2.4 圓的方程-2021-2022學年高二數學《考點•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第一冊）

高二數學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊)直線和圓的方程2.4圓的方程【題型歸納】考點一圓的標準方程(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長為r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圓心為坐標原點，半徑長為r的圓的方程是x2＋y2＝r2.考點二點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷方法位置關系利用距離判斷利用方程判斷點M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點M在圓內|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2考點三圓的一般方程1．圓的一般方程當D2＋E2－4F>0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓【題型歸納】考點一：求圓的標準方程1．與圓同圓心，且面積為面積的一半的圓的方程為（）A． B．C． D．2．已知、，則以線段為直徑的圓的方程是A． B．C． D．3．若圓C經過坐標原點和點(4，0)，且與直線y=1相切，則圓C的方程是（）A． B． C． D．考點二、點與圓的位置關系4．若點在圓外，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若點在圓的內部，則實數a的取值范圍是A．(1,1) B．(0,1) C． D．6．已知圓，點在圓上，點在圓外，則的最大值為()A．5 B．6 C．7 D．8考點三：圓的一般方程的問題（參數）7．已知圓經過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．8．若直線平分圓的周長，則（）A．9 B．-9 C．1 D．-19．圓的圓心到直線的距離為1，則（）A． B． C． D．2考點四：求圓的方程類型10．已知方程表示一個圓．（1）求的取值范圍；（2）若圓的直徑為6，求的值．11．已知點在圓上.（1）求圓的標準方程；（2）若圓過點，且與圓相切于點，求圓的標準方程．12．已知圓的方程為：．（1）求的取值范圍;（2）設直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得以為直徑的圓過原點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．考點五：圓的對稱問題13．已知圓關于直線對稱的圓的方程為，則（）A．-2 B． C．-4 D．14．已知從點發(fā)出的一束光線，經軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（）A． B． C． D．考點六：動點的軌跡方程15．當點在圓上變動時，它與定點的連結線段的中點的軌跡方程是（）A． B．C． D．16．已知圓經過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）若線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，求的中點的軌跡方程.【雙基達標】一、單選題17．已知圓C的圓心坐標為（2，3），半徑為4，則圓C的標準方程為（）A．(x-2)2+(y-3)2=4 B．(x+2)2+(y+3)2=16C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2=1618．若方程表示圓，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．19．已知直線經過圓的圓心且與直線平行，則的方程是（）A． B．C． D．20．已知點，，則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．21．方程表示的圖形是半徑為的圓，則該圓圓心位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限22．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R23．已知圓經過原點，，三點，則圓的方程為（）A． B．C． D．24．若，則方程能表示的不同圓的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．425．已知圓C經過A（0，0），B（2，0），且圓心在第一象限，△ABC為直角三角形，則圓C的方程為()A．（x–1）2+（y–1）2=4 B．C．（x–1）2+（y–1）2=2 D．（x–1）2+（y–2）2=526．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的范圍是()A．a<－2或a> B．－<a<2C．－2<a<0 D．－2<a<27．當點在圓上變動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是（）A． B． C． D．28．已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)經過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是（）A．9 B．8C．4 D．2【高分突破】一：單選題29．已知圓，則當圓的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為（）A． B． C． D．30．已知的三個頂點為，，，過點作其外接圓的弦，若最長弦與最短弦分別為，，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．31．圓關于直線對稱的圓的標準方程是（）A． B．