3.2.1 向量共面的充要條件 講義-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）選擇性必修第一冊(cè)

學(xué)生版第3章空間向量及其應(yīng)用3.2空間向量基本定理3.2.1向量共面的充要條件本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識(shí)是平面向量知識(shí)的延伸與拓展，從概念理解到問題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對(duì)平面向量的理論進(jìn)行類比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問題簡(jiǎn)便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問題，學(xué)生對(duì)向量這一化幾何問題為代數(shù)問題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會(huì)還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問題，體會(huì)向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、了解共線向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法；2、類比法理解共面向量的充要條件，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3、用好基底、基向量及向量的線性組合的；1、邏輯推理：通過平面向量與空間向量的對(duì)比，；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：借助共線、共面向量；3、直觀想象：借助共線、共面向量；【自主學(xué)習(xí)】問題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P96－P97的內(nèi)容，思考以下問題：1、回憶與復(fù)習(xí)共線向量、表示及應(yīng)用；2、類比引入向量共面的充要條件、表示及應(yīng)用；【知識(shí)梳理】1、類比共線向量與共面向量因?yàn)閮蓚€(gè)向量的和是通過平行四邊形或三角形（都是平面圖形）作出的，所以兩個(gè)向量的任何線性組合都與原來的兩個(gè)向量共面；反之，如果給定兩個(gè)互不平行的向量，任意與這兩個(gè)向量共面的向量都是這兩個(gè)向量的線性組合；這個(gè)結(jié)論是在給定的兩個(gè)向量所在的平面上使用（見必修課程8,1節(jié)）平面向量基本定理得到的；事實(shí)上，平面向量基本定理在空間中應(yīng)該敘述為如下的向量共面的充要條件；向量共面的充要條件：如果與是兩個(gè)不平行的向量，那么，空間中的向量與、共面的充要條件是，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)與，使得；共線向量共面向量定義如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相或，則這些向量叫做或；平行于同一個(gè)平面的向量，叫做；充要條件對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）、，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使；如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；應(yīng)用證明：三點(diǎn)或多點(diǎn)共線證明：三個(gè)向量或多個(gè)向量共面【說明】1、向量共面的條件①向量平行于平面的定義已知向量，作，如果的基線OA平行于平面或在內(nèi)，則就說向量平行于平面，記作：；②共面向量的定義：平行于同一平面的向量，叫做共面向量；思考1：平面向量基本定理中對(duì)于向量與有什么條件，在空間中能成立嗎？【解析】平面向量基本定理中要求向量a與b不共線，在空間中仍然成立．【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使＝λ；（）②若＝x＋y，則與，共面；（）③若與，共面，則＝x＋y；（）④若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，則P，M，A，B共面；（）⑤若P，M，A，B共面，則eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；（）【提示】；【答案】；【解析】；【說明】本題注意考查了用類比的思想理解向量共面；更深刻理解平面向量分解定理；2、對(duì)于空間的任意三個(gè)向量，，，它們一定是（）A．共面向量B．共線向量C．不共面向量D．既不共線也不共面的向量3、若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))＋μeq\o(CE,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系為4、已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))，則x＝________．【題型探究】題型一、向量共線的充要條件例1、如圖所示，在正方體中，在上，且，在對(duì)角線上，且；求證：，，三點(diǎn)共線；【說明】判定兩向量共線的充要條件就是：就是尋找使成立，為此可結(jié)合空間圖形并運(yùn)用空間向量運(yùn)算法則化簡(jiǎn)出，從而得；其進(jìn)一步應(yīng)用，就是證明“三點(diǎn)共線”；題型二、向量共線充要條件的應(yīng)用例2、如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD上的點(diǎn)，且，，利用向量法求證：四邊形EFGH是梯形；題型三、向量共面的充要條件例3、對(duì)于任意空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．試證：與、共面；【說明】1、判斷三個(gè)(或三個(gè)以上)向量共面的方法：（1）應(yīng)用空間向量共面定理，即其中一個(gè)向量能用另兩個(gè)向量線性表示，通常應(yīng)結(jié)合圖形，選擇其中某兩個(gè)向量作為基向量，其他向量都用這兩個(gè)基向量線性表示．（2）選擇目標(biāo)向量以外的一組基底，通過待定系數(shù)法，建立這三個(gè)向量的一個(gè)線性關(guān)系式．2、利用向量法證明四點(diǎn)共面，實(shí)質(zhì)上是證明的向量共面問題，解題的關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中要注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系；題型四、向量共面充要條件的應(yīng)用例4、敘述并用向量法證明線面垂直的判定定理【提示】設(shè)，，若要證明直線，就是要證明直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，故在平面內(nèi)作任意一條直線，并在，，，上取非零向量，，，，利用共面向量基本定理建立，，的聯(lián)系，只需證明即可.【解析】線面垂直的判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直.【說明】本題考查學(xué)生對(duì)于線面垂直的判定定理的理解及證明，考查共面向量基本定理在證明中的運(yùn)用.【素養(yǎng)提升】空間共線向量與平面共線向量的定義完全一樣，當(dāng)我們說，共線時(shí)，表示，的兩條有向線段所在的直線既可能是同一條直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說時(shí)，也具有相同的意義，且與任意向量都共線；空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個(gè)關(guān)系式．這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面．共面向量的充要條件是判斷三個(gè)向量是否共面的依據(jù)，也可用來把已知共面條件轉(zhuǎn)化為向量式，以便應(yīng)用向量這一工具；易錯(cuò)防范：易錯(cuò)辨析錯(cuò)把向量與平面平行認(rèn)為線面平行【典例】已知AB，CD是異面直線，CD?