2﹣2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x），∵﹣＜0，則△BCP面積有最大值，此時(shí)，點(diǎn)P（，）；（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，m）或（n，0），點(diǎn)N（s，t），由點(diǎn)B、D的坐標(biāo)得，BD2＝20，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和對(duì)角線BD＝MN得：或，解得：或，即點(diǎn)N（4，1）或（4，3）或（3，4）．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）點(diǎn)E為直線l下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的面積的最大值為時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于兩點(diǎn)A、B，求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，作DF⊥x軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法法即可求得直線l的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)點(diǎn)E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根據(jù)直線和拋物線解析式求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函數(shù)解析式，根據(jù)最值確定a的值即可；（3）分以AD為矩形的對(duì)角線和以AD為矩形的邊兩種情況利用矩形的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）令y＝0，則ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（﹣1，0），如圖1，作DF⊥x軸于F，∴DF∥OC，∴＝，∵CD＝4AC，∴＝＝4，∵OA＝1，∴OF＝4，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，∴D（4，5a），把A、D坐標(biāo)代入y＝kx+b得，解得，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH∥y軸，交直線l于點(diǎn)H，設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則H（x，ax+a）．∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a．∴△ADE的面積的最大值為a，∴a＝，解得：a＝．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣．（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，設(shè)P（1，m），①若AD為矩形的邊，且點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，則AD∥PQ，且AD＝PQ，則Q（﹣4，21a），m＝21a+5a＝26a，則P（1，26a），∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2＝，∵a＞0，∴a＝，∴P1（1，），②若點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，則AD∥PQ，且AD＝PQ，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，此時(shí)QD顯然不垂直于AD，不符合題意，舍去；③若AD是矩形的一條對(duì)角線，則AD與PQ互相平分且相等．∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝y(tǒng)P+yQ，∴xQ＝2，∴Q（2，﹣3a）．∴yP＝8a∴P（1，8a）．∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°∴AP2+PD2＝AD2∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2即a2＝，∵a＞0，∴a＝∴P2（1，4）綜上所述，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，4）．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為直線y＝x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，求四邊形PBDC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以PC為對(duì)角線的正方形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．?【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作直線BC，過(guò)P作PH⊥x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H．設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則H（m，m﹣3），則PH＝﹣m2+3m，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△BPC的面積最大值，從而求出此時(shí)四邊形PBDC面積的最大值，P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），E（n，0），分四種情況畫(huà)出圖形，利用正方形性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得，，解得，，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y＝kx+b′，將B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′中，得，解得，，∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3．設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則H（m，m﹣3），∴PH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△BPC＝S△PCH+S△BPH，＝PH?OG+PH?BG＝PH（OG+BG）＝PH×OB＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴當(dāng)m＝時(shí)，△BPC面積的最大值為．∵BC與直線y＝x平行，∴S△DBC＝S△OBC＝OB?OC＝×3×3＝，∴四邊形PBDC面積的最大值為+＝．∵當(dāng)m＝時(shí)，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，∴P（，﹣）；（3）存在，理由如下：設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），E（n，0），I．