人教版-全等三角形講義

全等三角形

全等三角形性質(zhì)

圖形全等：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但

形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

“全等，，用餐表示，讀作“全等于”

全等三角形的定義：兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的

字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，如AA5C和ADEF全等時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)

B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，記作AABCMADEN。

把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂

點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)

應(yīng)角相等。

1.下列說法：①全等圖形的形狀相同、大小相等；②全等三角形

的對(duì)應(yīng)邊相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形的周

長、面積分別相等，其中正確的說法為（）

A.①②③④B.①③④C.①②④

D.②③④

2.如圖，△絲△,則的對(duì)應(yīng)邊是，N的對(duì)應(yīng)角是.

3.已知：如圖，ZZC,則N.

4.如圖：△也△和是對(duì)應(yīng)邊，ZA和ND是對(duì)應(yīng)角，則其它對(duì)應(yīng)邊

是，對(duì)應(yīng)角是.

5.已知:如圖，△也△〃，NN,則另外兩組對(duì)應(yīng)邊是，另外兩組對(duì)

應(yīng)角是.

4

三角形全等的條件一（）

三角形有六個(gè)條件：三條邊和三個(gè)角

如果兩個(gè)三角形滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)時(shí)有幾種情

形，能否保證兩個(gè)三角形全等？

滿足一個(gè)條件：①只有一條邊對(duì)應(yīng)相等；②只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相

等；

A

AE

結(jié)論:

滿足兩個(gè)條件：①兩角對(duì)應(yīng)相等；②兩邊對(duì)應(yīng)相等；一邊一角

對(duì)應(yīng)相等

結(jié)論:

如果兩個(gè)三角形滿足上述六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí)，有幾種可能

的情況？

①兩邊一角對(duì)應(yīng)相等

AD

結(jié)論:

②兩角一邊對(duì)應(yīng)相等

結(jié)論:

③三邊對(duì)應(yīng)相等

AD

結(jié)論:

④三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等

結(jié)論：

定義：如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)

三角形全等.簡寫為“邊邊邊”，或簡記為（.）。

AD

例1.已知：如圖，，.求證：△也△.

例2.已知：如圖，，.求證：

D

AB

例3.已知：如圖，求證：〃。

例4..已知：如圖，點(diǎn)A、C、B、D在同一條直線上,

求證：△也△.

例6.已知，，，問〃嗎?

例6.已知：如圖，在邊上.求證：ZZ.

課堂練習(xí)：

1.如圖，，，Z30°,Z460,則N的度數(shù)是（）

A.120°B.125°C.127

D.104°

2.如圖，線段與交于點(diǎn)0,且，，則下面的結(jié)論中不正確的是

A.△9△B.ZZD.ZZD

3.如圖，一E、F是上兩點(diǎn)，且.欲證NND,可先運(yùn)用等式的性

質(zhì)證明，再用證明0得到結(jié)論.

4.如圖，，垂足為D,.求證：△也△.

6.已知：如圖，，，，交于0.求證：△也△.

7.如圖，已知：，，E為上一點(diǎn)，求證：ZZo

8.已知：如圖，A、E、F、B在一條直線上，，，。求證：〃

課后練習(xí)：

1.工人師傅常用角尺平分任意角，做法如下：如圖：N是一個(gè)任

意角，在、上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與

M、N重合，過角尺頂點(diǎn)P的射線便是N的平分線。你知道這樣做

的理由嗎？

2.已知：如圖：，，，求證：N空

3.如圖，一求證：Z1=Z2.

4.已知，，，問〃嗎?

E

10.如圖，，，求證：

能力提高：

1.如圖，，，，Z72°,Z32°,則N

D

2.已知：如圖，E是上的一點(diǎn)，，，.求證：ZZ.

3.如圖：，，。(1)求證：△也△;(2)〃.

4.如圖.求證：ZZ1800.

三角形全等的條件二()

定義：如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩

個(gè)三角形全等.簡寫成“邊角邊”或簡記為(.)

兩邊一角對(duì)應(yīng)相等

結(jié)論:

例1.如圖，〃，求證：△也△.

例2.如圖，=,=,N=N,求證：△也△.

例3.已知:如圖是上的中線，且.求證〃.

例4.如圖，已知，等腰△中，Z9O0,等腰△中，Z9O0,連結(jié)、.

求證：(1)；(2)求

B

例5.如圖，在△中，==,N=N,、交于點(diǎn)0.