C． D．二、多選題32．已知圓，則下列說法正確的有（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱33．已知直線l與圓相交于兩點，弦的中點為，則實數的取值可為A． B． C． D．34．（多選）點在圓的內部，則的取值不可能是（）A． B．C． D．35．(多選)已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圓C2與圓C1關于直線x－y－1＝0對稱，則（）A．圓心C1到直線x－y－1＝0的距離為B．圓心C1到直線x－y－1＝0的距離為C．圓C2的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝4D．圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝436．已知的三個頂點的坐標分別為、、，以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則圓的方程為（）A． B．C． D．37．實數，滿足，則下列關于的判斷正確的是（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為三、填空題38．已知過點的圓C和直線相切，且圓心在直線上，則圓C的標準方程為________________．39．已知，方程表示圓，則圓心坐標是______．40．已知等腰三角形的底邊對應的頂點是，底邊的一個端點是，則底邊另一個端點的軌跡方程是___________41．已知圓與圓關于直線對稱，則直線方程___________.42．已知直線3x＋4y-12＝0與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C在圓x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移動，則△ABC面積的最大值和最小值之差為________.四、解答題43．已知圓過三個點，，．（1）求圓的方程；（2）過原點的動直線與圓相交于不同的、兩點，求線段的中點的軌跡．44．求滿足下列條件的各圓的標準方程：（1）圓心為點，且經過點．（2）經過，兩點，且圓心在直線上．45．矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x-3y-6＝0，點T（-1，1）在AD邊所在直線上.（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓E的方程；（3）已知點P是（2）中圓E上一動點，點Q（8，0），求線段PQ的中點R的軌跡方程.46．已知的三個頂點分別為，，，求：（1）邊上的高所在直線的方程；（2）的外接圓的方程．47．已知點及圓.(1)若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；(2)設過點的直線與圓交于兩點，當時，求以線段為直徑的圓的方程；(3)設直線與圓交于兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．【答案詳解】1．D【詳解】由題得圓，所以圓的圓心為，半徑為6.設所求的圓的半徑為，所以.所以所求的圓的方程為.故選：D2．B【詳解】解：由、，設圓心為，則圓心的坐標為，即；所以，則圓的半徑，所以以線段為直徑的圓的方程是．故選：．3．D【詳解】因為圓C經過坐標原點和點(4，0)，且與直線y=1相切，可設圓心為，，則圓心到原點的距離等于到這條直線的距離，即，解得，則半徑為，圓心為，圓的方程為：故選：D4．C.【詳解】由題意，得，即，又易知，所以.故選：C5．A【詳解】因為點在圓的內部，則，解得.故選A.6．C【詳解】圓的標準方程為：，又，，故的最大值為7，當且僅當三點共線時等號成立.故選C.7．C【詳解】因為線段的中點坐標為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，即與直線方程聯(lián)立，得圓心坐標為.又圓的半徑，所以，圓的方程為，即.故選：C.8．B【詳解】因為直線平分圓的周長，所以直線經過該圓的圓心，則，即.選B.9．B【詳解】圓，即.圓心到直線的距離，∴.故選：B10．（1）；（2）．【詳解】（1）由題意，方程表示圓，則滿足，解得，即實數的取值范圍.（2）由圓的直徑為6，可得，解得．11．（1）；（2）.【詳解】解：（1）將點代入圓，可得，所以圓，化為標準方程可得．（2）設圓的標準方程為，圓心為，直線的方程為，即，把代入得，又，解得，，所以，故圓的標準方程為．12．【詳解】（1）由題知：，解得（2）假設存在得以為直徑的圓過原點，設，，，，解得，又因為，所以.，..因為以為直徑的圓過原點，則，即，整理可得，即，解得.所以存在得以為直徑的圓過原點.13．C【詳解】本題考查圓的方程和圓的幾何性質.圓的圓心是坐標原點，半徑為1，易得點關于直線對稱的點的坐標為，所以圓關于直線對稱的圓的方程為，化為一般式為，所以，即.故選：C14．C【詳解】由題意反射光線過圓心，又點與圓心連線與軸平行，所以入射光線與的交點的橫坐標為，即入射光線與軸交點為．所以反射光線所在的直線方程為，即．故選：C．15．B【詳解】設，線段的中點為，（如圖）則即，點在圓上變動，即即故選：B16．（1）；（2）.【詳解】（1）設圓心的坐標為，則有，整理求得，故圓心為，半徑滿足，則圓的方程為；（2）設線段中點，，由可知，，∵點在圓上運動，∴，∴的軌跡方程為.D解：由圓的標準方程得：圓心坐標為（2，3），半徑為4的圓的標準方程是：．故選：．18．A由，得．故選：A．19．C【詳解】由圓，可得圓心坐標，又由直線與直線平行，可設直線，因為直線經過圓的圓心，代入可得，解得，即的方程是.故選：C.20．D【詳解】法1：以線段為直徑的圓的直徑式方程為，整理得到：，故選：D.法2：因為圓以為直徑，故圓心為的中點，又，故圓的半徑為5，故以線段為直徑的圓的方程為：.故選：D.21．D【詳解】方程表示的圖形是半徑為的圓，，求得，故圓心，在第四象限，故選：D．22．A【詳解】因為方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范圍是(1，＋∞)．