2020-2021學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages22頁2020-2021學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模是（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用復(fù)數(shù)的除法得到復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的模公式求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，所以，故選：D2．在中，角、、所對的邊的長分別為、、，若，，則等于（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由正弦定理得出對邊長度和對角正弦值的比值，然后換元作比即可得出答案.【詳解】由正弦定理，，所以，則故選：C.3．在中，角、、所對的邊的長分別為、、，若，，則（）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理，列出式子可求得，結(jié)合可求出答案.【詳解】因?yàn)?，，由余弦定理可得，，整理得，即，所以是等腰三角形，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，所?故選：D.4．設(shè)復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，直接計算即可.【詳解】因?yàn)?，所以?，ω3＝（）（）＝1，則1+ω+ω2+ω3＝11＝1.故選：B.5．在中，已知，，，則此三角形的解的情況是（）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定【答案】B【分析】利用余弦定理得到關(guān)于的方程解方程即可做出判斷.【詳解】∵在中，，，，∴由余弦定理得，即，解得，則此三角形有兩個解.故選：B.6．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，將角的終邊繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角的概念以及三角函數(shù)的定義，可得和，再根據(jù)以及兩角和的正弦公式計算可得答案.【詳解】∵角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的角為，所以由三角函數(shù)的定義，可得：，，∴，故選：A.7．若，，則（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】已知等式平方后應(yīng)用二倍角公式得，同時判斷出，可再利用平方關(guān)系求得，從而可得，代入即得結(jié)論．【詳解】∵，①∴，即，∴．∵，且，∴，，∴．變形得，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，解題中應(yīng)用平方關(guān)系時要注意確定函數(shù)值的符號，確定解的情況．8．某地市委、市政府堅持創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，把高質(zhì)量發(fā)展同滿足人民美好生活需要緊密結(jié)合起來，堅持生態(tài)優(yōu)先．下圖是該市某公園三期規(guī)劃的一角示意圖．邊長為3百米的正方形花圃的中，建有是以為圓心，1百米為半徑的扇形水池，現(xiàn)需在其余部分設(shè)計一個矩形草坪，其中是水池邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊和上，則規(guī)劃中矩形草坪面積的最小值為（）平方百米．A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】設(shè)∠PAB=θ，過P作PE垂直AB于點(diǎn)E，進(jìn)而用表示出了矩形PNCQ的邊長，即可解出.【詳解】,設(shè)，過P作PE垂直AB于點(diǎn)E，如圖：，時，面積有最小值，故選：B二、多選題9．下列四個選項(xiàng)中，化簡正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)余弦的差角公式進(jìn)行湊角即可求得；選項(xiàng)B：利用誘導(dǎo)公式及和差公式即可求得；選項(xiàng)C：湊正弦的二倍角公式即可求得；選項(xiàng)D：根據(jù)正切的差角公式即可求得.【詳解】選項(xiàng)A：，選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B：，選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C：，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：，選項(xiàng)D正確.故選：CD.10．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中（為虛數(shù)單位），說法正確的是（）A．若關(guān)于的方程有實(shí)根，則B．復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．是關(guān)于的方程的一個根，其中，為實(shí)數(shù)，則D．，（為虛數(shù)單位，），若，則【答案】AC【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求實(shí)數(shù)的值；選項(xiàng)B：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，然后再判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)；選項(xiàng)C：把根代入方程根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求的值；選項(xiàng)D：根據(jù)虛數(shù)不能比較大小來判斷.【詳解】若關(guān)于的方程有實(shí)根，則由得，，解得，選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋裕?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，選項(xiàng)B錯誤；若是關(guān)于的方程的一個根，則，即，所以，解得，選項(xiàng)C正確；當(dāng)時，可能為虛數(shù)，虛數(shù)不能比較大小，選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.11．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．是函數(shù)的增區(qū)間C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到【答案】AC【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】函數(shù)，,A.