3.2.1 單調(diào)性與最大(小)值-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019必修第一冊）

高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊)函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值【考點(diǎn)梳理】重難點(diǎn)：單調(diào)性考點(diǎn)一：增函數(shù)與減函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I：(1)如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們稱它是增函數(shù)．(2)如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們稱它是減函數(shù)．考點(diǎn)二：二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．重難點(diǎn)：函數(shù)的最大(小)值考點(diǎn)一函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義最值條件幾何意義最大值①對于?x∈I，都有f(x)≤M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M函數(shù)y＝f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小值①對于?x∈I，都有f(x)≥M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M函數(shù)y＝f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)考點(diǎn)二求函數(shù)最值的常用方法1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(小)值．2．運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域．3．運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性：(1)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個．【題型歸納】題型一：函數(shù)單調(diào)性的判定與證明1．（2021·高平市第一中學(xué)校高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，且＝3.（1）求a的值；（2）判斷函數(shù)f(x)在[1，+∞)上的單調(diào)性，并證明．2．（2020·金華市云富高級中學(xué)高一月考）（1）求證：y=-x2+1在區(qū)間[0，+∞)上為減函數(shù).（2）畫出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3．（2021·上海高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．證明：函數(shù)在上嚴(yán)格增函數(shù).題型二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍4．（2020·貴州遵義市·蟠龍高中高一月考）若函數(shù)，在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2021·全國高一單元測試）已知函數(shù)，是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．6．（2021·全國）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．題型三：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性7．（2021·全國）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．8．（2021·全國）以下函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)的是（）A． B．C． D．9．（2020·黑龍江鶴崗一中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．，C． D．題型四：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式10．（2020·滄源佤族自治縣民族中學(xué)高一月考）設(shè)，已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2020·淮北市樹人高級中學(xué)高一期中）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．12．（2020·江蘇省板浦高級中學(xué)高一月考）已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增的，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．．題型五：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域13．（2021·江西宜春市·高安中學(xué)高一月考）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A． B． C．1 D．-114．（2021·全國高一單元測試）若“，，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．， B．， C．， D．，15．（2021·上海高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則f(x)的最大值為（）．A． B． C．1 D．2題型六：根據(jù)函數(shù)的值域求參數(shù)范圍16．（2021·浙江）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．或17．（2020·宜城市第三高級中學(xué)）函數(shù)在[1，2]上的最大值與最小值的差為3，則實(shí)數(shù)為（）A．3 B．-3 C．0 D．3或-318．（2020·湖北）已知函數(shù)有最小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．題型七：函數(shù)不等式恒成立問題19．（2021·江西省樂平中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)，若對于任意的，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．20．（2021·全國高一單元測試）設(shè)二次函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，對任意，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．21．（2021·江西宜春市·高安中學(xué)高一月考）若函數(shù)對任意有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2019·云南省楚雄天人中學(xué)高一月考）函數(shù)，，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．23．（2021·滄源佤族自治縣民族中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的最小值為2，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．24．（2020·內(nèi)蒙古杭錦后旗奮斗中學(xué)）若函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．