考點(diǎn)17 多邊形與平行四邊形（精講）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之核心考點(diǎn)精講精練（解析版）

考點(diǎn)17.多邊形與平行四邊形（精講）【命題趨勢(shì)】多邊形與平行四邊形是歷年中考考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關(guān)計(jì)算的可能性比較大。中考數(shù)學(xué)中，對(duì)平行四邊形的單獨(dú)考察難度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函數(shù)、解直角三角形等綜合考查的可能性比較大，對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用?！局R(shí)清單】1：多邊形的相關(guān)概念（☆☆）1）多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。2）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。

3）多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n－2)個(gè)三角形，n邊形的對(duì)角線條數(shù)為。4）多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）。5）多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)。6）正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。7）平面鑲嵌（密鋪）的條件：在同一頂點(diǎn)內(nèi)的幾個(gè)角的和等于360°；所有正多邊形中，單獨(dú)使用其中一種能夠進(jìn)行密鋪(鑲嵌)的只有正三角形、正方形、正六邊形。如果選用多種，則需要滿足：(1)邊長相等；(2)選用正多邊形若干個(gè)內(nèi)角的和恰好等于360°。2：平行四邊形的性質(zhì)與判定（☆☆☆）1）平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2）平行四邊形的表示：用符號(hào)“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.3）平行四邊形的性質(zhì)：（1）兩組對(duì)邊平行且相等；（2）對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；（3）對(duì)角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱中心。4）補(bǔ)充性質(zhì)：（1）過平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積和周長。（2）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE。（3）如圖②，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。（4）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD。5）平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。3：中位線（☆☆☆）1）三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線。2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。3）三角形中位線定理的作用：（1）證明位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行；（2）證明數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。4）常用結(jié)論：任意一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】1.多邊形的有關(guān)計(jì)算的公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤；2.切記一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.多邊形的相關(guān)概念例1：（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個(gè)角為，則其余六個(gè)內(nèi)角之和為．【答案】/800度【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得．【詳解】解：∵七邊形的內(nèi)角中有一個(gè)角為，∴其余六個(gè)內(nèi)角之和為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．變式1.（2023·江蘇連云港·?？既＃┮粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和等于，那么它是（）A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形【答案】D【分析】根據(jù)題意可以設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理列方程求解即可.【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，∵一個(gè)多邊形內(nèi)角和等于，∴，解得，．即它是十三邊形，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角定理，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為是解答本題的關(guān)鍵．變式2.（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為度．

【答案】【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則，∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，∴，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3.（2022·湖南常德·中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為________．【答案】6【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，則每剪一次，所有的多邊形的內(nèi)角和增加360°，10張紙片，則剪了9次，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，設(shè)還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，理解題意是解題的關(guān)鍵．例2：（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）正十二邊形的外角和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都為即可解答．【詳解】解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°，所以正十二邊形的外角和為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和，掌握任何多邊形的外角和都為是解答本題的關(guān)鍵．變式1.（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由正八邊形的外角和為，結(jié)合正八邊形的每一個(gè)外角都相等，再列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵正八邊形的外角和為，∴，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為是解本題的關(guān)鍵．變式2.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）若正n邊形的一個(gè)外角為，則．【答案】5【分析】正多邊形的外角和為，每一個(gè)外角都相等，由此計(jì)算即可．【詳解】解：由題意知，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的外角問題，解題的關(guān)鍵是掌握正n邊形的外角和為，每一個(gè)外角的度數(shù)均為．變式3.（2023·河北保定·校考模擬預(yù)測(cè)）如果一個(gè)正多邊形的內(nèi)角比它相鄰的外角大，那么這個(gè)多邊形是邊形．【答案】九【分析】設(shè)正多邊形的內(nèi)角為x，則與它相鄰的外角度數(shù)為，根據(jù)題意列方程，求出，進(jìn)而求出外角的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)外角和求解即可．【詳解】設(shè)正多邊形的內(nèi)角為x，則與它相鄰的外角度數(shù)為，∴，解得，∴，∴．∴這個(gè)多邊形是九邊形．故答案為：九．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．例3：（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點(diǎn)在一起，剛好能完全鋪滿地面，已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，則的值為．【答案】/【分析】利用正n多邊形的內(nèi)角公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，這三種邊長相等的正多邊形的內(nèi)角和為，則，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題，理解題意，得到這三種邊長相等的正多邊形的內(nèi)角和為是解答的關(guān)鍵．變式1.（2023·吉林長春·?？既＃┤鐖D①是15世紀(jì)藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計(jì)，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為度．

