重難點01有理數(shù)相關(guān)概念的應用

重難點01有理數(shù)相關(guān)概念的應用目錄題型一：數(shù)軸題型二：絕對值題型三：非負數(shù)的性質(zhì)絕對值題型四：有理數(shù)乘方的應用題型五：算“24點”技巧方法技巧方法一、數(shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大小：一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．二．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）三．非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．四．有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減．能力拓展能力拓展題型一：數(shù)軸一．填空題（共1小題）1．（2021春?青浦區(qū)期末）在數(shù)軸上，到原點的距離等于3的點所表示的有理數(shù)是±3．【分析】在數(shù)軸上，+3和﹣3到原點0的距離都等于3，據(jù)此進行填空即可．【解答】解：在數(shù)軸上，到原點的距離等于3的點所表示的有理數(shù)是±3．故答案為：±3．【點評】主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上距離某個點是一個定值的點有兩個，左右各一個，不要漏掉一種情況．把數(shù)和點對應起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學習中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．二．解答題（共8小題）2．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b＜0，abc＜0，＜0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝﹣1．（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【分析】（1）根據(jù)a、b、c在數(shù)軸上的位置即可求解；（2）根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；（3）結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)絕對值性質(zhì)去絕對值符號，再合并即可求解．【解答】解：由數(shù)軸可知，a＜0＜b＜c，|a|＞|b|，則（1）a+b＜0，abc＜0，＜0．故答案為：＜，＜，＜；（2）∵a、c互為相反數(shù)，∴＝﹣1．故答案為：﹣1；（3）|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|＝b+c+2（a﹣b）+（b﹣c）＝b+c+2a﹣2b+b﹣c＝2a．【點評】本題主要考查數(shù)軸、絕對值的性質(zhì)、整式的加減，根據(jù)數(shù)軸和題目條件判斷出a、b、c的大小關(guān)系和是解題的關(guān)鍵．3．（2020春?寶山區(qū)期中）用數(shù)軸上的點分別表示3，﹣3.5，，2，0和它們的相反數(shù)．【分析】依據(jù)相反數(shù)的概念確定各數(shù)的相反數(shù)后在數(shù)軸上表示即可．【解答】解：∵3，﹣3.5，，2，0，∴它們的相反數(shù)分別為：﹣3.3.5．﹣，﹣，0．將它們在數(shù)軸上表示如下：．【點評】本題主要考查了數(shù)軸，相反數(shù)的應用，求出各數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2020春?寶山區(qū)期中）一出租車某天8：00～10：00以鐘樓為出發(fā)點在東西方向營運，向東走為正，向西走為負，行車里程（單位：km）依先后次序記錄如下：﹣4、+3、﹣6、+12、+5，試回答下列問題：（1）將最后一名乘客送到目的地后，出租車離出發(fā)點鐘樓有多遠？出租車在鐘樓的什么方向？（2）若每千米的價格為2.4元，司機該天8：00～10：00的營業(yè)額是多少？【分析】（1）求出所有數(shù)據(jù)的代數(shù)和，結(jié)合結(jié)果的符號可得結(jié)論；（2）求出所有數(shù)據(jù)的絕對值，再乘以2.4可得結(jié)論．【解答】解：（1）﹣4+3﹣6+12+5＝20﹣10＝10（千米）．答：將最后一名乘客送到目的地后，出租車離出發(fā)點鐘樓10千米，出租車在鐘樓的東邊．（2）出租車共行駛：|﹣4|+|+3|+|﹣6|+|+12|+|+5|＝30（千米）．他的營業(yè)額是30×2.4＝72（元）．答：他的營業(yè)額是30×2.4＝72元．【點評】本題主要考查了數(shù)軸，正數(shù)和負數(shù)的應用，對數(shù)據(jù)進行正確處理是解題的關(guān)鍵．5．（2020春?金山區(qū)期中）補完整下面的直線，使它成為一條數(shù)軸，并把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來．點A是﹣2，點B是|3.5|，點C是的相反數(shù)．【分析】分別算出點A，B，C所表示的數(shù)，然后在數(shù)軸上表示出來．【解答】解：點A表示的數(shù)為﹣2.5，點B表示的數(shù)為3.5，點C表示的數(shù)為﹣0.25．點A，B，C標在圖中所示位置【點評】本題考查數(shù)軸的相關(guān)知識，解題關(guān)鍵是掌握畫數(shù)軸的方法6．（2020春?閔行區(qū)期中）（1）用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)：點A表示﹣的倒數(shù)，點B表示﹣2的相反數(shù)，點C表示|﹣|；點D表示絕對值最小的數(shù)．