山東省泰安市泰山中學2025屆高三數學三模試題

PAGE14-山東省泰安市泰山中學2025屆高三數學三模試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合A. B. C. D.2.設復數滿意，則z的虛部為A. B. C. D.3.已知函數，則函數的定義域為A. B.C. D.4.已知拋物線的準線恰好與圓相切，則A.3 B.4 C.5 D.65.設p：實數滿意，q：實數滿意，則p是q的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.我國古代數學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形態(tài)的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為A.6 B. C. D.127.函數的圖象大致為8.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為是C上位于第一象限內的一點，且直線軸的正半軸交于A點，的內切圓在邊上的切點為N，若，則雙曲線C的離心率為A. B. C.2 D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知向量，則A. B. C. D.10.某院校老師狀況如下表所示關于2024年、2024年、2024年這3年該院校的老師狀況，下面說法正確的是A.2024年男老師最多B.該校老師最多的是2024年C.2024年中年男老師比2024年多80人D.2024年到2024年，該校青年年齡段的男老師人數增長率為220%11.若，則A. B.C. D.12.已知函數，則下列結論正確的是A.是周期函數 B.的圖象是軸對稱圖形C.的圖象關于點對稱 D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線是曲線的一條切線，則▲.14.已知▲.15.甲、乙、丙、丁、戊五人去參與數學、物理、化學三科競賽，每個同學只能參與一科競賽，若每個同學可以自由選擇，則不同的選擇種數是▲；若甲和乙不參與同一科，甲和丙必需參與同一科，且這三科都有人參與，則不同的選擇種數是▲.（用數字作答）（本題第一空2分，其次空3分）16.已知球O是正三棱錐的外接球，，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是▲.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并加以解答.設等差數列的前項和為，數列為等比數列，_________，.求數列的前項和.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.（12分）的內角A,B,C所對的邊分別為，已知.（1）求角C.（2）設D為邊AB的中點，的面積為2，求的最小值.19.（12分）在四棱錐為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，E為PB的中點，.（1）證明：平面平面PAB.（2）設二面角的大小為，求的取值范圍.20．(12分)某水果批發(fā)商經銷某種水果(以下簡稱A水果)，購入價為300元/袋，并以360元／袋的價格售出，若前8小時內所購進的A水果沒有售完，則批發(fā)商將沒售完的A水果以220元／袋的價格低價處理完畢(依據閱歷，2小時內完全能夠把A水果低價處理完，且當天不再購進)．該水果批發(fā)商依據往年的銷量，統(tǒng)計了100天A水果在每天的前8小時內的銷售量，制成如下頻數分布條形圖．現以記錄的100天的A水果在每天的前8小時內的銷售量的頻率作為A水果在一天的前8小時內的銷售量的概率，記X表示A水果一天前8小時內的銷售量，n表示水果批發(fā)商一天批發(fā)A水果的袋數．(1)求X的分布列；(2)以日利潤的期望值為決策依據，在中選其一，應選用哪個?21．(12分)已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，O為坐標原原點，點O到直線AB的距離為，的面積為1．(1)求榷圓的標準方程；(2)直線與橢圓交于C，D兩點，若直線直線AB，設直線AC，BD的斜率分別為證明：為定值．22．(12分)已知函數有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設是的兩個零點，證明：．