25．（2020·杭州之江高級中學(xué)高一期中）函數(shù)中，有（）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減26．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(xiàn)(x)＝則F(x)的最值情況是（）A．最大值為3，最小值為－1 B．最小值為－1，無最大值C．最大值為3，無最小值 D．既無最大值，又無最小值27．（2021·全國高一專題練習(xí)）設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，-1]上單調(diào)遞增，則（）A．<f(-1)<f(2) B．f(2)<<f(-1)C．f(2)<f(-1)< D．f(-1)<<f(2)28．（2021·全國高一專題練習(xí)）甲：函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)；乙：，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件29．（2021·全國高一課前預(yù)習(xí)）當(dāng)時，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．30．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知是定義在上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（）A． B．C． D．【高分突破】一：單選題31．（2021·全國）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．，， B．C．，， D．，，32．（2021·全國高一單元測試）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是有（）A． B． C． D．33．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則不等式的解集為（）A． B． C． D．34．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．35．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)則不等式的解集為（）A． B．C． D．36．（2021·全國高一專題練習(xí)）在上定義運(yùn)算：，若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題37．（2021·全國高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中滿足“對任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”的是（）A．f（x）＝－ B．f（x）＝－3x＋1C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f（x）＝x－38．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（），，（），則下列結(jié)論正確的是（）A．，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．，，39．（2021·全國高一單元測試）給出下列命題，其中錯誤的命題是（）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋籅．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；C．已知函數(shù)是定義域上減函數(shù)，若，則；D．兩個函數(shù)，表示的是同一函數(shù).40．（2021·全國高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意的，都滿足，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù) B．C．的解為 D．三、填空題41．（2020·金華市云富高級中學(xué)高一月考）函數(shù)y=+的最大值為__________.42．（2021·浙江杭州市·學(xué)軍中學(xué)高一競賽）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍是_____________．43．（2021·全國高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____44．（2021·廣東潮州·高一期末）已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．45．（2020·杭州之江高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是___________．四、解答題46．（2020·貴州遵義市·蟠龍高中高一月考）已知函數(shù)（1）證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求的值.47．（2019·羅平縣第二中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.48．（2019·長沙市南雅中學(xué)高一月考）設(shè)函數(shù).（1）若對于一切實(shí)數(shù)x，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若對于，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.49．（2021·全國高一專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．（1）求；（2）證明在上單調(diào)遞減；（3）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案詳解】1．【詳解】(1)函數(shù)中，因=3，則，解得，所以a的值是；(2)由(1)知：，f(x)在[1，+∞)上的單調(diào)遞增，，且，，因，則，且，即有，，所以f(x)在[1，+∞)上的單調(diào)遞增.2．【詳解】（1）證明：設(shè)任意0x<x2，則y?y=x?x=(x?x)(x+x)>0，∴y>y，∴函數(shù)y=?x2+1在區(qū)間[0，+∞)上是減函數(shù).（2）作出函數(shù)圖象如圖所示：增區(qū)間為：(?∞，?1)，(0，1)，減區(qū)間為：(?1，0)，(1，+∞).3．任取，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以函?shù)在上嚴(yán)格增函數(shù).4．D【詳解】因?yàn)榈膶ΨQ軸為且開口向上，且在上是減函數(shù)，所以，所以，故選：D.5．C【詳解】解：若是上的增函數(shù)，則應(yīng)滿足，解得，即.故選：C6．B【詳解】，依題意有，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B.7．D【詳解】由得或，即函數(shù)的定義域?yàn)椋侄魏瘮?shù)的圖象的對稱軸方程為，所以函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：D8．B【詳解】解：對于A選項(xiàng)，，由于反比例函數(shù)為減函數(shù)，故為減函數(shù)，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，的對稱軸為，開口向上，故為增函數(shù)，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由于上是減函數(shù)，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得為定義域上的減函數(shù)，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，為減函數(shù)，故D選項(xiàng)錯誤.