專(zhuān)項(xiàng)34相似三角形-手拉手模型綜合應(yīng)用（原卷版）

專(zhuān)項(xiàng)34相似三角形手拉手模型綜合應(yīng)用模型一：有公共頂點(diǎn)的直角三角形模型二：有公共頂點(diǎn)的任意三角形【類(lèi)型1：有公共頂點(diǎn)的直角三角形】【典例2】【問(wèn)題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接BF，DE，請(qǐng)直接寫(xiě)出BF與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系：；【類(lèi)比探究】（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．①判斷線段BF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【變式11】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．【變式12】如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α＜360°）．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α＝0°時(shí)，的值為，直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為；（2）拓展探究試判斷：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明：（3）問(wèn)題解決當(dāng)△BDE旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ACD的面積．【典例2】已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【變式21】如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．【變式22】（2022春?龍崗區(qū)期末）（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE，連接CE．易求∠DCE＝°；（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，點(diǎn)D為BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點(diǎn)A、D、E按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校B接CE，類(lèi)比題（1），請(qǐng)你猜想：線段BD、CD、DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，若D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點(diǎn)A、D、E按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的長(zhǎng)．【變式23】（1）如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；（2）如圖（2），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的長(zhǎng)．（3）如圖（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，試證明△ADF∽△ECF，并求出的值．1．（2021秋?邵陽(yáng)縣期末）如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．2．（2021?長(zhǎng)垣市模擬）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．①線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠AEB的度數(shù)為．（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△AED均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接CE，求的值及∠BEC的度數(shù)；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C到直線BP的距離．3．（2022?南山區(qū)校級(jí)一模）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說(shuō)明．（3）【解決問(wèn)題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OE長(zhǎng)的最小值為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．4.（2020秋?贛榆區(qū)期末）問(wèn)題背景：（1）如圖1，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