（2）已知點E與B的距離為線段AB長的一半，則點E表示的數(shù)是﹣或．【分析】（1）依據(jù)點A表示﹣的倒數(shù)，點B表示﹣2的相反數(shù)，點C表示|﹣|；點D表示絕對值最小的數(shù)，即可得出各點的位置；（2）依據(jù)點E與B的距離為線段AB長的一半，即可得到EB＝AB＝，再分兩種情況進行討論，即可得到點E表示的數(shù)．【解答】解：（1）如圖所示：（2）∵點E與B的距離為線段AB長的一半，∴EB＝AB＝，若點E在點B的左側(cè)，則點E表示的數(shù)為2﹣＝﹣；若點E在點B的右側(cè)，則點E表示的數(shù)為2+＝，故答案為：﹣或．【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．7．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）定義：對于數(shù)軸上的三點，若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系．如下圖，數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B就是點A，C的一個“關(guān)聯(lián)點”．（1）寫出點A，C的其他三個“關(guān)聯(lián)點”所表示的數(shù)：﹣2、2、7．（2）若點M表示數(shù)﹣2，點N表示數(shù)4，數(shù)﹣8，﹣6，0，2，10所對應的點分別是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是點M，N的“關(guān)聯(lián)點”是點C2．（3）若點M表示的數(shù)是﹣3，點N表示的數(shù)是10，點P為數(shù)軸上的一個動點．①若點P在點N左側(cè)，且點P是點M，N的“關(guān)聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．②若點P在點N右側(cè)，且點P，M，N中，有一個點恰好是另外兩個點的“關(guān)聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的概念即可解得．（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的概念逐個點計算即可解得（3）①根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的概念表示出距離，根據(jù)2倍的數(shù)量關(guān)系列式即可解得．②根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的概念表示出距離，分四種情況進行解答．【解答】解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一個“關(guān)聯(lián)點”，設x是A，C的一個“關(guān)聯(lián)點”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，設y是A，C的一個“關(guān)聯(lián)點”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三個“關(guān)聯(lián)點”所表示的數(shù)為：﹣2、2、7，故答案為：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是關(guān)聯(lián)點，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是關(guān)聯(lián)點，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是關(guān)聯(lián)點，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是關(guān)聯(lián)點，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是關(guān)聯(lián)點，故答案為：C2．（3）①若點P在點N左側(cè)且在M的右側(cè)，設點P表示的數(shù)為x，當2（x+3）＝10﹣x解得，當x+3＝2（10﹣x）解得，若點P在M點左側(cè)，設點P表示的數(shù)為x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，綜上所述：P表示的數(shù)為：；②若點P在點N右側(cè)，設點P表示的數(shù)為x，當PN＝2MN時，則2×13＝x﹣10解得x＝36，當MN＝2PN時，則13＝2×（x﹣10）解得，當MP＝2MN時，則x+3＝2×13解得x＝23，當MP＝2PN時，則x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，綜上所述：P表示的數(shù)為：，23.36．【點評】此題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是理解“關(guān)聯(lián)點”的概念，讀懂題意并根據(jù)題意列出方程．8．（2022春?普陀區(qū)校級期中）如圖，點A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為﹣12和8，兩只螞蟻M、N分別從A、B兩點同時出發(fā)，相向而行．M的速度為2個單位長度/秒，N的速度為3個單位長度/秒．（1）運動4秒鐘時，兩只螞蟻相遇在點P；點P在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣4；（2）若運動t秒鐘時，兩只螞蟻的距離為10，求出t的值（寫出解題過程）．【分析】（1）利用兩螞蟻的速度表示出行駛的路程，進而得出等式求出即可；（2）分別利用在相遇之前距離為10和在相遇之后距離為10，求出即可．