求證：⑴△也△；(2)=

課堂練習(xí)：

1.在△和△A'B'C'中，要使,需滿足條件

()

NNB''B','C',NNA'

‘C''C',NNC''C','C',NNB'

2.如圖，在N的兩邊上截取，在和上截取，連結(jié)和交于點(diǎn)P,

則△理由是()

，人,AD

cD

ABsCEF

3.如［2八"。和ADM申，已知AB=DE,5c=/一支據(jù)（）判

定AABC0ADEF,還需的條件是（）

A.ZA=ZDB.ZB=ZEC.ZC=ZFD.以上三個(gè)均可以

4.如圖、交于F,則圖中相等的角共有對(duì)，（除去NN）（）

A.5B.4C.3D.2

6.如果兩個(gè)三角形全等,則不正確的是（）

A.它們的最小角相等B.它們的對(duì)應(yīng)外角相等

C.它們是直角三角形D.它們的最長邊相等

7.如圖，已知：△也△,Z1=Z2,ZZC,不正確的等式是（）

B.ZZ

7R

8.下圖中全等的三角形是（）

A.I和nB.n和wc.n和ni

D.I和in

9.如圖，已知N1=N2,要使△也△,還需條件（）

C.ZZD,ZZE

EC

BD

10.已知：〃，，求證：△空△.

11.如圖，△中，=,平分N,試說明△也△.

12.如圖，=,N=N.求證：Z=Z.

13.如圖，已知〃，求證:

14.如圖，在△ABC中，=AC,ABAC=40°,分別以為邊作兩個(gè)等腰直

角△和△,使ZBADuNCAEugO。.（1）求ND3C的度數(shù)；（2）求證:

BD=CE.

15.如圖:，,±,_L.求證:(1)ZZC,(2)

16.如圖NN,ZZ,o求證：。

課后練習(xí)：

1.下面各條件中，能使△的條件的是（）

,ZZ,ZZ

,NN,NN

2.如圖，相交于點(diǎn)0,,.下列結(jié)論正確的是（）

A.AAOB^ADOCB.AABO^ADOCC.ZA=ZCD.ZB=ZD

3.如圖，已知AB=AC,AD=AE,ZBAC^ZDAE.下列結(jié)論不正確的

有（）.

A.ZBAD^ZCAEB.AABD^AACE

4.如圖所示,△與△都是等邊三角形<,若△不動(dòng),將△繞B點(diǎn)旋

轉(zhuǎn),則旋轉(zhuǎn)過程中與的大小關(guān)系為（）

><D.無法確定

5.已知：如圖，八，八，垂足分別為E,F,，且，則不正

確的結(jié)論是（）

△B.ZZ90°C.ZZD〃.

6.如果△和△全等，△和△全等，則△和△全等，如果△和△

不全等，△和△全等，則△和△全等.（填“一定”或“不一定”

或“一定不”）

7.如圖，已知，于B,，于D,,,則N.

8.已知如圖，F(xiàn)在正方形的邊邊上，E在的延長線上，=,交于

G,則N的度數(shù)是.

9.如圖，△是不等邊三角形，，以D,E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同

的三角形，使所作的三角形與△全等，這樣的三角形最多可以畫

出個(gè).

10.如圖，已知△的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和

△全等的圖形是。

11.已知：如圖，N1=N2.求證：N3=N4。

12.已知：如圖平分N.求證：NN.

A

13.如圖，已知〃.求證〃.

14.已知：如圖，點(diǎn)在同一直線上〃，且.求證〃.

15.已知:如圖是上的中線，且.求證〃.

A

BC

D

E

16.如圖，在AA3C中，D是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E,,,與有什么位置關(guān)

系？說明你判斷的理由。

17.如右圖，已知，，±,垂足分別是E、F,,〃,

(1)試證明：；(2)連接、，猜想與的關(guān)系？并證明你的猜想的

正確性.

18.已知如圖，B是的中點(diǎn)，，.交于F點(diǎn)。求證：(1)〃(2).