如圖3﹣1，當(dāng)點(diǎn)E在原點(diǎn)時(shí)，即點(diǎn)E（0，0），CE＝PE＝3，∠CEP＝90°，∵四邊形PECQ為正方形，∴點(diǎn)Q（3，﹣3），II．如圖3﹣2，當(dāng)四邊形PECQ為正方形時(shí)，CE＝PE，∠CEP＝∠PEO+∠CEO＝90°，作PI⊥x軸，垂足為I，作QH⊥y軸，垂足為H，又∵∠CEO+∠OCE＝90°，∴∠OCE＝∠PEO，∴△OCE≌△PEI（ASA）∴CO＝IE＝3，EO＝IP＝m2﹣2m﹣3，同理：QH＝CO＝IE＝3，CH＝EO＝IP，∴OE＝OI+IE＝m+3，HO＝IO，∴m+3＝m2﹣2m﹣3，解得：m＝，（m＝＜0，不合題意舍去），∴HO＝IO＝，∴點(diǎn)Q（﹣3，），III．如圖3﹣3，當(dāng)四邊形PECQ為正方形時(shí)，由上可知：PI＝OE＝CH，IE＝QH＝OC＝3，∴OE＝IE﹣IO＝3+m，∴m＝m2﹣2m﹣3﹣3，解得：m＝，（m＝＞0，不合題意舍去）∴HO＝IO＝，∴點(diǎn)Q（﹣3，）；IV．如圖3﹣4，當(dāng)四邊形PECQ為正方形時(shí)，由上可知，PI＝OE＝CH，EI＝HQ＝OC＝3，∴OE＝IE+IO＝3+|m|＝3﹣m，∴3﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得：m＝﹣2，（m＝3＞0，不合題意舍去）∴HO＝IO＝2，∴點(diǎn)Q（3，2），綜上所述：點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣3，）；（﹣3，）；（3，﹣3）；（3，2）．4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線BD∥AC交拋物線于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，連接DP，交AC于點(diǎn)E，連接BE，BP，求△BPE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線沿射線CA方向平移單位得到新的拋物線y'，點(diǎn)M是新拋物線y'對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出其中一個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)的求解過(guò)程．【分析】（1）令y＝0，求出x的值，進(jìn)而可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，令x＝0，得出y的值，可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的坐標(biāo)，再利用BD∥AC可得出直線BD的解析式，聯(lián)立直線BD與拋物線的解析式即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交BD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，由此可得出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出PQ的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得出△BDP的面積；連接AD，由平行可知，△ABD的面積與△BDE的面積相等，根據(jù)S△BPE＝S△BPD﹣S△BDE，可表達(dá)S與m的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）將拋物線沿射線CA方向平移單位即拋物線先左平移1個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，由此可得y′的解析式，得出拋物線y′的對(duì)稱(chēng)軸，得出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，若以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則△ACM為直角三角形，需要分類(lèi)討論：①點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；②點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；③點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】解：（1）令y＝0，即y＝﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；令x＝0，則y＝2，∴C（0，2），∴直線AC的解析式為：y＝x+2，∵BD∥AC，∴直線BD的解析式為：y＝x+b，將點(diǎn)B（1，0）的坐標(biāo)代入直線，可得+b＝0，∴b＝﹣，∴直線BD的解析式為：y＝x﹣，令x﹣＝﹣x2﹣x+2，解得x＝1（舍）或x＝﹣4，∴D（﹣4，﹣）．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交BD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2﹣m+2），Q（m，m﹣），∴PQ＝﹣m2﹣m+2﹣（m﹣）＝﹣m2﹣2m+，∴S△BPD＝?（xB﹣xD）?PQ＝×（1+4）?（﹣m2﹣2m+）＝﹣m2﹣5m+．連接AD，∵AC∥BD，∴S△BDE＝S△ABD＝××4＝，∴S△BPE＝S△BPD﹣S△BDE＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+．∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S△BPE的最大值為：，此時(shí)P（﹣，）．（3）將拋物線沿射線CA方向平移單位即拋物線先左平移1個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴y′＝﹣（x+2）2+2，∴拋物線y′的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣2；設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為t，則M（﹣2，t），∴AM2＝（﹣2+3）2+（b﹣0）2＝1+b2，AC2＝（0+3）2+（2﹣0）2＝13，CM2＝（﹣2﹣0）2+（b﹣2）2＝b2﹣4b+8，若以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則△ACM為直角三角形，需要分類(lèi)討論：①點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，∴AM2+AC2＝CM2，即1+b2+13＝b2﹣4b+8，解得b＝﹣1.5，由矩形的性質(zhì)可知，N（1，0.5）．②點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，∴AC2+CM2＝AM2，即13+b2﹣4b+8＝1+b2，解得b＝5，∴M（﹣2，﹣1.5），由矩形的性質(zhì)可知，N（﹣5，3）．③點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，∴AM2+CM2＝AC2，即1+b2+b2﹣4b+8＝13，解得b＝1+或b＝1﹣，∴M（﹣2，1+）或M（﹣2，1﹣），由矩形的性質(zhì)可知，N（﹣1，1﹣）或N（﹣1，1+）．