【解答】解：（1）設運動x秒時，兩只螞蟻相遇在點P，根據(jù)題意可得：2x+3x＝8﹣（﹣12），解得：x＝4，﹣12+2×4＝﹣4．答：運動4秒鐘時，兩只螞蟻相遇在點P；點P在數(shù)軸上表示的數(shù)為：﹣4；（2）運動t秒鐘，螞蟻M向右移動了2t，螞蟻N向左移動了3t，若在相遇之前距離為10，則有2t+3t+10＝20，解得：t＝2．若在相遇之后距離為10，則有2t+3t﹣10＝20，解得：t＝6．綜上所述：t的值為2或6．故答案為：4；﹣4．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用以及數(shù)軸的應用，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．9．（2022春?奉賢區(qū)校級月考）根據(jù)下面給出的數(shù)軸，解答下面的問題：（1）請你根據(jù)圖中A，B兩點的位置，分別寫出它們所表示的有理數(shù)．（2）請問A，B兩點之間的距離是多少？（3）在數(shù)軸上畫出與點A的距離為2的點（用不同于A，B的其它字母表示），并寫出這些點表示的數(shù)．【分析】（1）讀出數(shù)軸上的點表示的數(shù)值即可；（2）兩點的距離，即兩點表示的數(shù)的絕對值之和；（3）與點A的距離為2的點有兩個，一個向左，一個向右．【解答】解：（1）根據(jù)所給圖形可知A：1，B：﹣2.5；（2）依題意得：AB之間的距離為：1+2.5＝3.5；（3）設這兩點為C、D，則這兩點為C：1﹣2＝﹣1，D：1+2＝3．【點評】本題主要考查了學生對數(shù)軸的掌握情況，要會畫出數(shù)軸，會讀準數(shù)軸．題型二：絕對值一．填空題（共1小題）1．（2021春?徐匯區(qū)期中）絕對值小于2.5的整數(shù)有±2；±1；0．【分析】根據(jù)絕對值的意義得到整數(shù)±2；±1；0的絕對值都小于2.5．【解答】解：絕對值小于2.5整數(shù)±2；±1；0，故答案為±2；±1；0．【點評】本題考查了絕對值：若a＞0，則|a|＝a；若a＝0，則|a|＝0；若a＜0，則|a|＝﹣a．二．解答題（共3小題）2．（2021春?普陀區(qū)校級月考）若a＞0，＝1；若a＜0，＝﹣1；①若，則＝1；②若abc＜0，則＝1或﹣3．【分析】根據(jù)實數(shù)絕對值的性質(zhì)|a|＝，根據(jù)a的符號確定它的絕對值是它本身還是絕對值即可．【解答】解：∵a＞0，∴|a|＝a，∴＝＝1；∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴＝＝﹣1，故答案為：1，﹣1；①∵，∴ab＜0，∴|ab|＝﹣ab，∴＝＝1，故答案為：1；②∵abc＜0，∴a、b、c中有一個負數(shù)、兩個正數(shù)和三個負數(shù)兩種情況，當a、b、c中有一個負數(shù)、兩個正數(shù)時，＝﹣1+1+1＝1，當a、b、c中有三個負數(shù)時，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，故答案為：1或﹣3．【點評】此題考查了分類討論解決含字母參數(shù)絕對值的問題，關(guān)鍵是能確定含字母參數(shù)絕對值是它本身還是它的相反數(shù)．3．（2021春?楊浦區(qū)校級期中）已知非零實數(shù)a，b，c，|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化簡|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．【分析】根據(jù)已知三等式判斷出a，b及c的正負，進而確定出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數(shù)意義化簡，去括號合并即可得到結(jié)果．【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，∴原式＝﹣b+a+b﹣c+b﹣a+c＝b．【點評】此題考查了整式的加減，以及絕對值，涉及的知識有：去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．同時注意根據(jù)有理數(shù)的運算法則正確判斷含有字母的式子的符號．4．（2022春?寶山區(qū)校級月考）若x＞0，y＜0，求|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．【分析】直接利用x，y的符號進而去絕對值，再合并求出答案．【解答】解：∵x＞0，y＜0，∴x﹣y+2＞0，y﹣x﹣3＜0，∵|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|＝x﹣y+2+（y﹣x﹣3）＝﹣1．【點評】此題主要考查了絕對值，正確得出各式的符號是解題關(guān)鍵．題型三：非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值一．填空題（共2小題）1．（2021春?浦東新區(qū)月考）已知|x﹣4|+|5+y|＝0，則（x+y）的值為﹣．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣4＝0，5+y＝0，解得x＝4，y＝﹣5，所以，（x+y）＝×（4﹣5）＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．2．（2021春?楊浦區(qū)校級期末）|2x﹣4|+|x+2y﹣8|＝0，則（x﹣y）2021＝﹣1．