α，AB∥α，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．證明：MN∥α；【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得本題易由直接得到MN∥α.忽略對(duì)MN?α這種情況的討論．線面平行要求直線必須在平面外，而在利用向量證明線面平行時(shí)，需要說明對(duì)應(yīng)的直線和平面之間的位置關(guān)系；【即時(shí)練習(xí)】A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練1、如果向量，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則一定有()A．與共線 B．與同向C．與反向 D．與共面2、若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則()A．P∈ABB．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)3、下列命題中，正確的命題的序號(hào)是①若，則與方向相同或相反；②若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；③若與不共線，則空間任一向量＝λ＋μ；④若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量；4、設(shè)M是△ABC的重心，記eq\o(BC,\s\up6(→))＝，eq\o(CA,\s\up6(→))＝，eq\o(AB,\s\up6(→))＝，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝5、下列各式可以確定A，B，C，D四點(diǎn)共面的是________(填序號(hào))．①eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；②eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))；④eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練6、判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)共線向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共線向量．()(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量．()(3)如果eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))，則P，A，B共線．()(4)空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量．()7、空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則eq\o(MG,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝8、如圖，在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點(diǎn)，試化簡(jiǎn)eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．9、已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試判斷p，m，n是否共面．10、如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，且M，N分別為BD，AE的中點(diǎn)，求證：MN∥平面CDE.教師版第3章空間向量及其應(yīng)用3.2空間向量基本定理3.2.1向量共面的充要條件本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識(shí)是平面向量知識(shí)的延伸與拓展，從概念理解到問題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對(duì)平面向量的理論進(jìn)行類比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問題簡(jiǎn)便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問題，學(xué)生對(duì)向量這一化幾何問題為代數(shù)問題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會(huì)還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問題，體會(huì)向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、了解共線向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法；2、類比法理解共面向量的充要條件，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3、用好基底、基向量及向量的線性組合的；1、邏輯推理：通過平面向量與空間向量的對(duì)比，；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：借助共線、共面向量；3、直觀想象：借助共線、共面向量；【自主學(xué)習(xí)】問題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P96－P97的內(nèi)容，思考以下問題：1、回憶與復(fù)習(xí)共線向量、表示及應(yīng)用；2、類比引入向量共面的充要條件、表示及應(yīng)用；【知識(shí)梳理】1、類比共線向量與共面向量因?yàn)閮蓚€(gè)向量的和是通過平行四邊形或三角形（都是平面圖形）作出的，所以兩個(gè)向量的任何線性組合都與原來的兩個(gè)向量共面；反之，如果給定兩個(gè)互不平行的向量，任意與這兩個(gè)向量共面的向量都是這兩個(gè)向量的線性組合；這個(gè)結(jié)論是在給定的兩個(gè)向量所在的平面上使用（見必修課程8,1節(jié)）平面向量基本定理得到的；事實(shí)上，平面向量基本定理在空間中應(yīng)該敘述為如下的向量共面的充要條件；向量共面的充要條件：如果與是兩個(gè)不平行的向量，那么，空間中的向量與、共面的充要條件是，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)與，使得；共線向量共面向量定義如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量；平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量；充要條件對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）、，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使；如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；應(yīng)用證明：三點(diǎn)或多點(diǎn)共線證明：三個(gè)向量或多個(gè)向量共面【說明】1、向量共面的條件①向量平行于平面的定義已知向量，作，如果的基線OA平行于平面或在內(nèi)，則就說向量平行于平面，記作：；②共面向量的定義：平行于同一平面的向量，叫做共面向量；思考1：平面向量基本定理中對(duì)于向量與有什么條件，在空間中能成立嗎？【解析】平面向量基本定理中要求向量a與b不共線，在空間中仍然成立．