【答案】【分析】根據(jù)平面鑲嵌的定義，結(jié)合正五邊形的內(nèi)角，即可求解．【詳解】解：正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為設(shè)菱形的最小內(nèi)角為，根據(jù)題意得，解得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和公式，平面鑲嵌，熟練掌握平面鑲嵌的定義以及多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯使用兩種不同的菱形，完成了非周期性密鋪，如下圖，使用了，兩種菱形進(jìn)行了密鋪，則菱形的銳角的度數(shù)為°．

【答案】36【分析】如圖，設(shè)菱形B的銳角為x，菱形A的銳角和鈍角分別為y、z，根據(jù)密鋪的圖案中一個(gè)頂點(diǎn)處的周角為列出方程組，解答即可．【詳解】解：如圖，設(shè)菱形B的銳角為x，菱形A的銳角和鈍角分別為y、z，根據(jù)題意，得，解得，故答案為：36．

【點(diǎn)睛】本題?？剂嗣茕亞栴}，涉及了菱形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和、三元一次方程組等知識(shí)，正確理解題意、得出方程組是解題的關(guān)鍵．例4：（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為，則這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．40【答案】C【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式求出這個(gè)多邊形是八邊形，再根據(jù)多邊形對(duì)角線計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，由題意得，，∴，∴這個(gè)多邊形為八邊形，∴這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，多邊形對(duì)角線計(jì)算公式，熟知n邊形的對(duì)角線條數(shù)是是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】A【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系可得再解方程，從而可得答案．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形為邊形，則，，解得：，所以從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有條對(duì)角線，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，多邊形的對(duì)角線問題，掌握“利用多邊形的內(nèi)角和為,外角和為”是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)正多邊形每一個(gè)中心角都為40°，則這個(gè)正多邊形共有條對(duì)角線．【答案】27【分析】利用多邊形的中心角之和是度，每個(gè)中心角都是，可求多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)一個(gè)多邊形有條對(duì)角線，即可算出共有多少條對(duì)角線．【詳解】解：，這個(gè)正多邊形有條邊；，這個(gè)正多邊形共有條對(duì)角線．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的中心角、對(duì)角線條數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形對(duì)角線條數(shù)．核心考點(diǎn)2.平行四邊形的性質(zhì)與判定例5：（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架，然后向左扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化．下面判斷錯(cuò)誤的是（

）

A．四邊形由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對(duì)角線的長度減小C．四邊形的面積不變 D．四邊形的周長不變【答案】C【分析】根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性、矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖形前后變化逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、因?yàn)榫匦慰蚣芟蜃笈?dòng)，，，但不再為直角，所以四邊形變成平行四邊形，故A正確，不符合題意；B、向左扭動(dòng)框架，的長度減小，故B正確，不符合題意；C、因?yàn)槔善叫兴倪呅魏?，高變小了，但底邊沒變，所以面積變小了，故C錯(cuò)誤，符合題意；D、因?yàn)樗倪呅蔚拿織l邊的長度沒變，所以周長沒變，故D正確，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)、四邊形的不穩(wěn)定性，弄清圖形變化前后的變量和不變量是解答此題的關(guān)鍵．變式1.（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）下列命題中的假命題是（

）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是中心對(duì)稱圖形B．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是軸對(duì)稱圖形C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是中心對(duì)稱圖形D．等邊三角形既是軸對(duì)軸圖形，又是中心對(duì)稱圖形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，真命題，不符合題意；B、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，是軸對(duì)稱圖形，真命題，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，是中心對(duì)稱圖形，真命題，不符合題意；D、等邊三角形既是軸對(duì)軸圖形，不是中心對(duì)稱圖形，假命題，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．變式2.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(6，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1，4)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．【答案】（7，4）【詳解】試題分析：∵四邊形ABCO是平行四邊形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（7，4）；故答案為（7，4）．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．例6：（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線交于點(diǎn)．若，則為．