AD

19.已知：如圖，N1=N2.求證：N3=N4。

能力提高:

1.觀察下列圖形，則第〃個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）

A.2〃+2B.4〃+4C.An—4D.4n

笛1笛。鉆Q

2.如圖，，，，N75°,N45°,則的長為（）

A.aB.kC.—D.h

2

3.已知：如圖，ZZ.求證。

4.如圖已知：△和A是等邊三角形，D在延長線上。求證:

5.已知：如圖，、是△的高，分別在射線與上取點(diǎn)P與Q,使，。

求證：(1)；(2)±

6.如圖，△為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，與交于Q點(diǎn)。求N

的度數(shù)。

7.已知C為上一點(diǎn),△和△是正三角形.（1）求證；（2）求N的度

數(shù).

8.如圖，已知△的邊長為1的正三角形，△是頂角N120°的等腰

三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交于M,交于N,

連形成△,求證：△的周長等于2。

9.已知在AABC中，NB=2NC,平分ZA交于D點(diǎn)，求證：。

A

10.如圖，△是等腰直角三角形，其中，四邊形是正方形，連接、.

⑴觀察圖形，猜想與之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想;

⑵若將正方形繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形的一邊落在

△的內(nèi)部，請(qǐng)你畫出一個(gè)變換后的圖形，并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字

母，題（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論,

不必證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

11.五邊形中，，，ZZ18O0,求證：平分N.

A

BE

三角形全等的條件三、四（）

定義：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這

兩個(gè)三角形全等.簡記為“角邊角”或簡記為（.）。

如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其其中一角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，

那?么??這?兩?個(gè)?三??角?形?全??等，?簡?記?為?“?角?角?邊?”?或?簡?記?為?（）

⑤兩角一邊對(duì)應(yīng)相等

結(jié)論:

問題：一塊三角形玻璃碎成如圖形狀4塊，配一塊與原來一樣的

三角形玻璃

（1）要不要4塊都帶去？/V

（2）帶哪一塊呢？/<B

（3）帶D塊，帶去了三角形的幾個(gè)元素？另外幾強(qiáng)啜廣仁_

例L如圖，ZZ,.求證.

例2.如圖，N90°,,D為上一點(diǎn)工，±,交延長線于F點(diǎn).求證：.

例3.如圖在△中，N90。，，是的中線，過點(diǎn)C作_L于F,過B

作，交的延長線于點(diǎn)D。(1)求證：，(2)若5cm,求的長。

例4.如圖：在△中，Z90°,,D是上一點(diǎn)，,于E,，交的延

長線于F。求證：。

AB

F

例5.如圖，已知在AABC中，是角平分線，_L交于F,垂足為M,

〃交的延長線于E,求證：。

例6.如圖，△中，N90°,,是N的平分線，的延長線垂直于過C

點(diǎn)的直線于E,直線交的延長線于F.求證：2.

課堂練習(xí)

1.已知：如圖，，ZZ9O0,±,則不正確的結(jié)論是（）

A.NA與ND互為余角B.ZZ2C.△空△

D.Z1-Z2

AB

2.在△中，5,中線4,則邊的取值范圍是（）

A.1?9B.3?13C.5?13D,9?13

3.如圖，點(diǎn)在同一條直線上,〃，〃，且，若10,2,貝IJ

4.已知：如圖，四邊形中，//,//.求證：

5.如圖，ZABC^ZDCB,ZACB=ZDCB,試說明

6.如圖，Z1=Z2,NB=NC.求證：=.

7.如圖：在△中，，和都是高，它們相交于點(diǎn)H,且2.求證：.

8.已知:如圖，四邊形中〃是的中點(diǎn)交延長線于E，.求證：Z

Z.

9.如圖，△中，D是上一點(diǎn)，〃，，分別交、于點(diǎn)F、G.

⑴圖中有全等三角形嗎？請(qǐng)找出來，并證明你的結(jié)論.

⑵若連結(jié)，則與有什么關(guān)系？并說明理由.

10.如圖，在△中，N2N是△的角平分線，N1:NB,求證.

課后練習(xí)：

1.如圖，NN,N50°,求N的度數(shù)為（）

A.50°B.30°C.45

D.25°

2.如圖，〃，〃，、相交于點(diǎn)0。

(1)由〃，可得/二N,由〃，可得/二N,又由，于是△空△;

(2)由，可得，由，可得△也△；

(3)圖中全等三角形共有對(duì)。

3.如圖在△中，于，于交于F,若，那么N的大小是

4.已知：如圖，N1=N2J_L垂足分別為B、D.求證：.

5.如圖，Z1=Z2,ZB=ZD,求證：△名△.

6.如圖，NC=ND,=.求證：N=N.