數學參考答案1.B【解析】本題考查集合交集運算，考查運算求解實力.因為.2.C【解析】本題考查復數的四則運算，考查運算求解實力.，則的虛部為.3.D【解析】本題考查函數的定義域，考查運算求解實力.令，解得有意義，則即.4.C【解析】本題考查拋物線的標準方程及直線與圓的位置關系，考查數形結合的思想.拋物線的準線方程為則.5.A【解析】設，因為，所以，所以的充分不必要條件.6.B【解析】本題考查空間幾何體的體積，考查空間想象實力和運算求解實力.如圖，作FN//AE，FM//ED，則多面體被分割為棱柱與棱錐部分，則該芻甍的體積為.7.A【解析】本題考查函數圖象的應用，考查邏輯推理實力.由，所以是奇函數，解除B,D；由，可知，結合圖象可知選A.8.D【解析】本題考查雙曲線的定義以及內切圓的應用，考查數形結合的思想以及轉化與化歸的思想.設的內切圓在邊的切點分別為E,G，則.又，則，由對稱性可知，化簡可得，則，所以雙曲線C的離心率為.9.BD【解析】本題考查平面對量的坐標運算，考查運算求解實力..設，則，則所以所以.10.BCD【解析】本題考查統(tǒng)計學問，考查數據處理實力.由題意知，2024年的男老師最多，A錯誤；將表中各年度人數橫向求和可知，2024年共有1720人，為人數最多的一年，B正確；2024年中年男老師比2024年多（人），故C項正確；2024~2025青年男老師增加了220人，增長率為，故D正確.11.ACD【解析】本題考查二項式定理的應用，考查運算求解的實力.由題意，當當時，，當時，，所以，，當所以.12.AB【解析】由于，所以是周期函數，故A正確；由，從而為偶函數，其圖象關于對稱，故B正確；由于從而當為奇數時，的圖象不肯定關于點對稱，故C不正確；當，則此時，故D不正確.13.4【解析】本題考查導數的幾何意義，考查運算求解實力.設，切點為，因為，所以.14.【解析】本題考查三角恒等變換，考查運算求解的實力.由，所以.15.243；30【解析】本題考查排列組合的應用，考查邏輯推理實力.若每個同學可以自由選擇，由乘法原理可得，不同的選擇種數是；因為甲和乙不參與同一科，甲和丙必需參與同一科，所以有2、2、1和3、1、1兩種安排方案.當安排方案為2、2、1時，共有種；當安排方案為3、1、1時，共有種；所以不同的選擇和數是.16.【解析】本題考查空間幾何體的外接球，考查空間想象實力.設三棱錐的外接球半徑為R，正三角形ABC的外接圓圓心為，則，解得，因為過E作球O的截面，當截面.在中，，所以，所以截面面積.17.解：選①當，……………………1分當，………2分又滿意，所以.……………………4分設的公比為q，又因為，…5分得，所以.……………6分由數列的前n項和為，…………7分可知，………………8分數列的前項和為，…9分故.……………10分選②設公差為，由……2分解得所以.…………………4分設的公比為q，又因為，……5分得，所以.……………6分由數列的前項和為，…………7分可知，………………8分數列的前項和為，…9分故.……………10分選③由，………2分，……………………3分所以.…………………4分設的公比為q，又因為，……5分得.……………6分由數列的前項和為，…………7分可知，………………8分數列的前n項和為，…9分故.……………10分18.解：（1），…2分得，………………………3分所以.……………5分（2）由.…………7分由，……9分則，當且僅當時取等號，所以的最小值為.…………12分19.（1）證明：連接AE，因為為等邊三角形，所以，……………1分又平面ADE，…………………2分所以.……………3分因為四邊形ABCD為矩形，所以，所以平面PAB.………………………4分因為平面ABCD，所以平面平面PAB.…………………5分（2）解：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則,

由空間向量的坐標運算可得.……………6分設平面BPC的法向量為，則代入可得令，所以.……………7分設平面PAC的法向量為則代入可得令，所以.……………8分二面角的大小為，由圖可知，二面角為銳二面角，所以，……………………10分所以.…………12分20.解：（1）由題意知A水果在每天的前8小時內的銷售量為14，15，16，17的頻率分別是0.2，0.3，0.4和0.1，………………2分所以X的分布列為………………4分（2）當時，設Y為水果批發(fā)商的日利潤，則Y的可能取值為760，900，…5分，，……………………7分當時，設Z為水果批發(fā)商的日利潤，則Z的可能取值為680，820，960，…8分，.………10分綜上可知，當時的日利潤期望值大于.…12分21.解：（1）直線AB的方程為，即，……1分則.………………………2分因為三角形OAB的面積為1，所以，……………3分解得，…………4分所以橢圓的標準方程為.………5分（2），……6分代入，……………7分則，………………8分所以，…………………9分所以，……11分所以為定值.……………………12分22.解：（1）由題意，可得，轉化為函數與直線上有兩個不同交點.…………1分，故當時，；當，時，.故在上單調遞增，在上單