2.2用配方法求解一元二次方程（分層練習）

第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程精選練習基礎篇基礎篇一、單選題1．（2022·北京平谷·八年級期末）把一元二次方程配方后，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．【詳解】，，，故選C．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，準確掌握方法是本題的關鍵．2．（2022·湖南株洲·九年級期末）方程的根為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據直接開平方法解一元二次方程即可得到結論．【詳解】解：，移項得，系數化1得，開方得，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法是解決此類問題的關鍵．3．（2022·黑龍江哈爾濱·九年級期末）將方程x2?4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（

）A．（x?1）2＝12 B．（2x?1）2＝12C．（x?1）2＝0 D．（x?2）2＝3【答案】D【解析】【分析】移項，再配方，即可得出選項．【詳解】解：x24x+1=0，x24x=1，配方，得x24x+4=1+4，即（x2）2=3，故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．4．（2021·河南周口·九年級期中）如果是方程的一個根，則這個方程的其它根是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將代入方程得出的值，從而還原方程，再利用直接開平方法求解即可得出答案．【詳解】解：將代入方程，得：，解得，方程為，則，或，即這個方程的另一個根為，故選：C．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法．5．（2022·北京石景山·八年級期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后可得答案．【詳解】解：，，則，即，故選：A．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法．6．（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】【分析】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，則，即，∴，，∴．故選：B．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．二、填空題7．（2022·江蘇揚州·九年級期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一個根，則m的值為__________．【答案】2【解析】【分析】把x=1代入x26x+m24m3=0即可得出m的值．【詳解】解：由題意可得：1+6+m24m3=0，整理，得∴m=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解題的關鍵是掌握一元二次方程的根．8．（2021·江蘇宿遷·九年級期中）一元二次方程4x3=0配方可化為_______________．【答案】（x2）2=7【解析】【分析】移項后，兩邊都加上一次項系數一半的平方即可．【詳解】解：∵x24x3=0，∴x24x=3，則x24x+4=3+4，即（x2）2=7，故答案為：（x2）2=7．【點睛】本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．9．（2022·全國·九年級課時練習）已知關于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接開平方法求解，則m的取值范圍是________．【答案】m≤0【解析】【分析】根據直接開平方法進行求解即可．【詳解】解：∵（x+1）2+m＝0，∴（x+1）2＝﹣m，∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接開平方法求解，∴﹣m≥0，∴m≤0．故答案為m≤0．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握直接開平方法是解題的關鍵．10．（2021·吉林遼源·九年級期末）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程可以化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x＋3＝5，則另一個一元一次方程是________．【答案】【解析】【分析】根據直接開平方法即可解答．【詳解】解：，或，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運用一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．三、解答題11．（2022·江蘇·蘇州市平江中學校八年級期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，．【解析】【分析】（1）利用直接開方法，繼而得出兩個關于的一元一次方程，再進一步求解即可；（2）利用配方法，再開方求解，繼而得出兩個關于的一元一次方程，再進一步求解即可．(1)解：，或，，；(2)解：，或，，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法．12．（2022·江蘇·九年級專題練習）解方程：(1)4（2x﹣1）2﹣36＝0(2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2【答案】(1)x＝2或﹣1(2)y1，y2．【解析】【分析】（1）先對原方程進行整理，再利用直接開平方法求解；（2）對方程兩邊分別開平方，得到y(tǒng)+2＝±（3y﹣1），解一元一次方程即可．(1)解：4（2x﹣1）2﹣36＝0，4（2x﹣1）2＝36，（2x﹣1）2＝9，2x﹣1＝±3，x＝2或﹣1(2)解：直接開平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1＝，y2＝．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法．解這類問題要移項，把所含未知數的項移到等號的左邊，把常數項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數的開方直接求解．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）運用整體思想，會把被開方數看成整體．