【答案】【分析】先利用基本作圖得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，從而得到．【詳解】解：由作法得平分，，四邊形為平行四邊形，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知中，∠A=55°，分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）

A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】D【分析】由得，根據(jù)題意得是得垂直平分線，則，得，即求得的度數(shù)．【詳解】∵解：四邊形是平行四邊形，∴，，則，∵以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)E，∴是得垂直平分線，則，所以，那么，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行四邊形性質(zhì)以及垂直平分線等知識(shí)內(nèi)容，熟練掌握垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·湖南湘潭·中考真題）在中（如圖），連接，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行和兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，再通過等量代換即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABCD∴∠DCA＝∠CAB，∵∠DCA+∠ACB，，∴40o+80o=120o，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并熟練運(yùn)用．例7：（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，平分，交邊于點(diǎn)，連接，若，則的長為（

）

A．6 B．4 C． D．【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，由平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，從而得到，推出，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，，，即可得到答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，則，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)且分別交于點(diǎn)．若，則的長為．

【答案】10【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得即，再結(jié)合可得可得，最進(jìn)一步說明即可解答．【詳解】解：∵中，∴，∴，∵，∴，∴，∴,即．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．變式2.（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點(diǎn)落在長邊上的點(diǎn)處，并得到折痕，小宇測(cè)得長邊，則四邊形的周長為．

【答案】【分析】可證，從而可得，再證四邊形是平行四邊形，可得，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，由折疊得：，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3.（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，以的長為半徑作弧交邊于點(diǎn)，連接．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的值為．

【答案】【分析】證明，，，再利用正切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，，由作圖知平分，，∴是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，尺規(guī)作圖—作角平分線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，求得是解題的關(guān)鍵．例8：（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（

）

A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，可知是等邊三角形，得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)平行四邊形得性質(zhì)可判斷①，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，即可說明是否平分，然后說明是的中位線，可判斷和的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)O是的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得，進(jìn)而得，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，即可判斷④，得出答案．【詳解】∵，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴.∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴是平分．則①②正確；∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴．則③正確；∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴．由平行四邊形的性質(zhì)得，∴，即．則④不正確．所以正確的有①②③.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，求三角形的面積等，弄清各三角形的面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·廣西北?！そy(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E．若，，，則圖中陰影部分的面積是（）

A．1.5 B．3 C．6 D．4【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，利用三角形全等，把陰影面積轉(zhuǎn)化為的面積計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，，在和中，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，，，∴是直角三角形，且，∴，故選：C．變式2.（2023·廣東潮州·二模）如圖，在中，為對(duì)角線．(1)求證：．(2)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)若的周長為10，求的周長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)20【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，利用即可證明；（2）以分別為圓心，大于長為半徑作弧交于兩點(diǎn)，過兩交點(diǎn)作直線，即為所作垂直平分線；（3）利用垂直平分線的性質(zhì)可以得到，結(jié)合，得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得結(jié)論；【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，，∴；（2）如圖，即為所作；（3）∵垂直平分，∴，∵的周長為10，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴的周長．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定，作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵．變式3.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的長和的面積．

【答案】(1)見解析(2)；的面積為【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到；（2）根據(jù)線段的和差得到；過D作交的延長線于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到的面積．【詳解】（1）證明：在中，，∴，∵平分，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴；過D作交的延長線于H，

