2024-2025學(xué)年株洲市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年株洲市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．已知直線與直線互相垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A．20 B． C．0 D．243．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀一定為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．銳角三角形4．設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列說法中正確的序號(hào)為（

）①若，則為異面直線②若，則③若，則④若，則⑤若，，，則A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③5．已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓：上，則（

）A．4 B． C． D．6．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生規(guī)模性感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．根據(jù)過去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的城市是（

）A．甲：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 B．乙：總體均值為3，中位數(shù)為4C．丙：總體均值為2，總體方差為3 D．?。嚎傮w均值為1，總體方差大于07．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．直線與所成的角不可能是B．若，則二面角的平面角的正弦值為C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為8．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的對(duì)稱中心為B．若，則的最大值為C．若，且，則圓心角為，半徑為3的扇形的面積為D．若，則二、多選題（本大題共3小題）9．下列四個(gè)命題中，是真命題的是（

）A．，且，B．，使得C．若，則D．若，則的最小值為110．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，i為虛數(shù)單位，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．B．若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．是純虛數(shù)D．若，則的最大值是611．設(shè)為正實(shí)數(shù)，定義在上的函數(shù)滿足，且對(duì)任意的，都有成立，則（

）A．或 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．為奇函數(shù) D．三、填空題（本大題共3小題）12．在校園乒乓球比賽中，甲、乙進(jìn)入決賽，賽制為“三局兩勝”．若在每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則乙獲得冠軍的概率為．13．已知圓錐的母線長為2，其外接球表面積為，則圓錐的高為．14．定義，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，圓心坐標(biāo)為，且過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為.(1)求圓的分程；(2)求直線的方程.16．2023年8月8日，世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都成功舉行閉幕式．某校抽取100名學(xué)生進(jìn)行了大運(yùn)會(huì)知識(shí)競賽并記錄得分（滿分：100，所有人的成績都在內(nèi)），根據(jù)得分將他們的成績分成六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中a的值；(2)估計(jì)這100人競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）、眾數(shù)及中位數(shù)．17．如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.(1)證明：；(2)若直線AB與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為線段BD上一點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.18．已知函數(shù)，對(duì)，有.(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)在中，已知，其面積為，求；(3)將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)，向右平移個(gè)單位后，再將所得圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知集合且中元素的個(gè)數(shù)為．若存在，得為2的正整數(shù)指數(shù)冪，則稱為的弱子集；若對(duì)任意的均為2的正整數(shù)指數(shù)冪，則稱為的強(qiáng)子集．(1)請(qǐng)判斷集合和是否為的弱子集，并說明理由；(2)是否存在的強(qiáng)子集？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)例子；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若，且的任意一個(gè)元素個(gè)數(shù)為的子集都是的弱子集，求的最小值．