【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使＝λ；（）②若＝x＋y，則與，共面；（）③若與，共面，則＝x＋y；（）④若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，則P，M，A，B共面；（）⑤若P，M，A，B共面，則eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；（）【提示】注意理解向量共線的充要條件，理解向量平行及其應(yīng)用；注意與公理2的推論的關(guān)聯(lián)；【答案】①×；②√；③×；④√；⑤√；【解析】對(duì)于①，反例：，，所以，①是假命題；對(duì)于②，若＝x＋y，則與，肯定在同一平面內(nèi)，所以，②是真命題；對(duì)于③，若，共線，與不共線，則＝x＋y就不成立；所以，③是假命題；對(duì)于④，若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，則eq\o(MP,\s\up7(→))，eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))三個(gè)向量在同一平面內(nèi)，P，M，A，B共面，④是真命題；對(duì)于⑤，若M，A，B共線，點(diǎn)P不在此直線上，則eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))不正確，所以，⑤是真命題；【說明】本題注意考查了用類比的思想理解向量共面；更深刻理解平面向量分解定理；2、對(duì)于空間的任意三個(gè)向量，，，它們一定是（）A．共面向量B．共線向量C．不共面向量D．既不共線也不共面的向量【答案】A；【解析】根據(jù)共面向量定理知，，一定共面；3、若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))＋μeq\o(CE,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系為【答案】AB?平面CDE或AB∥平面CDE；【解析】由eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))＋μeq\o(CE,\s\up7(→))(λ，μ∈R)及共面向量定理可知：向量eq\o(AB,\s\up7(→))與向量eq\o(CD,\s\up7(→))、eq\o(CE,\s\up7(→))共面，即直線AB可能在平面CDE內(nèi)，也可能和平面CDE平行；4、已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))，則x＝________．【答案】eq\f(1,3)；【解析】已知eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))且M，A，B，C四點(diǎn)共面，則x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，解得x＝eq\f(1,3)；【題型探究】題型一、向量共線的充要條件例1、如圖所示，在正方體中，在上，且，在對(duì)角線上，且；求證：，，三點(diǎn)共線；【提示】注意題設(shè)與向量的符號(hào)表示與幾何表示的關(guān)聯(lián)；【證明】設(shè)，，，由已知，，，所以，，，；所以，又所以，；則，，，三點(diǎn)共線；【說明】判定兩向量共線的充要條件就是：就是尋找使成立，為此可結(jié)合空間圖形并運(yùn)用空間向量運(yùn)算法則化簡(jiǎn)出，從而得；其進(jìn)一步應(yīng)用，就是證明“三點(diǎn)共線”；題型二、向量共線充要條件的應(yīng)用例2、如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD上的點(diǎn)，且，，利用向量法求證：四邊形EFGH是梯形；【提示】注意理解向量共線充要條件與應(yīng)用；【證明】因?yàn)?，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，所以，eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AH,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(EH,\s\up15(→))＝eq\o(AH,\s\up15(→))－eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(CB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up15(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up15(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up15(→))－eq\o(CF,\s\up15(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up15(→))，所以，eq\o(EH,\s\up15(→))∥eq\o(FG,\s\up15(→))且|eq\o(EH,\s\up15(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up15(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up15(→))|，又F不在EH上，則四邊形EFGH是梯形；題型三、向量共面的充要條件例3、對(duì)于任意空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．試證：與、共面；【提示】注意構(gòu)建與平面向量分解定理的交匯；【證明】空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))，eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(EB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→)).①又E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，故有eq\o(EA,\s\up15(→))＝－eq\o(EB,\s\up15(→))，eq\o(DF,\s\up15(→))＝－eq\o(CF,\s\up15(→))，②將②代入①中，兩式相加得2eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)).所以eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，即eq\o(EF,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))、eq\o(AD,\s\up15(→))共面．【說明】1、判斷三個(gè)(或三個(gè)以上)向量共面的方法：（1）應(yīng)用空間向量共面定理，即其中一個(gè)向量能用另兩個(gè)向量線性表示，通常應(yīng)結(jié)合圖形，選擇其中某兩個(gè)向量作為基向量，其他向量都用這兩個(gè)基向量線性表示．（2）選擇目標(biāo)向量以外的一組基底，通過待定系數(shù)法，建立這三個(gè)向量的一個(gè)線性關(guān)系式．2、利用向量法證明四點(diǎn)共面，實(shí)質(zhì)上是證明的向量共面問題，解題的關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中要注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系；題型四、向量共面充要條件的應(yīng)用例4、敘述并用向量法證明線面垂直的判定定理【提示】設(shè)，，若要證明直線，就是要證明直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，故在平面內(nèi)作任意一條直線，并在，，，上取非零向量，，，，利用共面向量基本定理建立，，的聯(lián)系，只需證明即可.【解析】線面垂直的判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直.問題：若，是平面內(nèi)的兩條相交直線，如果，，求證：.證明：在平面內(nèi)作任意一條直線，分別在，，，上取非零向量，，，.則，，即，，又因?yàn)橹本€，相交，所以向量，不共線，所以由向量共面的充要條件可知，存在惟一一組有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，故，所以，根據(jù)線面垂直的定義可知，.【說明】本題考查學(xué)生對(duì)于線面垂直的判定定理的理解及證明，考查共面向量基本定理在證明中的運(yùn)用.