7.如圖，四邊形的對(duì)角線與相交于。點(diǎn)，Z1=Z2,Z3=Z4.

求證：(1)AABC^AADC；(2).

D

8.如圖，已知點(diǎn)B、C、E在一條直線上，一//,試說明NN。

9.如圖，AB1AC,BDLDC,、交于點(diǎn)ZACB=NDBC,圖中共有幾對(duì)長度

相等的線段，你是通過什么辦法找到的？

10.已知:如圖〃，N1=N2是的中點(diǎn)、交于0.求證：。也是的中

點(diǎn).

11.如圖，〃〃，求證：

8.已知：如圖〃，〃，F(xiàn)、C在直線上.求證：.

D

A

E

B/DC

9.已知：在△中，為邊上的中線，±,±o求證:/F

10.已知：如圖，于C，，于D,M是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交

于點(diǎn)F.

求證：.

11.已知:如圖、D、B、F在同一條直線上〃，NN.求證：〃.

12.已知：如圖，〃，、交于。點(diǎn).求證：.

能力提身：

1.已知:如圖,，ZZZ9O0,四邊形的面積為16,則的長為（)

A.5B.4C.3

D.2

2.三角形中，，在上取一點(diǎn)D,在的延長線上取一點(diǎn)E,使，連結(jié)

交于G,求證：.

3.已知：如圖，在4中，是N的角平分線，E、F分別是、上的

點(diǎn),

且NN180°o求證：=

A

F

E

BC

D

4.在等邊三角形中，，，交于P點(diǎn)，，于Q.求證：2.

5.如圖，點(diǎn)M為正△的邊所在直線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作

zz2=60。，射線與N外角的平分線交于點(diǎn)N,與有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？

三角形全等的條件五

定義：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等,

那么這兩個(gè)直角三角形全等.簡記為H.L定理.（或斜邊直角邊）.

例1.如圖，有一個(gè)直角△,Z9O0,10,5,一條線段，兩點(diǎn)分

別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí),才能使△與△全等.

例2.已知：如圖，，，且于E,于F.求證：ZZCo

例3.已知：如圖四點(diǎn)在同一直線上，NN90°,.求證：ZZC

例4.如圖，于B,于D,且.求證：ZZ.

例5.證明:在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

例6.已知:如圖，為△的高，E為上一點(diǎn)，交于F,且有，，求

證：±O

例7.已知:△中，N是直角，D是上一點(diǎn)，，過D作的垂線交于

E,

求證：_L.

課堂練習(xí):

1.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）

A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等B.一銳角對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角

對(duì)應(yīng)相等D.斜邊相等

2.兩個(gè)三角形有以下三對(duì)元素相等，則不能判定全等的是

（）

A.一邊和兩個(gè)角B.兩邊和它們的夾角C.三邊

D.兩邊和一對(duì)角

3.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.三角形全等的判定方法對(duì)判定直角三角形全等也適用

B.已知兩個(gè)銳角不能確定一個(gè)直角三角形

C.已知一個(gè)銳角和一條邊不能確定一個(gè)直角三角形

D.已知一個(gè)銳角和一條邊可以確定一個(gè)直角三角形

3.已知：如圖，，，分別垂直于E、F,,則圖中有對(duì)相等

的角（除直角外）.（）A.3B.4

C.5D.6

4.已知：如圖，是N和N的角平分線，則△9△用判定.（

或

5.如圖，△中，Z90°,Z60°,延長到D,使則：（）

A.1：1B.3：1C.4：1

D.2：3

6.如圖，在下列給出的四組條件下，不一定能推導(dǎo)出△物△的

條件是（）

,,Z1-Z2B.Z3=Z4,Z1=Z2,

,Z1=Z2,,Z1=Z2,ZZD

7.如圖，已知，，±,垂足分別是A,C,o由此可判定全等的兩

個(gè)三角形是△和△

8.已知：如圖，，都垂直于，垂足為E、F,,.求證：.

9.已知：如圖，，且于D,于E,.求證：ZZC.

10.已知：如圖，是△和△的公共邊，，，、分別垂直于E,

F.

求證：.

11.已知：如圖，，D、B到的距離.求證：〃.

DC

12.已知：如圖,于D,于C.求證：.

AB

13.如圖，已知：N和N都是直角，，E是上任一點(diǎn),求證：.

14.已知：如圖，ZZ9O0,,交于0,.求證：.