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出二元一次方程組，求解得到x、y的值，再代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，，由①得，x＝2，把x＝2代入②得，2+2y﹣8＝0，解得y＝3，∴（x﹣y）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了解二元一次方程組，利用非負數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程組的方法，能夠正確利用非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0求出x、y的值．二．解答題（共1小題）3．（2021春?上海期中）已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a是最小的合數(shù)，b、c滿足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，點P是△ABC的邊上一動點，點P從點B開始沿著△ABC的邊按BA→AC→CB順序順時針移動一周，回到點B后停止，移動的路程為S，如圖1所示．（1）試求出△ABC的周長；（2）當點P移動到AC邊上時，化簡：|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|．【分析】（1）根據(jù)a是最小的合數(shù)，b、c滿足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，找到a、b、c的值即可計算△ABC的周長；（2）當點P移動到AC邊上時，6≤S≤11，再去絕對值化簡即可求值．【解答】解：（1）∵a是最小的合數(shù)，∴a＝4，又∵|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，∴b＝5，c＝6，∴C△ABC＝4+5+6＝15，（2）由題意得當點P移動到AC邊上時，6≤S≤11，原式＝S﹣4+3S﹣6+45﹣4S＝35．【點評】本題考查偶次方的非負性以及絕對值的非負性，本題討論出S的取值范圍化簡絕對值是解題關(guān)鍵．題型四：有理數(shù)乘方的應用一．填空題（共5小題）1．（2022春?明水縣期末）地球表面的總面積是（五億一千零八萬三千零四十二）平方千米，括號里的數(shù)寫作510083042km2；省略億后面的尾數(shù)約是5億平方千米．【分析】按照整數(shù)的寫法和四舍五入求近似值法進行求解．【解答】解：∵五億一千零八萬三千零四十二記作510083042，省略億后面的尾數(shù)約是5億平方千米，故答案為：510083042，5．【點評】此題考查了整數(shù)的寫法和求近似值等問題的解決能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用相關(guān)知識．2．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖為一正方形網(wǎng)，若在第一個點上放1枚棋子，在第二個點上放2枚棋子，在第三個點上放4枚棋子，在第四個點上放8枚棋子，以次類推，則在最后一個點上應放224枚棋子．（結(jié)果用冪的形式表示）【分析】第1個點放1枚，即20枚；第2個點放2枚，即21枚；第3個點放4枚，即22枚；第4個點放8枚，即23枚；……此正方形網(wǎng)格格點共5×5＝25個格點，所以，第25個點放224．【解答】解：第1個點放1枚，即20枚；第2個點放2枚，即21枚；第3個點放4枚，即22枚；第4個點放8枚，即23枚；……第n個點放2n﹣1枚．此正方形網(wǎng)格格點共5×5＝25個點，所以，第25個點放225﹣1＝224．故答案為：224．【點評】本題考查的是數(shù)字規(guī)律題，關(guān)鍵是根據(jù)前幾個條件，找到規(guī)律是：第n個點放2n﹣1枚．3．（2021春?寶山區(qū)期末）如果有理數(shù)a滿足a61＜0，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是a622，點B所表示的數(shù)是a2021；那么在數(shù)軸上點A在點B（填點A和點B中哪個點在哪個點）的右邊．【分析】利用a61＜0可知a＜0，于是可得a622＞0，a2021＜0，根據(jù)原點左邊的數(shù)為負數(shù)，原點右邊的數(shù)為正數(shù)可得結(jié)論．【解答】解：∵a61＜0，∴a＜0．∴a622＞0，a2021＜0，∴點A在點B的右邊．故答案為：點A在點B．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，數(shù)軸．利用負數(shù)的偶次方是正數(shù)，負數(shù)的奇數(shù)次方是負數(shù)的法則是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?楊浦區(qū)校級期中）閱讀理解：①根據(jù)冪的意義，an表示n個a相乘；則am+n＝am?an；②an＝m，知道a和n可以求m，我們不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？對于an＝m，規(guī)定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．記[5，x]＝4m，[5，y﹣3]＝4m+2；y與x之間的關(guān)系式為y＝25x+3．【分析】由題意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，然后根據(jù)同底數(shù)冪的逆用得問題的答案．【解答】解：由題意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，∴y﹣3＝54m×52＝25x，即y＝25x+3．故答案為：y＝25x+3．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪乘法的逆用，正確理解新規(guī)定是解題的關(guān)鍵．5．（2020春?松江區(qū)期末）將一張紙對折一次可裁2張，對折兩次可裁4張，對折四次可裁16張．