【素養(yǎng)提升】空間共線向量與平面共線向量的定義完全一樣，當(dāng)我們說，共線時(shí)，表示，的兩條有向線段所在的直線既可能是同一條直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說時(shí)，也具有相同的意義，且與任意向量都共線；空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個(gè)關(guān)系式．這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面．共面向量的充要條件是判斷三個(gè)向量是否共面的依據(jù)，也可用來把已知共面條件轉(zhuǎn)化為向量式，以便應(yīng)用向量這一工具；易錯(cuò)防范：易錯(cuò)辨析錯(cuò)把向量與平面平行認(rèn)為線面平行【典例】已知AB，CD是異面直線，CD?α，AB∥α，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．證明：MN∥α；【證明】因?yàn)镃D?α，AB∥α，且AB，CD是異面直線，所以在平面α內(nèi)存在向量，，使得，，且兩個(gè)向量不共線；由M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，得；.所以，，，共面，所以MN∥α或MN?α.若MN?α，則AB，CD必在平面α內(nèi)，這與已知AB，CD是異面直線矛盾．故MN∥α；【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得本題易由直接得到MN∥α.忽略對(duì)MN?α這種情況的討論．線面平行要求直線必須在平面外，而在利用向量證明線面平行時(shí)，需要說明對(duì)應(yīng)的直線和平面之間的位置關(guān)系；【即時(shí)練習(xí)】A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練1、如果向量，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則一定有()A．與共線 B．與同向C．與反向 D．與共面【答案】A；【解析】根據(jù)題意向量，與任何向量都共面，所以只有在，共線的條件下才有可能.2、若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則()A．P∈ABB．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)【答案】A；【解析】因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝n(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝neq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線．又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈AB.3、下列命題中，正確的命題的序號(hào)是①若，則與方向相同或相反；②若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；③若與不共線，則空間任一向量＝λ＋μ；④若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量；【答案】④【解析】①中，當(dāng)，有零向量時(shí)，不正確；②中，當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))時(shí)，則A，B，C，D四點(diǎn)共面，不一定共線，不正確；③中，當(dāng)，，共面時(shí)，才能有＝λ＋μ，故③不正確；④為真命題，A，B，C，D在一條直線上，向量，的方向相同或相反，因此與是共線向量；4、設(shè)M是△ABC的重心，記eq\o(BC,\s\up6(→))＝，eq\o(CA,\s\up6(→))＝，eq\o(AB,\s\up6(→))＝，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝【答案】eq\f(1,3)(－)【解析】如圖，∵M(jìn)是△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(－)．5、下列各式可以確定A，B，C，D四點(diǎn)共面的是________(填序號(hào))．①eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；②eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))；④eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).【答案】①②③④；【解析】①由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))共面，且有公共端點(diǎn)A，則可以確定A，B，C，D四點(diǎn)共面；②eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))，其中系數(shù)eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，則可以確定A，B，C，D四點(diǎn)共面；③由eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))，可知eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，可以確定A，B，C，D四點(diǎn)共面；④eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，即有eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則可以確定A，B，C，D四點(diǎn)共面．B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練6、判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)共線向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共線向量．()(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量．()(3)如果eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))，則P，A，B共線．()(4)空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量．()【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×7、空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則eq\o(MG,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝【答案】3eq\o(MG,\s\up8(→))【解析】eq\o(MG,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(MG,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(MG,\s\up8(→))＋2eq\o(MG,\s\up8(→))＝3eq\o(MG,\s\up8(→))；8、如圖，在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點(diǎn)，試化簡(jiǎn)eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．【解析】∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線，∴eq\o(GE,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→)).又eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(FE,\s\up8(→))，∴eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\o(GE,\s\up8(→))－eq\o(FE,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))(如圖所示)．9、已知向