15.如圖，在等腰直角三角形中，Z9O0,直線1經(jīng)過點(diǎn)C,±1,±

1,垂足分別為D、E.

求證：。

A

課后練習(xí)：

1.下列條件中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）

A.一條直角邊和一個(gè)銳角分別相等B.兩條直角邊對(duì)

應(yīng)相等

C.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等D.斜邊和一個(gè)銳

角對(duì)應(yīng)相等

2.在下列定理中假命題是（）

A.一個(gè)等腰三角形必能分成兩個(gè)全等的直角三角形

B.一個(gè)直角三角形必能分成兩個(gè)等腰三角形

C.兩個(gè)全等的直角三角形必能拼成一個(gè)等腰三角形

D.兩個(gè)等腰三角形必能拼成一個(gè)直角三角形

3.如圖，在△中，N90。，、，分別是斜邊上的高與中線，是N的

平分線。則N1與N2的關(guān)系是（）

A.ZKZ2B.Z1=Z2C.Z1>Z2D.不

能確定

D

4.在直角三角形中，若N90°,D是邊上的一點(diǎn)，且2,則N的度數(shù)

是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.如圖，已知，于&C是上一點(diǎn)，且，要使△之△,應(yīng)補(bǔ)充的

條件是NND或或或。

6.如圖，在△中，，于D,與相交于H,且，，那么N度。

7.如圖，〃，Z90°,E是上一點(diǎn)，Z1=Z2,,求證：Z9O0

8.如圖所示，已知是N的平分線，，于E,，于F,且=.求證：.

9.已知=,±,±.求證：D在N的平分線上.

10.如圖，在△和△中，給出以下四個(gè)論斷：①；②③④，，±.以

其中三個(gè)論斷為題設(shè)，填入下面的“已知”欄中，一個(gè)論斷為結(jié)

論，填入下面的“求證”欄中，使之組成一個(gè)真命題，并寫出證

明過程

已知：求證：

11.已知在△中，ZC=90°,=,為N的平分線，±,垂足為C.求

證：△的周長等于.

12.如圖，△中，N90°，于平分N交于F.求證〃。

13.如圖，A、E、F、C在一條直線上，，過E、F分別作，，±,

若。

請(qǐng)回答下列問題：（1）平分；（2）若將的邊沿方向移動(dòng)變?yōu)?/p>

圖2時(shí)其余條件不變，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由。

能力提高:

1.已知：N90°,是N的平分線，將三角板的直角頂P在射線上

滑動(dòng)，兩直角邊分別與、交于C、D.和有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證

明你的結(jié)論.

2.如圖，已知在△中，Z90°,Z3O0,△、△都是等邊△交于F,

求證：。

3.已知、是△的高，點(diǎn)P在的延長線上，，點(diǎn)Q在上…判斷線段

和的關(guān)系，并證明.

B

C

4.如圖，點(diǎn)C在線段上，±,±,±,且，，，Z51°,求N的度

數(shù).

角的平分線的性質(zhì)

角平分線性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。到角

兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

角平分線的畫法：

例1.已知。是△三條角平分線的交點(diǎn)，，于D,若=5,△的周

長等于20,則△的面積等于5△=

例2.如圖，△的三邊、、的長分別是20、30、40、其中三條角平

分線將△分為三個(gè)三角形，則S枷。：S^：SAC4O等于?

B

例3.如圖：在△中，N90°,垂足為交于E。求證：.

2

A

例4.如圖：在△中，ZB,NC相鄰的外角的平分線交于點(diǎn)D。

求證：點(diǎn)D在NA的平分線上。

例5.如圖所示，已知△中，平分N,E、F分別在、上.，.求證:

〃.

例6.在△中，＞,是N的平分線.P是上任意一點(diǎn).求證：＞.

A

例7.如圖，ZZ1800,平分N,平分N,點(diǎn)E在上.

(1)探討線段、和之間的等量關(guān)系；(2)探討線段與之間的位置關(guān)

系.

例8.如圖，已知在△中，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，延長交于

F,,

求證：.

