4.1 指數(shù)-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019必修第一冊(cè)）

高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊(cè))第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)【考點(diǎn)梳理】重難點(diǎn)考點(diǎn)n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪考點(diǎn)一n次方根、n次根式1．a(chǎn)的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a(chǎn)的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號(hào)a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)a∈Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．考點(diǎn)二根式的性質(zhì)1.eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．2．(eq\r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．3.eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))．4.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．考點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義考點(diǎn)四有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．重難點(diǎn)考點(diǎn)無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)考點(diǎn)五無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．考點(diǎn)六二實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)1．a(chǎn)ras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．【題型歸納】題型一：利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值1．（2020·江蘇南京市第二十九中學(xué)）回答下列問題.（1）正數(shù)，滿足，求的值.（2）若，求的值.2．（2021·上海高一專題練習(xí)）已知，求的值.3．（2021·上海高一專題練習(xí)）求下列各式的值.（1）； （2）；（3）； （4）.題型二：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化4．（2021·上海高一專題練習(xí)）將下列根式化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式：（1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）.5．（2020·上海高一專題練習(xí)）把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：（1）； （2）；（3）； （4）.6．（2021·全國高一）化簡(jiǎn)（1） （2）題型三：運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式化簡(jiǎn)求值7．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)（理））計(jì)算下列各式：（1）；` （2）．8．（2019·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高一月考）計(jì)算：（1）；（2）.9．（2021·昭通市昭陽區(qū)第二中學(xué)）化簡(jiǎn)求值：（1）；題型四：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算的綜合應(yīng)用10．（2021·江西高安中學(xué)高一月考）計(jì)算：（1）； （2）已知：，求的值．11．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)（理））對(duì)于正整數(shù)a，b，c(a≤b≤c)和非零實(shí)數(shù)x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．12．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)（理））（1）設(shè)a＞0，化簡(jiǎn)：；（2）若x＋x＝，求的值．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（2020·南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高一月考）已知，則下列運(yùn)算中正確的是（）A． B．C． D．14．（2021·四川眉山市·仁壽一中高一開學(xué)考試）已知，，化簡(jiǎn)得（）A． B． C． D．15．（2020·上海市第三女子中學(xué)高一期中）設(shè)，下列計(jì)算中正確的是（）A． B． C． D．16．（2022·全國高三專題練習(xí)（文））下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化正確的是（）A． B．C． D．17．（2021·安徽省安慶九一六學(xué)校高二月考（文））設(shè)，都是正整數(shù)，且，若，則不正確的是（）A． B．C． D．18．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a>0，b>0，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．-3a19．（2021·全國高一單元測(cè)試）若，，則的值為（）A．7 B．10 C．12 D．3420．（2021·全國）下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y(tǒng)（y＜0）C．xy＝（x＞0，y＞0） D．x＝－（x≠0）21．（2021·全國）下列式子中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【高分突破】一：?jiǎn)芜x題22．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）若代數(shù)式有意義，則（）A． B． C． D．23．（2020·江蘇南京·高一月考）設(shè)是非零實(shí)數(shù)，已知，則（）A． B． C．2 D．324．（2021·上海高一專題練習(xí)）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．25．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．26．（2022·全國高三專題練習(xí)）已知，則（）A．120 B．210 C．336 D．50427．（2021·江蘇）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，內(nèi)有中國特色的十四種算法它最早記錄中國古代關(guān)于大數(shù)的記法：“黃帝為法，數(shù)有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，億?兆?京?垓?秭?壤?溝?澗?正?載.三等者，謂上?中?下也，其下數(shù)者，十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也.中數(shù)者，萬萬變之，若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京.上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也.從億至載，終于大衍.下數(shù)淺短，計(jì)事則不盡，上數(shù)宏闊，世不可用.故其傳業(yè)，唯以中數(shù)耳.”我們現(xiàn)在用的是中數(shù)之法：萬萬為億，萬億為兆，萬兆為京，……，即萬，億，兆，京，……，地球的質(zhì)量大約是5.965秭千克，5.965秭的位數(shù)是（）A．21 B．20 C．25 D．2428．（2022·浙江高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)(a>0，b>0)的結(jié)果是（）A． B． C． D．29．（2021·全國）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．30．