綜上，若以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0.5）或（﹣5，3）或（﹣1，1﹣）或（﹣1，1+）．5．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B，C重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，直線DF與直線AC交于點(diǎn)E，若DE＝EA，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線BD交直線AC于點(diǎn)H，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A，D，H，G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把點(diǎn)A（3，0）和B（﹣1，0）代入函數(shù)關(guān)系式，求出a、b的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m2+2m+3），則E（m，﹣m+3），用m表示出DE，EF，列出關(guān)于m的方程，解關(guān)于m的方程，得出m＝，或m＝3（不合題意，舍去），出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3）；當(dāng)BD⊥AC，AD為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)AD⊥AC，AD為矩形的一條邊時(shí)，當(dāng)AD⊥DH，AD為條邊時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A（3，0）和B（﹣1，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）得，拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C（0，3），∵A（3，0），∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m2+2m+3），∴E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m，∴EF＝﹣m+3，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝CO，∴∠CAO＝45°，∴AE＝EF÷sin45°＝（3﹣m），∵DE＝AE，∴﹣m+3m＝（3﹣m），∴m＝，或m＝3（不合題意，舍去），把m＝代入得y＝﹣（）2+2+3＝2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（，2+1）；（3）存在，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），當(dāng)BD⊥AC，AD為對(duì)角線時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，如圖，根據(jù)（2）可知，∠CAO＝45°，∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBH＝∠AEF＝45°，∴∠DHE＝90°，∴∠HDE＝45°，∴∠DBF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBF＝∠BDF，∴DF＝BF，即t﹣（﹣1）＝﹣t2+2t+3，解得t＝2或t＝﹣1（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)AD⊥AC，AD為矩形的一條邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥軸于點(diǎn)M，如圖，∵∠CAO＝45°，∠DAC＝90°，∴∠DAB＝45°，∵∠DMA＝90°，∴∠MDA＝90°﹣45°＝45°，∴∠CMD＝∠MAD，∴MD＝MA，即﹣（﹣t2+2t+3）＝3﹣t，解t＝﹣2或t＝3（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣5）；當(dāng)AD⊥DH，AD為條邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥軸于點(diǎn)M，如圖，∵BDA＝∠DMB＝∠DMA＝90°，∴∠BDM+∠ADM＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠ADM＝∠DBM，∴△BDM∽△DAM，∴DM：AM＝BM：DM，即（﹣t2+2t+3）：（3﹣t）＝（t+1）：（﹣t2+2t+3），解得t＝1+或t＝1﹣，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1+，1）或（1﹣，1）；綜上分析可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），（1﹣1），（1+，1），（﹣2，﹣5）．6．如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），C為該拋物線圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值；（3）點(diǎn)D在拋物線上（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)，問(wèn)是否存在正方形ACPD？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為交點(diǎn)式，將B坐標(biāo)代入解析式，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）作CD⊥x軸于D，可證明△AOB∽△CDA，從而，設(shè)C（m，﹣m2++3），從而得出m﹣1＝3（﹣，求得m的值，進(jìn)而得出△AOB≌△CDA，從而AB＝AC，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）在（2）的基礎(chǔ)上根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，同樣根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得另外兩種情形．