實戰(zhàn)演練07 立體幾何中的垂直問題（5大?？键c歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實戰(zhàn)演練07立體幾何中的垂直問題①證線面垂直（五種常見垂直關系）②由線面垂直證線線垂直③證面面垂直④面面垂直的性質定理應用⑤垂直關系中相似、全等的應用一、直線與平面垂直的定義如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．二、直線與平面垂直判定定理文字語言圖形語言符號語言判斷定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面⊥面?線⊥面兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a平行與垂直的關系一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直__平行與垂直的關系兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a三、直線與平面垂直性質定理文字語言圖形語言符號語言性質定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a文字語言圖形語言符號語言垂直與平行的關系垂直于同一直線的兩個平面平行__線垂直于面的性質如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內所有直線都垂直四、平面與平面垂直如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．五、平面與平面垂直判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直__六、平面與平面垂直性質定理文字語言圖形語言符號語言性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a①證線面垂直（五種常見垂直關系）解題技法一、解答題1．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）如圖所示，是的直徑，點是上異于，平面ABC，、分別為，的中點，(1)求證：EF⊥平面PBC；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理證明平面，再證明，即可證明；【詳解】（1）證明：因為平面ABC，平面。所以，因為是的直徑，知，因為，且平面，所以平面，由分別是的中點，所以，所以平面．2．（2024·青?！ざ＃┤鐖D，在三棱柱中，所有棱長均相等，，，.

(1)證明；平面.【答案】(1)證明見解析【分析】（1）設D為的中點，先證明平面，以此得到，再證明，結合線面垂直的判定定理即可得解；【詳解】（1）

設D為的中點，連接，，.因為在三角形中，，所以三角形是等邊三角形，而是的中點，故由三線合一可知，，因為，是三角形的中位線，即，所以.因為，平面，所以平面.因為平面，所以.在中，，O為的中點，所以.因為，平面，所以平面.3．（2024·廣西貴港·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為邊CD的中點，沿AE把折起，使點D到達點P的位置，且．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的表面積【答案】(1)證明見解析【分析】（1）求出各邊，由勾股定理逆定理求出，結合得到線面垂直；【詳解】（1）由題可知，，，，，為等邊三角形，，，．，平面，平面．4．（24-25高三上·湖北武漢·開學考試）如圖，在三棱錐中，為上的動點.(1)若，求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）兩次利用勾股定理分別證明，，即可得證；【詳解】（1）在中，，則，又，所以由勾股定理可得為直角三角形，,所以，所以在中，因為，由余弦定理可得：則，所以，又，在中由余弦定理可得：，則，所以，又平面平面，所以平面5．（22-23高三上·江蘇南京·階段練習）如圖，在直三棱柱中，，，，點M，N分別在，上，且，．

(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）分析題意，利用線面垂直的判定定理求解即可.【詳解】（1）

如圖，連接，∵，且，，∴，又因為直三棱柱，所以，所以面，故，所以四邊形是平行四邊形，而，所以平行四邊形是菱形，因為，所以菱形是正方形，∴．∵，，，面∴平面，∵平面，∴，又∵，面，∴平面．②由線面垂直證線線垂直一、解答題1．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

(1)證明：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質得，再根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，從而利用線面垂直的性質定理即可證明；【詳解】（1）在四棱臺中，延長后必交于一點，故四點共面，因為平面，平面，故，連接，因為底面四邊形為菱形，故，平面，故平面，因為平面，所以.

2．（2024·四川宜賓·三模）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，，點E為線段的中點，點F在線段AB上，且．(1)求證：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用線線垂直去證明線面垂直，即可得到線線垂直；【詳解】（1）證明：在正方形中，，又，∴在中，點E為線段PC的中點，，DE平分，在中，，過E作交CD于H，連接FH，則，在正方形中，，∴四邊形AFHD是矩形，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴．3．（24-25高三上·廣東·階段練習）如圖，三棱柱中，側面是邊長為2的正方形，，．(1)證明：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）側面是邊長為2的正方形得到和的關系，、和的長度，根據(jù)側面是平行四邊形得到和，在中，由余弦定理得，判斷的形狀，證明平面，證明；【詳解】（1）側面是邊長為2的正方形，，，，側面是平行四邊形，，在中，由余弦定理有，解得，是直角三角形，，，，平面，平面，又平面，；4．（24-25高三上·廣東·開學考試）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析【分析】（1）在內任取點，作，交于點，作，交于點，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由線線垂直證得線面垂直即得；【詳解】（1）如圖1，取為內一點，作，交于點，作，交于點，因為平面平面且平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，同理，因為，且平面，所以平面.5．（2024·青?！ざ＃┤鐖D，在三棱柱中，所有棱長均相等，，，.

(1)證明；平面.(2)若二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析【分析】（1）設D為的中點，先證明平面，以此得到，再證明，結合線面垂直的判定定理即可得解；【詳解】（1）

設D為的中點，連接，，.因為在三角形中，，所以三角形是等邊三角形，而是的中點，故由三線合一可知，，因為，是三角形的中位線，即，所以.因為，平面，所以平面.因為平面，所以.在中，，O為的中點，所以.因為，平面，所以平面.③證面面垂直解題技法一、解答題1．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，，，．

(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.【詳解】（1）在中，由余弦定理得．由，得，而，，則，又平面EDB，因此平面EDB，而平面ABCD，所以平面平面ABCD．2．（2024·黑龍江大慶·三模）如圖，在四棱錐中，，，且是的中點.