函數(shù)的最小正周期為，故正確；B.因?yàn)椋?，所以是函?shù)的減區(qū)間，故錯誤；C.因?yàn)椋院瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故正確；D.由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，故錯誤；故選：AC12．在中，角、、所對的邊的長分別為、、．下列命題中正確的是（）A．若，則一定是銳角三角形B．若，則一定是直角三角形C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】AB【分析】由已知結(jié)合兩角和的正切公式檢驗(yàn)，由正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求，進(jìn)而可判斷，由和差角公式進(jìn)行化簡可求，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)，由二倍角公式及正弦定理，和差角公式進(jìn)行化簡可判斷．【詳解】因?yàn)椋种胁豢赡苡袃蓚€鈍角，故，，，所以，，都為銳角，正確；因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，即，因?yàn)椋?，所以一定是直角三角形，正確；因?yàn)?，所以，整理得，因?yàn)?，所以，即，一定是直角三角形，錯誤；因?yàn)?，所以即，所以，所以，因?yàn)?，故，即為直角，則一定是直角三角形，錯誤．故選：三、填空題13．已知，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部為正數(shù)，則________．【答案】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的平方及復(fù)數(shù)相等求解即可.【詳解】設(shè),則，所以，解得，，故答案為：14．已在銳角中，角、、所對的邊的長分別為、、，當(dāng)時，若，則值為________．【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求，利用三角形內(nèi)的隱含條件和正切的和差公式即可求，結(jié)合角的范圍即可求角.【詳解】在銳角中，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，解得或（舍），因?yàn)?，所?故答案為：.15．如果三個函數(shù)的圖像交于一點(diǎn)，我們把這個點(diǎn)稱為“三重點(diǎn)”，若點(diǎn)是函數(shù)，為常數(shù)，，，的三重點(diǎn)，則的值為________．【答案】1【分析】設(shè)，根據(jù)題意得到，變形為，再結(jié)合同角的平方關(guān)系可得到，解方程即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，為常數(shù)，，交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，則，則，因?yàn)?，則，即，令，則，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，故答案為?.四、雙空題16．、、是水面下共線的三個聲波監(jiān)測點(diǎn)，、兩點(diǎn)到的距離分別為40千米和100千米，某時刻，收到發(fā)自水面下靜止目標(biāo)的一個聲波信號，16秒后，，同時接到該聲波信號，聲波在水中的傳播速度為1.5千米/秒．則到的距離為________千米；到直線的距離為________千米．【答案】62【分析】設(shè)，則，在中由余弦定理可得出，由勾股定理得出到直線的距離.【詳解】由題意可知位于線段的中垂線上，過作于點(diǎn)，，，設(shè)，則，在中由余弦定理得，即，解得，.故答案為：①；②.五、解答題17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象的對稱軸的方程；（2）若，求函數(shù)的值域．【答案】（1），；（2）．【分析】(1)先利用二倍角公式和輔助角公式將f(x)化簡變形，然后利用整體代換的思想和余弦函數(shù)的對稱性求解即可;(2)先求出的范圍，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可.【詳解】（1）令，解得，，所以函數(shù)的圖象的對稱軸的方程，.（2）因?yàn)樗运运缘闹涤驗(yàn)?8．在中，角、、所對的邊的長分別為、、，，，、為銳角，且．（1）求的值；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）計算的值，由條件，即可求解；（2）由正弦定理可轉(zhuǎn)化為，利用三角恒等變換求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，、為銳角所以，又所以，即（2）由正弦定理得又，，可得所以又，所以當(dāng)時，即時，取最大值419．已知，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求得，然后由二倍角公式求得，，再將所要求解的角用已知的角表示，結(jié)合兩角和差公式求解即可；（2）先求得，然后利用角的變換求出，結(jié)合的范圍，即可求出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，，故?）因?yàn)?，，所以，，又，所?20．已知，，，其中．（1）求函數(shù)的值域；（2）若存在，使得，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可;(2)利用,求出，然后利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則所以又，所以，即在上單調(diào)遞增時，；時，的值域?yàn)椋?）由，得，即故21．在中，為邊上一點(diǎn)，．（1）若，且，，求的大??；（2）若，，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義及兩角和的正切公式可求的值，進(jìn)而求的值.（2）在中，利用余弦定理求，再利用正弦定理求的值；然后結(jié)合三角形的面積公式即可求得.【詳解】（1）因?yàn)?，，，，所以，，，又是的一個內(nèi)角，所以；（2）在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），又因?yàn)闉槿切蔚囊粋€內(nèi)角，所以，由正弦定理，即，解得，因?yàn)?，所以，所?22．某中學(xué)在學(xué)校大門處設(shè)計有巨型校徽標(biāo)志，整體為半圓形，其直徑長為4米（如圖），徽標(biāo)的核心部分為梯形，它由三個區(qū)域構(gòu)成：區(qū)域Ⅰ為等邊三角形，區(qū)域Ⅱ?yàn)椋瑓^(qū)域Ⅲ為等腰三角形，其中，點(diǎn)、都在半圓弧上，點(diǎn)在半徑上，記．（1）試用表示區(qū)域Ⅱ的面積，并寫出的