參考答案1．【答案】C【分析】利用列舉法表示集合即可得解.【詳解】依題意，，所以中元素的個(gè)數(shù)為5.故選C.2．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出的值，將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，再將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，由此可得出的值.【詳解】已知直線的斜率為，直線的斜率為．又兩直線垂直，則，解得．所以，即，將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．所以．故選B．3．【答案】A【分析】利用余弦定理將化為，然后化簡可得答案.【詳解】因?yàn)?，由余弦定理可得，則，則，所以為直角三角形.故選A.4．【答案】A【分析】根據(jù)空間線面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)①：因?yàn)槠矫娴钠叫芯€和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，故②正確；對(duì)③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；對(duì)④：兩直線平行，則這兩條直線分別垂直的平面也平行，故④錯(cuò)誤.對(duì)⑤：若，，則存在且，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，故⑤正確，故選A.5．【答案】B【分析】設(shè)利用點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱列方程求得Q坐標(biāo)，代入圓方程計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，解得，.因?yàn)樵谏?，所以，解?故選B.6．【答案】C【分析】通過舉反例排除ACD三個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)方差的計(jì)算判斷C選項(xiàng)正確.【詳解】A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)可以為“”，不符合該標(biāo)志；B選項(xiàng)，數(shù)據(jù)可以為“”，不符合該標(biāo)志；C選項(xiàng)，總體均值是2時(shí)，只要出現(xiàn)超過7人時(shí)，方差就大于3，故C正確；D選項(xiàng)，數(shù)據(jù)可以為“”，不符合該標(biāo)志；故選C.7．【答案】B【分析】建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，利用反證法可判斷A的正誤，利用向量法可求面面角的余弦值后結(jié)合同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式計(jì)算后可判斷B的正誤，利用空間中的距離公式計(jì)算CD后可判斷它們的正誤.【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，設(shè)，故，故，而，設(shè)直線與所成的角為，則，若直線與所成的角是，則，整理得到：，此方程在上無實(shí)數(shù)解，故直線與所成的角不可能是，故A正確.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，結(jié)合A分析得，此時(shí)，故，而，設(shè)此時(shí)平面的法向量為，則即，取，則，，故，又，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故，故，故二面角的平面角的正弦值為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，又B的分析可得，故，故，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，結(jié)合A中分析可得，故，故，而，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故，又，故到平面的距離為，故D正確.故選B.8．【答案】D【分析】根據(jù)新定義，把新函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)，再分析它們的有關(guān)性質(zhì)即可.【詳解】對(duì)A：.由，，，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：.設(shè)，則，且，所以，當(dāng)時(shí)，.故B錯(cuò)誤；對(duì)C：.因?yàn)榍?，所?所以.所以圓心角為，半徑為3的扇形的面積為：，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由.所以，故D正確.故選D.9．【答案】BCD【分析】根據(jù)基本不等式即可逐項(xiàng)判斷求解.【詳解】對(duì)于，且對(duì)時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，成立，故B正確；對(duì)于，若，則，化為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故的最小值為故選BCD.10．【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，先求出共軛復(fù)數(shù)，由三角函數(shù)性質(zhì)得到，確定所在象限；C選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)除法法則化簡，得到C正確；D選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)模長的幾何意義確定其軌跡，從而確定的最大值.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，則，故，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，為純虛數(shù)，故C正確：D選項(xiàng)，若，則的幾何意義為到點(diǎn)的距離為1的圓上的點(diǎn)，此圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值為圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，故的最大值為，故D正確.故選AB.11．【答案】ABD【分析】采用賦值法可判斷選項(xiàng)A，B，C；根據(jù)函數(shù)周期性可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意的，都有成立，令，代入可得，因?yàn)?，?lián)立可得或，故A正確；令，代入可得，當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，有，再令，代入可得，得，所以，即關(guān)于直線對(duì)稱，綜上所述，關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；令，代入可得，又因?yàn)椋?，根?jù)B選項(xiàng)，，所以，故為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；由上面可得，，所以，故D正確.故選ABD.12．【答案】【分析】根據(jù)三局兩勝制中，乙獲得冠軍有兩種情況，第一是乙兩局都獲勝，第二是前兩局乙獲勝一局，第三局乙獲勝，根據(jù)分類原則得到兩類結(jié)果相加即可求解.【詳解】若兩局決出冠軍，則乙獲得冠軍的概率；若三局決出冠軍，則乙獲得冠軍的概率；則所求概率為．故答案為：.13．【答案】【分析】根據(jù)圓錐的特征，先找到球心的位置，再結(jié)合勾股定理得出高.【詳解】設(shè)圓錐高，而母線，在中，則，設(shè)圓錐外接球的半徑為R，顯然外接球的球心為O在高上，球心O到底面圓心的距離，由，得，因此，解得，所以長為．故答案為：.14．【答案】【分析】令，先考慮的單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)在上單調(diào)遞減可得滿足的不等式組，從而可求其取值范圍.【詳解】令，則，故的周期為，又當(dāng)時(shí)，，的減區(qū)間為，，其中，當(dāng)，則，故存在，使得，或，故或（無解，舍），而，故，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)根據(jù)題意求出，從而可求出圓的方程；(2)根據(jù)已知條件求出圓心C到直線的距離，然后分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況討論求解即可.【詳解】(1)設(shè)圓C的半徑為，則，則圓C的方程為：；(2)因?yàn)閳AC的半徑為1，所以當(dāng)直線與圓相交所得的弦長為時(shí)，圓心C到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)圓心C到直線的距離為，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即①.則，解得，代入①得：綜上，直線的方程為或.16．【答案】(1)；(2)平均數(shù)72分，眾數(shù)約為75分，中位數(shù)為分.【分析】(1)由所有頻率之和為1列方程即可求解；(2)由頻率分布直方圖中平均數(shù)、眾數(shù)以及中位數(shù)的計(jì)算公式直接計(jì)算即可求解.【詳解】(1)由題意知，即，得．(2)由頻率分布直方圖可知這100人競賽成績的平均數(shù)約為（分）．眾數(shù)約為（分）．前3組的頻率為，前4組的頻率為，所以中位數(shù)為（分）．17．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)因?yàn)椋虼酥恍枳C明平面，只需證明（由題可證），，由勾股定理易證.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，先由直線AB與平面所成角的正弦值為，求出，再證明平面，由此得點(diǎn)M到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，再由點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，，所以，所?因?yàn)闉橹彼睦庵?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?(2)由(1)及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?設(shè)，所以所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，令，則，所以設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得，所以所以點(diǎn)到平面的距離為因?yàn)?，所以因?yàn)椴辉谄矫妫云矫?，因?yàn)镸在線段上，所以點(diǎn)M到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，為.故點(diǎn)M到平面的距離.18．【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)；(3).【分析】(1)化簡得到，根據(jù)對(duì)，有，求出，，整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；(2)由求出，由三角形面積得到，再由余弦定理求出；(3)先根據(jù)平移和伸縮變換得到，分離參數(shù)，令，則，換元得到，求出最小值為，得到不等式，求出答案.【詳解】(1)，對(duì)，有，故，所以，解得，因?yàn)?，故只有?dāng)時(shí)，滿足要求，故，，令，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)，因?yàn)?，所以，故，解得，，即，解得，由余弦定理得，故?3)圖象上的所有點(diǎn)，向右平移個(gè)單位后，得到，再將所得圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，，即，令，則，則，故，其中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為-1，所以，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．【答案】(1)不是，理由見解析；(2)不存在；理由見解析；(3)8.【分析】(1)根據(jù)的強(qiáng)子集的定義，即可容易求得；(2)利用反證法假設(shè)存在的強(qiáng)子集，設(shè)為正整數(shù)，，則，代入化簡得，與為正整數(shù)矛盾，證明不存在的強(qiáng)子集．(3)設(shè)，若不是的弱子集，可有最多能包含中的一個(gè)元素以及中的元素，一共7個(gè)元素，令中任意兩個(gè)元素的和都不是2的正整數(shù)指數(shù)冪，得不是的弱子集，分類討論當(dāng)和時(shí)，不滿足題意，再驗(yàn)證時(shí)的情況滿足題意，即可求得的最小值.【詳解】(1)是的弱子集，不是的弱子集．理由如下：中存在兩個(gè)元素的和是2的正整數(shù)指數(shù)冪，所以