課堂練習(xí):

1.如圖所示，在△中，P為上一點(diǎn)，_1于七，于S,=,=,

則下列三個(gè)結(jié)論中正確的是（）①二；②〃；③△四△

A.①和②B.②和③C.①和③D.全

對(duì)

2.如圖，，，于E,，于F,、交于點(diǎn)D,則①②△也△；

③點(diǎn)D在N的平分線上，以上結(jié)論正確的是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

3.在△和△A'B'C'中,①'B';②'C';③'C;④NNA';⑤NN

B';?NNC';則下列哪組條件不保證.（）

A.①②③B.①②⑤C.①⑤⑥

D.①②④

4.如圖，已知點(diǎn)P至!J、、的距離恰好相等，則點(diǎn)P的位置：①在

NB的平分線上；②在N的平分線上；③在N的平分線上；④恰

是NB,N,N三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)。上述結(jié)論中，正確結(jié)論

的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4

個(gè)

5.N的平分線上一點(diǎn)M,M至I］的距離為1.5,則M到的距離為

6.如圖，〃，。是N、N的平分線的交點(diǎn)，，于E,且=2,則與

間的距離等于

7.已知△的周長是15,N和N的平分線交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作，與

點(diǎn)D,且2,求△的面積。

8.已知=,±,±o求證：D在N的平分線上.

9.如圖，在△中，交于點(diǎn)D,點(diǎn)E是中點(diǎn)，〃交的延長線于點(diǎn)F,

交于點(diǎn)G,若，求證：為N的角平分線.

10.已知△,NNC,D,E分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接

交底于G,

求證.

11.如圖，A,B兩點(diǎn)位于一個(gè)池塘的兩端，小麗想用繩子測量A、

B間距離，但是繩不夠長.你能幫她設(shè)計(jì)測量方案嗎?如不能，

說明困難在哪里；如果能，寫出方案，并說明其中的道理.

B

。

課后練習(xí)：

1.如圖，在△中，N90。，、，分別是斜邊上的高與中線，是N的

平分線。則N1與N2的關(guān)系是（）

A.ZKZ2B.Z1=Z2C.Z1>Z2D.

不能確定

2?尺規(guī)作圖作N的平分線方法如下：以。為圓心，任意長為半徑

畫弧交、于C、D,再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于長為半徑畫

弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線由作法得△ocpgaonp的根據(jù)是（）

A.B.C.D.

3.如圖，在△中，，Z9O0.平分N,，交的延長線于F,E為

垂足.則結(jié)論：①;②；③；④；⑤2,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

A.1B.2C.3D.4

4.如圖在△中，Z90°,是N的平分線，交于點(diǎn)D,若，，則A

的面積

是

5.已知：如圖，NN,,要說明△物△,

(1)若以“”為依據(jù)，還缺條件.

(2)若以“”為依據(jù)，還缺條件.

(3)若以“”為依據(jù)，還缺條件.

6.如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,E重合)，在同側(cè)分別作

正三角形和正三角形、與交于點(diǎn)0,與交于點(diǎn)P,與交于點(diǎn)Q,

連結(jié).以下五個(gè)結(jié)論：①；②〃；③；④；⑤N60°.恒成立的

結(jié)論有(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)。

7.如圖，平分N,±±,A、B為垂足，交于點(diǎn)N.求證：ZZo

OAP

8.已知N3NC,Z1-Z2,±,求證：2.

9.已知，如圖，在四邊形中，＞,,平分N.求證：ZZ18O0.

10.如圖：在△中，Z60°,ZB,NC的平分線，相交于點(diǎn)0。

求證：。

11.已知為△的中線，N,N的平分線分別交于E、交于F.求證:》.

能力提高:

1.如圖，△中，NC=90°,二，是N的平分線，，于￡,若=

10,則△的周長等于（）

2.如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,

要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

A.1處B.2處C.3處D.4處

3.如圖，已知平分N上于〃，Z360,那么N

4.已知在△中，ZC=90°,=,為N的平分線，±,垂足為C.求

證：△的周長等于.

5.如圖，在△中，分別為邊中點(diǎn)，連接、并分別延長至F、G,

使，連接.求證：.

6.如圖：在△中，Z90°,,D是上一點(diǎn)，，交的延長線于E,且

—1,

2

，于F。求證：。

7.如圖，在四邊形中，平分N,過C作，于E,并且,

求NN的度數(shù)。

8.如圖：是△中/的平分線，過的中點(diǎn)E作，交的延長線于F,

連結(jié)。

求證：ZZo

A

9.已知△中，，為的延長線，且，為△的邊上的中線.求證2

10.如圖，已知在△中，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，且，延長

交于F,與相等嗎？為什么？

全等三角形復(fù)習(xí)

一、選擇題：

1.如圖，，，則圖中全等三角形共有（