(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）先證明線面垂直再根據(jù)面面垂直判定定理證明即可；【詳解】（1）因為，由余弦定理得，所以.因為，所以，所以.因為，所以四邊形為平行四邊形，所以.因為，所以，即.因為平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.3．（2024·新疆·二模）如圖，三棱錐的所有棱長都是，為的中點，且為FG的中點．

(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉化為證明平面即得；【詳解】（1）連結，因為，，且點是的中點，

所以，，，且平面，所以平面，因為，所以共面，所以平面和平面是同一平面，所以平面，且平面，所以平面平面；4．（2024·陜西寶雞·三模）如圖，在三棱柱中，與的距離為，，.(1)證明：平面平面ABC；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）要證明面面垂直，轉化為證明線面垂直，即證明平面；【詳解】（1）取棱中點D，連接BD，因為，所以因為三棱柱，所以所以，所以因為，所以，；因為，，所以，所以，同理，因為，且，平面，所以平面，因為平面ABC，所以平面平面ABC；5．（2024·四川內江·三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面.(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）取PB的中點M，連接AM.利用面面垂直的性質定理證明平面，從而利用線面垂直的性質及線面垂直的判定定理得平面，進而利用面面垂直的判定定理即可證明.【詳解】（1）取PB的中點M，連接AM.∵，∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.∵底面ABCD是直角梯形，且，∴，∴.又，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.④面面垂直的性質定理應用一、解答題1．（24-25高三上·廣東·開學考試）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面.(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）在內任取點，作，交于點，作，交于點，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由線線垂直證得線面垂直即得；【詳解】（1）如圖1，取為內一點，作，交于點，作，交于點，因為平面平面且平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，同理，因為，且平面，所以平面.2．（2024·陜西西安·三模）在四棱錐中，平面平面，，，，．(1)證明：．【答案】(1)證明見解析【分析】（1）先證明，再由面面垂直的性質定理求解；【詳解】（1）因為，，所以，，由余弦定理可得，所以AD2+BD因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面PAD．因為平面PAD，所以．3．（2024·天津南開·二模）在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，O為CD的中點，二面角A-CD-P為直二面角.(1)求證：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）證明出，平面ABCD，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，計算出，得到垂直關系；【詳解】（1）因為，O為CD的中點，所以．又因為平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD．因為，，，所以．取的中點，連接，則⊥，以點O為坐標原點，OD，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標系，則O0,0,0，，，，P0,0,1，．，，因為，所以．4．（2024·四川綿陽·三模）如圖，在四棱錐中，，平面平面，平面平面.(1)點是的中點，求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質可得平面，進而根據(jù)平面平面，即可求證，【詳解】（1）延長交于，連接，顯然面面，由面面，面面，所以面，由于平面平面，兩個平面的交線為，由于，是的中點，所以，BP?平面，故平面，所以，由平面，面，則平面.5．（24-25高三上·河南·開學考試）如圖，在三棱錐中，為的中點，平面平面是等腰直角三角形，.(1)證明：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性質可得，結合面面垂直的性質可得平面，然后根據(jù)等腰三角形的性質結合條件可得.【詳解】（1）證明：因為是等腰直角三角形，為的中點，所以，平面，又因為平面平面，平面平面，所以平面因為平面，所以，又為的中點，所以是等腰三角形，故.⑤垂直關系中相似、全等的應用一、解答題1．（2024·陜西安康·模擬預測）已知四棱錐中，底面是矩形，，，點是線段的中點．(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）首先證明，取中點，連接，，即可證明平面，從而得到，即可得證；【詳解】（1）因為點是線段CD的中點且矩形中，所以，根據(jù)，，得，又根據(jù)矩形得，所以．于是，根據(jù)，得，所以．取中點，連接，，因為，所以AM⊥PB．因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面．2．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，在四棱錐中，已知是的中點.(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）求證且即可由線面垂直判定定理得證平面.【詳解】（1）是的中點，連接，，，在和中，，，平面，平面.3．（2024·四川德陽·三模）如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，，D為的中點，過的平面交棱于E，交于F.(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可得，又，即可得平面，進而可求解，【詳解】（1）證明：連接，.因為，，所以，所以.因為為的中點，所以.因為為的中點，所以.因為，，平面所以平面.又，所以平面.又平面所以平面平面.4．（2024·遼寧錦州·模擬預測）如圖，在四棱錐中，為的中點，平面．(1)求證：；(2)若，．（i）求證：平面；【答案】(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；【分析】（1）借助線面平行的性質定理與中位線的性質即可得；（2）（i）借助線面垂直的判定定理即可得；【詳解】（1）取的中點，連接，因為為的中點，所以，，因為，所以，所以四點共面，因為平面，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；（2）（i）取的中點，連接，由（1）知，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，所以，即，因為，所以，因為，所以與全等，所以，即，因為，又因為，、平面，所以平面；5．（2024·四川雅安·三模）四棱錐中，，底面為等腰梯形，，，為線段的中點，.(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）分析題意，利用線面垂直的判定定理求解即可.【詳解