（2021·全國）下列等式中，不可能成立的是（）A． B．C． D．二、多選題31．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）若，，則下列四個(gè)式子中有意義的是（）A． B．C． D．32．（2021·全國高一專題練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A． B．C． D．33．（2020·江蘇金沙中學(xué)高一月考）下列運(yùn)算（化簡(jiǎn)）中正確的有（）．A． B．C． D．34．（2022·江蘇高三專題練習(xí)）（多選題）下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．已知，則三、填空題35．（2021·上海高一單元測(cè)試）__________．36．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高一期中）若，，化簡(jiǎn)=________.37．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)t的值為__________．38．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)（理））計(jì)算：________.39．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)（理））若a＝2，b＞0，則的值為________．40．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知a∈R，n∈N*，給出四個(gè)式子：①；②；③；④，其中沒有意義的是________.(只填式子的序號(hào)即可)41．（2021·上海高一專題練習(xí)）下列關(guān)系式中，根式與有理數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是________（只填序號(hào)）.①②③④四、解答題42．（2021·全國）（1）計(jì)算×+80.25×（2）已知＝3，求的值．43．（2020·江西鷹潭一中高一月考）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：.44．（2020·江蘇高一月考）（1）計(jì)算：；（2）已知，求．45．（2020·廣東省黃岡中學(xué)廣州學(xué)校高一月考）已知，求下列各式的值：（1）； （2）； （3）； （4）.46．（2020·廣西崇左高中高一月考）(1)計(jì)算：；(2)化簡(jiǎn)(，).47．（2020·南寧市銀海三美學(xué)校高一月考）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：；（3）已知，，求的值.48．（2020·南京外國語學(xué)校高一月考）（1）化簡(jiǎn)：（a＞0，b＞0）；（2）先化簡(jiǎn)，再求值．已知，，求的值．【答案詳解】1．（1）；（2）.【詳解】（1）由可得，即，則或，由，為正數(shù)，可得，則.（2）.2．【詳解】解:因?yàn)?，所以，所以原?3．（1）-2；（2）；（3）π-3；（4）.解：（1）=-2；（2）；（3）=|3-π|=π-3；（4）原式=，當(dāng)x≥y時(shí)，原式=x-y+y-x=0；當(dāng)x<y時(shí)，原式=y-x+y-x=2（y-x）.所以原式=4．（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）原式====.（2）原式======.（3）原式===.5．（1）；（2）；（3）；（4）.【詳解】（1）=；（2）；（3）；（4）==.6．（1）；（2）4【詳解】（1）由題知，原式；（2）原式7．（1）6y；（2）x2y.解：（1）；（2）.8．（1）100；（2）.【詳解】（1）（2）9．（1）；（2）（1）.10．（1）；（2）．【詳解】（1），.（2）由，平方得，即，平方得，即，所以原式=．11．a(chǎn)＝2，b＝5，c＝7.解：∵ax＝70ω，且x，ω為非零實(shí)數(shù)，∴.同理，可得．.∴，，即，又＝＋＋，a，b，c為正整數(shù)，∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.12．（1）；（2）.解：（1）原式＝＝a.（2）若x＋x＝，則x＋x－1＝4，x2＋x－2＝14，故＝＝.13．B解：A選項(xiàng)：，∴，又，∴，∴，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，∴，故B正確；C選項(xiàng)：，，，，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò)誤，故選：B.14．B由題意：，故選：B15．D【詳解】解：，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；，C錯(cuò)；，D正確.故選：D.16．D【詳解】對(duì)于A，由有意義可知，而當(dāng)時(shí)，無意義，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而無意義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，．故D正確．故選：D.17．C【詳解】因?yàn)?，都是正整?shù)，且，若，則：A.，故正確；B.，故正確；C.，故錯(cuò)誤；D.任意非零數(shù)的0次冪都是1，故正確.故選：C18．D【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.19．C【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C20．C【詳解】對(duì)于A，－＝－x，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)y＜0時(shí)，＞0，y＜0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，xy＝（x＞0，y＞0），故C正確；對(duì)于D，x＝（x≠0），故D錯(cuò)誤.故選：C21．C【詳解】對(duì)于A，原式，A正確；對(duì)于B，原式，B正確；對(duì)于C，原式,C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原式，D正確.故選：C.22．B【詳解】由有意義，得解得．所以所以．故選：B．23．A因?yàn)椋?，所以，，所以，，，故選：A24．B【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選:B.25．C【詳解】，所以，，因?yàn)?、均為正?shù)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：C.26．C【詳解】，得，解得：，所以.故選：C27．C由題意相鄰記數(shù)單位后面的比前面的多4位．1兆＝，13位數(shù)，因此1京是17位?1垓是21位?1秭是25位，5.965秭也是25位數(shù)．故選：C．28．B【詳解】故選：B29．C【詳解】由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則可得：原式.故選:C.30．D【詳解】對(duì)于A：左邊，右邊，左邊右邊，故A正確；對(duì)于B：左邊，右邊，左邊右邊，故B正確；對(duì)于C：左邊，右邊，左邊右邊，故C正確；對(duì)于D：若，則左邊，右邊,故D錯(cuò)誤.故選：D31．AC【詳解】A選項(xiàng)中，為偶數(shù)，則恒成立，A中式子有意義；B選項(xiàng)中，，無意義；C選項(xiàng)中，為恒大于或等于0的數(shù)，有意義；D選項(xiàng)中，當(dāng)時(shí)，式子無意義．故選：AC．32．CD【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)；對(duì)于B：，故B錯(cuò)；對(duì)于C：；故C正確，對(duì)于D：，故D正確.故選：CD.33．ABD【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確；故選：ABD34．BC【詳解】A.，故錯(cuò)誤；B.，故正確；C.，故正確；D.因?yàn)椋裕瑒t，故錯(cuò)誤；故選：BC35．2【詳解】，故答案為：236．【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：.37．【詳解】因?yàn)樗裕?，∴，故答案為：?8．【詳解】原式答案：.39．【詳解】原式，故答案為：.40．③【詳解】①中，(－2)2n>0，∴有意義；②中，根指數(shù)為5，∴有意義；③中，(－3)2n＋1<0，∴沒有意義；④中，根指數(shù)為9，∴有意義.故答案為：③41．③【詳解】對(duì)于①，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)y<0時(shí)，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，故③正確；對(duì)