（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·全國·九年級課時練習）如果關于x的方程沒有實數根，那么實數m的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據直接開平方法定義即可求得m的取值范圍．【詳解】解：∵關于x的方程沒有實數根，∴，故答案為：．【點睛】考查了解一元二次方程的直接開平方法，解決本題的關鍵是掌握直接開平方法．2．（2022·江蘇·九年級專題練習）若實數x，y滿足條件2x2﹣6x＋y2＝0，則x2＋y2＋2x的最大值是____．【答案】15【解析】【分析】先將2x2﹣6x+y2＝0，變形為y2＝﹣2x2+6x，代入所求代數式并化簡為x2+y2+2x＝﹣（x﹣4）2+16，利用非負數性質可得x2+y2+2x≤16，再因為y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．【詳解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，∵（x﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，當x＝3時，x2+y2+2x取得最大值為15，故答案為：15．【點睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法以及完全平方式的非負性是解決本題的關鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習）已知代數式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則A____B（填＞，＜或＝）．【答案】<【解析】【分析】先求AB的差，再將差用配方法變形為A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非負數性質求解．【詳解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A﹣B<0，∴A<B，故答案為：<．【點睛】本題考查了配方法的綜合應用，配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項系數化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方．4．（2022·全國·九年級課時練習）已知實數a、b滿足，則________．【答案】2【解析】【分析】設，將已知方程整理為關于y的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y(tǒng)的值，即可確定出的值．【詳解】解：設，則原方程變形為，解得，，∴2或1，∵，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程，換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．5．（2022·江蘇·九年級專題練習）利用配方法解一元二次方程時，將方程配方為，則mn=______．【答案】6【解析】【分析】根據配方法的一般步驟先把常數項7移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數6的一半的平方，求出m，n的值即可得出答案．【詳解】解：x26x+7=0，x26x=7，x26x+9=7+9，（x3）2=2，則m=3，n=2，∴mn=3×2=6．故答案為：6．【點睛】此題考查了配方法的應用，掌握配方法的一般步驟是本題的關鍵，配方法的一般步驟是（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．二、解答題6．（2022·全國·九年級專題練習）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2?5x=2移項得：x2x=，配方得：x2x+=+，合并得：（x）2=，解得：x1=+=2，x2==；（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x+16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=9；（3）解：x2+12x?15=0移項得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x1=6＋，x2=6（4）解：x2?x?4=0去分母得：，移項得：，配方得：x24x+4=16+4，合并得：（x2）2=20，解得：x1=2＋2，x2=2－2；（5）解：2x2+12x+10=0系數化為1得：，移項得：，配方得：x2+6x+9=5+9，合并得：（x+3）2=4，解得：x1=1，x2=5；（6）解：x2+px+q=0，移項得：，配方得：x2+px+=q+，合并得：(x+)2=，解得x=．【點睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解題的關鍵．7．（2022·全國·九年級課時練習）已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一個根是a．(1)求2a+b的值；(2)若此方程有兩個相等的實數解，求出此方程的解．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根據方程的解的概念將x＝a代入方程并整理得a（2a+b+1）＝0，由a≠0知2a+b+1＝0，可得答案；（2）由方程有兩個相等實數根可得Δ＝0，將b＝﹣2a﹣1代入可得關于a的方程，求出a即可得方程的解．（1）解：∵方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一個根是a，∴2a2+ab+a＝0，即a（2a+b+1）＝0，∵a≠0，∴2a+b+1＝0，∴2a+b＝﹣1；（2）∵方程有兩個相等的實數解，∴Δ＝b2﹣8a＝0，由（1）知，2a+b+1＝0，即b＝﹣2a﹣1，∴（﹣2a﹣1）2﹣8a＝0，整理得：（2a﹣1）2＝0，解得：a＝，∴b＝﹣2，∴此方程的解為：x＝．【點睛】本題考查了方程的解的概念及一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根．8．（2022·全國·九年級課時練習）已知：關于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0(1)求證：無論k取何值，方程都有實根；(2)若x＝﹣1是該方程的一個根，求k的值；(3)若方程的兩個實根均為正整數，求k的值（k為整數）．【答案】(1)見解析(2)(3)k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3【解析】【分析】（1）直接計算根的判別式即可證明；（2