∵，∴，∴，∴，∴，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例9：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，已知，添加下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知A項(xiàng)不符合題意；根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可知B項(xiàng)不符合題意；據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可知D項(xiàng)不符合題意進(jìn)而即可判斷．【詳解】解：∵，，∴由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴項(xiàng)能判定四邊形是平行四邊形，故項(xiàng)不符合題意；∵，，∴由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∴項(xiàng)能判定四邊形是平行四邊形，故項(xiàng)不符合題意；∵，但和不一定平行，∴項(xiàng)不能判定四邊形是平行四邊形，故符合題意；∵，∴，∵，，∴，∴，∴項(xiàng)能判定四邊形是平行四邊形，故項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上．要使，可添加下列選項(xiàng)中的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，則，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，A.添加條件，不能根據(jù)證明，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.已知，不能證明，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.添加條件，則，即，根據(jù)證明，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.添加條件，不能證明，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：C．變式2.（2023·河南周口·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，添加下列條件，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，，，，，四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、，，，，，四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、，，不能判定四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C符合題意；D、，，又∵，四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．例10：（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E在同側(cè)，，．(1)求證：≌．(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由B是的中點(diǎn)得，結(jié)合，，根據(jù)全等三角形的判定定理“”即可證明≌；（2）由（1）中≌得，進(jìn)一步得，再結(jié)合，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．【詳解】（1）解：∵B是的中點(diǎn)，∴．在和中，∴≌（）．（2）如圖所示，∵≌，∴，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的面積等于2，求的面積．

【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得，，結(jié)合可得，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，又，四邊形是平行四邊形．（2）解：，，，四邊形是平行四邊形，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分．變式2.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在中，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段上，連接，點(diǎn)G、F分別為的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)，求線段的長度．

【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）由三角形中位線定理得到，，得到，即可證明四邊形為平行四邊形；（2）由四邊形為平行四邊形得到，由得到，由勾股定理即可得到線段的長度．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)G、F分別為、的中點(diǎn)．∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明四邊形為平行四邊形和利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)3.中位線例11：（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為邊，的中點(diǎn)，，則的長為cm.【答案】【分析】由于、分別為、邊上的中點(diǎn)，那么是的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可求．【詳解】如圖所示，

、分別為、邊上的中點(diǎn)，是的中位線，；又∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理．三角形的中位線等于第三邊的一半．變式1.（2023·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，為斜邊上的中線，為的中點(diǎn)．若，，則．

【答案】3【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位線定理即可求解．【詳解】解：∵在中，為斜邊上的中線，，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是的中點(diǎn)，則的最大值為．

【答案】【分析】首先證明出是的中位線，得到，然后由正方形的性質(zhì)和勾股定理得到，證明出當(dāng)最大時(shí)，最大，此時(shí)最大，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，最大，即的長度，最后代入求解即可．【詳解】如圖所示，連接，

∵M(jìn)，N分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，此時(shí)最大，∵點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，最大，即的長度，∴此時(shí)，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．變式3.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，分別為，，邊的中點(diǎn)，于，，則等于（

）

A．4 B．5 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵D，F(xiàn)分別為，邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，在中，E為斜邊的中點(diǎn)，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．例12：（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D是AC延長線上的一點(diǎn)，．M是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作．連接并取的中點(diǎn)P，連接，則的取值范圍是．

【答案】【分析】過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，分析可知為的最大值，為的最小值，據(jù)此即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，如圖所示：

由題意得：點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），故：為的最大值，為的最小值∵∴∵∴∵且∴∵P為的中點(diǎn)∴∵P為的中點(diǎn)∴為的中點(diǎn)∴∵∴故∵點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合∴的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題綜合考查了勾股定理、動(dòng)點(diǎn)軌跡問題．根據(jù)題意確定動(dòng)點(diǎn)軌跡是解題關(guān)鍵．變式1.（2023·海南儋州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，平分平分，且，相交于點(diǎn)O，若點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，連接，則線段的長為（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出，，再證明為直角三角形，為中線，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理可得，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∵點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，∴是的斜邊的中線，∴，故選：D．變式2.（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)M是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長是．若點(diǎn)N在邊上，且，點(diǎn)F，G分別是，的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四邊形面積S的取值范圍是．

【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得，設(shè)，從而，由此得到四邊形是平行四邊形，結(jié)合邊上的高為，即可得到函數(shù)解析式，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴；如圖，設(shè)，

由題意得，，且，∴，又F、G分別是的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，由題意得，與的距離是，∴，∴邊上的高為，∴四邊形面積，∵，∴，故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中位線定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)解析式，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．例13：（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點(diǎn)分別是邊，的中點(diǎn)，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．

①當(dāng)原