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+k，∴3＝﹣+k，∴k＝，∴y＝﹣＝﹣；（2）如圖1，作CD⊥x軸于D，∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠DAC＝90°，∴∠BAO＝∠ACD，∴△AOB∽△CDA，∴，設(shè)C（m，﹣m2++3），∴AD＝m﹣1，CD＝﹣m2++3，∴m﹣1＝3（﹣，∴m1＝﹣（舍去），m2＝4，∴AD＝3，∴OB＝AD，∴△AOB≌△CDA，∴AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴tan∠ABC＝tan45°＝1；（3）存在正方形ACPD，理由如下：如圖2，由（2）知：△ABC是等腰直角三角形，∴當(dāng)點(diǎn)D在B處時(shí)，四邊形ACPD是正方形，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得：作△ABC關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱(chēng)△AC′D′，則四邊形AC′PD′是正方形，∵B（0，3），C（4，1），∴C′（2，3），D′（﹣2，1），∵A（1，0），∴P（﹣1，4），如圖3，作CE⊥x軸于E，當(dāng)點(diǎn)C和D關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，且∠DAC＝90°時(shí)，四邊形ACPD是正方形，此時(shí)△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE，設(shè)C（t，﹣+3），∴t﹣1＝﹣+3，∴t1＝﹣1﹣（舍去），t2＝﹣1+，此時(shí)C（﹣1+，﹣2），∴P（1，2），如圖4，當(dāng)點(diǎn)C和D關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，且∠DAC＝90°時(shí)，四邊形ACPD是正方形，同上可得：CF＝AF，∴t﹣1＝﹣（﹣+3），∴t3＝3+，t4＝3﹣（舍去），∴C（3+，﹣），∴P（1，﹣2﹣4），綜上所述：P（﹣1，4）或（1，3）或（1，﹣2﹣4）．7．如圖，二次函數(shù)y＝﹣+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，求P點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，△BCP的面積最大，并求出這個(gè)最大面積．（3）在直線CD上有點(diǎn)E，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)以O(shè)、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝+bx+c中得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式并求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交直線BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．先求得直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)M（m，﹣m+4），然后可求得PM的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示），最后得到△BCP與m的函數(shù)關(guān)系式，從而可求得當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）求出直線CD的解析式為y＝，將y＝4代入即可得解．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝+bx+c得，解得，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+x+4；∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，∴這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）；（2）設(shè)P（m，），令y＝0，則，解得x1＝4，x2＝﹣2，∴C（4，0），又∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OC＝4，OA＝2，OB＝4，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b．∴，解得：k＝﹣1，b＝4，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4．如圖1所示：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交直線BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．則M（m，﹣m+4），∴PM＝（m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m．∴S△BCP＝PM?OC＝＝﹣（m﹣2）2+4．∴當(dāng)m＝2時(shí)，△BCP面積的最大值為4．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；（3）設(shè)直線CD的解析式為y＝mx+n，∵D（1，），C（4，0），∴，解得，∴直線CD的解析式為y＝，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE∥x軸交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，則四邊形OBEF為矩形，∵B（0，4），∴EF＝4，將y＝4代入直線CD的解析式得，4＝，∴x＝，∴E（，4）．8．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），其對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，與y軸交于點(diǎn)B．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）點(diǎn)M在線段AB上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．①若MN：NC＝2：5，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（3）①先求得B（0，﹣4），再運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y＝﹣2x﹣4，設(shè)M（m，﹣2m﹣4），則N（m，0），由MN：NC＝2：5，可得5MN＝2NC，建立方程求解即可得出答案；②由正方形性質(zhì)可得PQ⊥MN，PQ＝MN，進(jìn)而得出P（2m+2，﹣m﹣2），由點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，可得2m+2＝1，解方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C與點(diǎn)A（﹣2，0）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，∴C（4，0），故答案為：（4，0）；（2）把A（﹣2，0）、C（4，0）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣4；（3）①∵拋物線y＝x2﹣x﹣4與y軸交于點(diǎn)B，∴B（0，﹣4），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+d，把A（﹣2，0）、B（0，﹣4）代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣2x﹣4，設(shè)M（m，﹣2m﹣4），則N（m，0），如圖，∴MN＝2m+4，NC＝4﹣m，∵M(jìn)N：NC＝2：5，∴5MN＝2NC，即5（2m+4）＝2（4﹣m），解得：m＝﹣1，∴M（﹣1，﹣2）；②∵以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），如圖，連接PQ，則PQ⊥MN，PQ＝MN，∴P（2m+2，﹣m﹣2），∵點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，∴2m+2＝1，解得：m＝﹣，∴M（﹣，﹣3）．