故選：A.23．D【詳解】設圓的方程為，把點，，代入得，解得，，，所以圓的方程是．故選：D．24．B【詳解】由圓的方程，可化簡得，可得，即，解得，又因為，所以或，所以方程能表示的不同圓的個數為2個.故選：B.25．C【解析】因為圓心在弦的中垂線上，所有可設，由于為等腰直角三角形，所以圓心坐標為，圓的半徑為，所以圓的方程為，故選C.26．D【分析】先把圓的一般方程化為圓的標準方程，由此可求得a的范圍.【詳解】由題意可得圓的標準方程，由解得，選D.【點睛】圓的一般方程，化標準方程為（其中），圓心為，半徑．27．D【詳解】設中點的坐標為，則，因為點在圓上，故，整理得到.故選：D.28．A【詳解】圓x2＋y2－2y－5＝0化成標準方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圓心為C(0，1)．因為直線ax＋by＋c－1＝0經過圓心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.因為b，c>0，所以＋≥2＝4.當且僅當＝時等號成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝時，＋取得最小值9.故選：A29．D【詳解】由得，因此圓心為，半徑為，當且僅當時，半徑最小，則面積也最??；此時圓心為，半徑為，因此圓心到坐標原點的距離為，即原點在圓外，根據圓的性質，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為.故選：D.30．B【詳解】設的外接圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得，解得.∴圓的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，點（3，5）在圓內部，由題意得最長的弦|AC|＝2×5＝10，點（3，5）到圓心（3，4）的距離為1．根據勾股定理得最短的弦|BD|＝，且AC⊥BD，四邊形ABCD的面積S＝|AC|?|BD|＝×10×＝．故選：B．31．A【詳解】由題意有，圓的圓心C，半徑為3，設所求圓的圓心為，由圓C和圓C’關于直線l對稱得，點C和點C’關于直線l對稱，則，解得，則所求圓的標準方程是．故選：A．32．ABC【詳解】，所以圓心的坐標為，半徑為．A項，圓是關于圓心對稱的中心對稱圖形，而點是圓心，所以本選項正確；B項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線過圓心，所以本選項正確；C項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線過圓心，所以本選項正確；D項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線不過圓心，所以本選項不正確．故選：ABC．33．AB【詳解】圓的標準方程為：，故.又因為弦的中點為，故點在圓內，所以即.綜上，.故選：AB.34．AD【詳解】由已知條件可得，即，解得.故選：AD.35．AD【詳解】根據題意，設圓C2的圓心為(a，b)，圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為(－1，1)，半徑為2，所以圓心C1到直線x－y－1＝0的距離d＝＝.若圓C2與圓C1關于直線x－y－1＝0對稱，則圓C1與圓C2的圓心關于直線x－y－1＝0對稱，且圓C2的半徑為2，則有解得則圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4.故選：AD.36．AD【詳解】依題意，直線的方程為，化為一般式方程：，點到直線的距離，又直線的方程為，直線的方程為，因此點到直線的距離為，到直線的距離為，當以原點為圓心的圓與直線相切時，能滿足圓與此三角形有唯一公共點；此時圓的半徑為，所以圓的方程為；又，，，由以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，可得圓可以與三角形交于點，即圓的半徑為，則圓的方程為.故選：AD.37．CD【詳解】由題意可得方程為圓心是，半徑為1的圓，則為圓上的點與定點的斜率的值，設過點的直線為，即，則圓心到到直線的距離，即，整理可得，解得，所以，即的最大值為，最小值為.故選：CD.38．【詳解】由題意，設，則，∴圓C的標準方程為，又在圓上，∴，整理得，即，∴圓C的標準方程為.故答案為：39．【詳解】方程表示圓，所以，解得或，當時，方程，配方可得，所得圓的圓心坐標為；當時，方程，即，此時，方程不表示圓．綜上所述，圓心坐標是．故答案為：．40．（去掉兩點）【詳解】設，由題意知，，因是以為底邊的等腰三角形，于是有，即點C的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，又點構成三角形，即三點不可共線，則軌跡中需去掉點B及點B關于點A對稱的點，所以點的軌跡方程為(去掉兩點).故答案為：(去掉兩點)41．【詳解】由于半徑相等，易求，由圓的圓心坐標為O(0，0)，圓的標準方程為，可得圓心，則OA的中點坐標為，且OA的斜率為，可得所求直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：.42．15【詳解】令得，令得，所以A（4，0），點B（0，3），∴|AB|＝5，由x2＋y2-10x-12y＋52＝得，所以圓的半徑為3，圓心為，圓心到直線的距離，所以點C到直線的距離的最小值為，最大值為，所以的最大值為，最小值為，所以△ABC面積的最大值和最小值之差為.故答案為：1543．（1）；（2）的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（點在圓內，不與邊界重合）．【詳解】（1）設圓方程為，則，解得，所以圓方程為，即；（2）由（1），設，則由得，，即，，．又在圓內部，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（點在圓內部）．44．（1）；（2）．【詳解】（1）設圓的標準方程為，因為圓心為點，即，，又由圓經過點，則所