故選：B.9．B【詳解】由，可知函數(shù)開口向上，對稱軸，且．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，．故選:B．10．C【詳解】∵函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得，故選：C．11．A【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以等價于，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，解得：，所以原不等式的解集為，故選：A.12．D【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞增的，且，所以奇函數(shù)在上單調(diào)遞增的，且，所以有：（1）當(dāng)時，因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，由，當(dāng)時，由，所以，（2）當(dāng)時，因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，因此由，綜上所述：由，故選：D13．A【詳解】∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴.故選：A.14．C【詳解】解：若“，，使得成立”是假命題，即“，，使得成立”是假命題，故，，恒成立，令，，，所以是增函數(shù)（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），所以，，故選：C．15．D【詳解】因?yàn)樵谏蠁螠p，所以在上單減，即在上單減，所以f(x)的最大值為.故選：D16．B【詳解】函數(shù)，即，，當(dāng)時，不成立；當(dāng)，即時，在遞減，可得為最大值，即，解得成立；當(dāng)，即時，在遞增，可得為最大值，即，解得不成立；綜上可得．故選：．17．D【詳解】解：①當(dāng)時，，不符合題意；②當(dāng)時，在上遞增，則，解得；③當(dāng)時，在上遞減，則，解得．綜上，得，故選：D．18．C【詳解】如圖所示可得：或，解得：，故選：C.19．A【詳解】對任意，恒成立，即恒成立，即知．設(shè)，，則，．∵，∴，∴，∴，故的取值范圍是．故選：A.20．D【詳解】由題意，對于任意，都有成立，所以即對于任意恒成立，所以只需的最大值與最小值的差小于2即可，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，解得，不合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，綜上，.故選：D.21．A【詳解】由題意，函數(shù)對任意有（1）當(dāng)時，成立；（2）當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，若滿足對任意有，則綜上：故選：A22．D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在上遞增，所以的值域?yàn)?，故選：D23．D【詳解】由作出圖象，如圖，由圖象可得要取得最小值2，則；∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，則時，取得最小值為2，即，可得，∴a的取值范圍為故選：D24．B【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，依題意得，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B25．D【詳解】解：函數(shù)的圖象向左平移1個單位可得函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)在和上單調(diào)遞減，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減．故選：D．26．D【詳解】由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；由f(x)<g(x)，得x<0，或x>3，所以易得F(x)無最大值，無最小值．故選：D27．B【詳解】因函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，于是有f(-x)=f(x)，從而得f(2)=f(-2)，又f(x)在區(qū)間(-∞，-1]上單調(diào)遞增，且-2<<-1，所以f(2)=f(-2)<<f(-1).故選：B28．A【詳解】函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則，由減函數(shù)定義知，此命題是真命題，即命題：“若甲則乙”是真命題；反之，，則函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，條件與減函數(shù)定義不符，即命題：“若乙則甲”是假命題，所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A29．A【詳解】解：不等式可化為．當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，可得．綜上，的取值范圍為．故選：A．30．C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.31．C【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，必有，解可得：或，即的取值范圍為，，，故選：C．32．D【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，開口向下，對稱軸為，依題意，解得，即故選：D33．C【詳解】因?yàn)?，可知在上單調(diào)遞減，所以不等式成立，即.故選：C.34．D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則不等式對恒成立，即對恒成立，所以對恒成立，令，當(dāng)，則，所以，故的取值范圍為.故選：D35．A【詳解】易得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則由可得，解得，故不等式的解集為.故選：A．36．D【詳解】由，則即，所以恒成立，在上的最小值為，所以，整理可得，解得，實(shí)數(shù)的最大值為，故選：D37．ACD因?yàn)椤皩θ我鈞1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”所以不妨設(shè)0<x1<x2,都有,所以f（x）為（0，＋∞）上的增函數(shù).對于A：f（x）＝－在（0，＋∞）上為增函數(shù),故A正確;對于B：f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上為減函數(shù),故B錯誤;對于C：f（x）＝x2＋4x＋3對稱軸為x=-2,開口向上,所以在（0，＋∞）上為增函數(shù),故C正確;對于D：f（x）＝x－,因?yàn)樵冢?，＋∞）上為增函數(shù),在（0，＋∞）上為增函數(shù),所以f（x）＝x－在（0，＋∞）上為增函數(shù),故D正確;故選:ACD38．AC【詳解】在A中，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，因此，A正確；在B中，因?yàn)闇p函數(shù)，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，因此，B錯誤；在C中，，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域?yàn)?，由有解，知，C正確；在D中，等價于的值域是的值域的子集，而的值域是，的值域，D錯誤.故選：AC39．ABD函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)中，，即，函數(shù)的定義域?yàn)椋蔄錯誤；函數(shù)圖象不連