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PBC的面積為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）運(yùn)用拋物線交點(diǎn)式解析式求解，將A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx+c求解即可；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），確定BC的解析式y(tǒng)＝﹣x+3，于是PE＝﹣m2+3m，從而，所以時(shí)，S最大值為，進(jìn)而求得；（3）設(shè)M（1，p），如圖，BC2＝18，BM2＝p2﹣6p+10，CM2＝p2+4，分類(lèi)討論：當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，∠BMC＝90°，由勾股定理，BM2+CM2＝BC2，解得，設(shè)點(diǎn)N（n，q），則，從而得點(diǎn)或；另當(dāng)BM為對(duì)角線時(shí)，∠BCM＝90°，同法求得N（﹣2，1），當(dāng)MC為對(duì)角線時(shí)，∠MBC＝90°，同法求得點(diǎn)N（4，1）．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+h（k≠0），得：，解得，∴y＝﹣x+3，則點(diǎn)E（m，﹣m+3），PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴，∴當(dāng)時(shí)，S最大值為，，∴；（3）存在．設(shè)M（1，p），如圖，BC2＝32+32＝18，BM2＝（1﹣0）2+（p﹣3）2＝p2﹣6p+10，CM2＝（1﹣3）2+（p﹣0）2＝p2+4，當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，∠BMC＝90°，由勾股定理，BM2+CM2＝BC2，∴p2﹣6p+10+p2+4＝18，解得，設(shè)點(diǎn)N（n，q），則：，解得，∴點(diǎn)或；如圖，當(dāng)BM為對(duì)角線時(shí)，∠BCM＝90°，BM2＝CM2+BC2，即p2﹣6p+10＝p2+4+18，解得p＝﹣2，則：，解得，∴點(diǎn)N（﹣2，1）；如圖，當(dāng)CM為對(duì)角線時(shí)，∠MBC＝90°，BM2+BC2＝CM2，即p2﹣6p+10+18＝p2+4，解得p＝4，則：，解得，∴點(diǎn)N（4，1），綜上，點(diǎn)或或（﹣2，1）或（4，1）．10．平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若兩垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)數(shù)值是面積數(shù)值的2倍，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“二倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)P（，3）是“二倍點(diǎn)”．（1）在點(diǎn)A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍點(diǎn)”的有B；（2）若點(diǎn)E為雙曲線y＝﹣（x＞0）上任意一點(diǎn)．①請(qǐng)說(shuō)明隨著點(diǎn)E在圖象上運(yùn)動(dòng)，為什么函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大？②若將點(diǎn)E向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位得到點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F為“二倍點(diǎn)”．（3）已知“二倍點(diǎn)”M在拋物線y＝x2（x＞0）的圖象上，“二倍點(diǎn)”N在一次函數(shù)y＝x（x＞0）的圖象上，點(diǎn)G在x軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)H，若以點(diǎn)M，N，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)定義判斷即可；（2）①根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)m增大時(shí)，減小，﹣增大，由此即可說(shuō)明；②由平移可得F（m+1，﹣﹣1），再根據(jù)“二倍點(diǎn)”定義證明即可；（3）根據(jù)“二倍點(diǎn)”定義求出M（，3），N（2，2）；當(dāng)MN是矩形的鄰邊時(shí)，過(guò)N點(diǎn)作NE⊥x軸交于E點(diǎn)，直線MN與x軸、y軸的交點(diǎn)D（3，0），C（0，6），由∠NGD＝∠OCD，可求G（﹣2，0），當(dāng)N點(diǎn)平移后到G點(diǎn)，則M點(diǎn)平移后到H（﹣，1）；過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥x中交于Q點(diǎn)，再由∠MFQ＝∠OCD，可求F（﹣，0），當(dāng)M點(diǎn)平移后到（﹣，0），則N點(diǎn)平移后到H（﹣4，﹣1）；當(dāng)MN為對(duì)角線時(shí)，G點(diǎn)不能在x軸上，故此時(shí)不存在．【解答】（1）解：點(diǎn)A（1，1）所作的矩形周長(zhǎng)為2×（1+1）＝4，矩形面積為1×1＝1，∴點(diǎn)A（1，1）不是“二倍點(diǎn)”；B（﹣3，）所作的矩形周長(zhǎng)為2×（+3）＝9，矩形面積為3×＝9，∴B（﹣3，）是“二倍點(diǎn)”；C（﹣6，3）所作的矩形周長(zhǎng)為2×（6+3）＝18，矩形面積為3×6＝18，故答案為：B；（2）①解：設(shè)E（m，﹣），當(dāng)m增大時(shí)，減小，﹣增大，∴函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；②證明：由平移可得F（m+1，﹣﹣1），∴點(diǎn)F（m+1，﹣﹣1）所作的矩形周長(zhǎng)為2×（m+1+1+）＝4+2m+，矩形面積為（m+1）（+1）＝2+m+，∵4+2m+＝2（2+m+），∴點(diǎn)F為“二倍點(diǎn)”；（3）解：設(shè)M（t，t2），N（n，n），H（x，y），∵M(jìn)是“二倍點(diǎn)”，∴2（t+t2）＝2t?t2，解得t＝﹣1（舍）或t＝，∴M（，3）；∵N是“二倍點(diǎn)”，∴2（n+n）＝2n?n，解得n＝2，∴N（2，2）；設(shè)直線MN的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線MN的解析式為y＝﹣2x+6，當(dāng)MN是矩形的鄰邊時(shí)，過(guò)N點(diǎn)作NE⊥x軸交于E點(diǎn)，∴直線MN與x軸、y軸的交點(diǎn)D（3，0），C（0，6），∵M(jìn)N⊥GN，∴∠NGD＝∠OCD，∴tan∠OCD＝＝＝，∴GE＝4，∴OG＝2，∴G（﹣2，0），當(dāng)N點(diǎn)平移后到G點(diǎn)，則M點(diǎn)平移后到H點(diǎn)，∴H（﹣，1）；過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥x中交