專項34相似三角形-手拉手模型綜合應用（原卷版）

專項34相似三角形手拉手模型綜合應用模型一：有公共頂點的直角三角形模型二：有公共頂點的任意三角形【類型1：有公共頂點的直角三角形】【典例2】【問題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點C按順時針方向旋轉，連接BF，DE，請直接寫出BF與DE的數量關系與位置關系：；【類比探究】（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．①判斷線段BF與DE的數量關系，并說明理由；②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【變式11】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．【變式12】如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點B按順時針方向旋轉，記旋轉角為α（0°≤α＜360°）．（1）問題發(fā)現當α＝0°時，的值為，直線AE，CD相交形成的較小角的度數為；（2）拓展探究試判斷：在旋轉過程中，（1）中的兩個結論有無變化？請僅就圖2的情況給出證明：（3）問題解決當△BDE旋轉至A，D，E三點在同一條直線上時，請直接寫出△ACD的面積．【典例2】已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【變式21】如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．【變式22】（2022春?龍崗區(qū)期末）（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE，連接CE．易求∠DCE＝°；（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，點D為BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE，類比題（1），請你猜想：線段BD、CD、DE之間的關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，若D點在BC的延長線上運動，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的長．【變式23】（1）如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；（2）如圖（2），D是△ABC內一點，∠BAD＝∠CBD＝30°，延長BD到點E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的長．（3）如圖（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點F，點D在BC邊上，＝，試證明△ADF∽△ECF，并求出的值．1．（2021秋?邵陽縣期末）如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．2．（2021?長垣市模擬）（1）問題發(fā)現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．①線段AD，BE之間的數量關系為；②∠AEB的度數為．（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△AED均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接CE，求的值及∠BEC的度數；（3）解決問題：如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點P滿足PD＝，且∠BPD＝90°，請直接寫出點C到直線BP的距離．3．（2022?南山區(qū)校級一模）（1）【問題發(fā)現】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數量關系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點．若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為（直接寫出結果）．4.（2020秋?贛榆區(qū)期末）問題背景：（1）如圖1，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應用：（2）如圖2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