【分析】根據(jù)已知找到規(guī)律，即可列式求出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：將一張紙對折四次可裁24＝16（張），故答案為：16．【點評】本題考查有理數(shù)的乘方運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘方的意義和運算法則．二．解答題（共2小題）6．（2019春?普陀區(qū)期中）某數(shù)的2倍減去﹣4的差等于﹣6的平方，求這個數(shù)．【分析】設這個數(shù)是x，一個數(shù)的2倍是2x，2x減去﹣4的差等于﹣6的平方，列出方程進行解答即可．【解答】解：設這個數(shù)是x，根據(jù)題意，得2x﹣（﹣4）＝（﹣6）2，2x+4＝36，2x＝32，x＝16．答：這個數(shù)是16．【點評】本題考查了有理數(shù)的運算．解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意，先弄清運算順序，然后再列式計算．7．（2021春?浦東新區(qū)月考）請認真閱讀下面材料，并解答下列問題如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數(shù)式ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，對數(shù)式記作：logaN＝b．例如：①因為指數(shù)式22＝4，所以以2為底4的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log24＝2；②因為指數(shù)式42＝16，所以以4為底16的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log416＝2．（1）填空：指數(shù)式62＝36對應的對數(shù)式是log＝2；對數(shù)式log327＝3對應的指數(shù)式是33＝27．（2）計算：log232+log5625．【分析】（1）直接利用對數(shù)式的定義分析得出答案；（2）直接利用對數(shù)式的定義得出各數(shù)求出答案．【解答】解：（1）指數(shù)式62＝36對應的對數(shù)式是：log＝2，對數(shù)式log327＝3對應的指數(shù)式是：33＝27；故答案為：log＝2，33＝27；（2）log232+log5625＝5+4＝9．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的乘方，正確理解對數(shù)式定義是解題關(guān)鍵．題型五：算“24點”一、填空題1．（2022秋·廣東河源·七年級?？计谀包c的規(guī)則是四個數(shù)用且只用一次進行加、減、乘、除四則運算，使結(jié)果等”．現(xiàn)在有四個有理數(shù)，，，，運用上述規(guī)則列出算式_____．【答案】【分析】由“24點”游戲規(guī)則，根據(jù)，，，，列出算式，利用有理數(shù)的混合運算法則計算，其結(jié)果為24，可得出此算式滿足題意．【詳解】解：，按上述規(guī)則寫出的算式為：．故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算的應用，有理數(shù)的混合運算首先弄清運算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊，同級運算從左到右依次進行計算，然后利用各種運算法則計算．2．（2022秋·四川綿陽·七年級統(tǒng)考期中）有一種叫做“24點”的游戲，其游戲規(guī)則是這樣的：將4個絕對值為1至13之間的數(shù)進行加、減、乘、除四則運算（每個數(shù)只能用一次，可以加括號），使其結(jié)果為24．例如，1，2，3，4可做運算．現(xiàn)有4個有理數(shù)3，4，，10，運用上述規(guī)則，寫出一個的算式______，使其結(jié)果為24．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意寫出符合題意的算式，本題答案不唯一；【詳解】解：；；；；故答案為：或或或．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的法則和運算順序．3．（2023秋·廣東河源·七年級?？计谀┳鰯?shù)學“24點”游戲時，抽到的數(shù)是：，3，4，；你列出算式是：______（四個數(shù)都必須用上，而且每個數(shù)只能用一次．可以用加、減、乘、除、乘方運算，也可以加括號，列一個綜合算式，使它的結(jié)果為24或）．【答案】【分析】利用加、減、乘、除、乘方運算得出即可．【詳解】解：抽到的數(shù)是：，3，4，，列出的算式是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則．4．（2021秋·福建寧德·七年級?？茧A段練習）你玩過24點游戲吧，請你運用加、減、乘、除運算和括號，寫出數(shù)5、5、5、1得到24的算式__________（每個數(shù)只能用一次）．【答案】5×（51÷5）=24【分析】根據(jù)，列出正確算式即可．【詳解】解：5×（51÷5）=24，故答案為：5×（51÷5）=24．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運用，解題關(guān)鍵是恰當?shù)倪\用運算符號和括號列出準確算式．二、解答題5．（2023秋·重慶·七年級統(tǒng)考期末）有一種“24點”游戲的規(guī)則是這樣的：任取4個1至13之間的自然數(shù)，將這4個數(shù)（每個數(shù)用且只用一次）進行有理數(shù)的混合運算，使其結(jié)果等于24．(1)現(xiàn)有4個有理數(shù)3，4，，10，運用上述規(guī)則寫出三種不同方法的運算式子，使其結(jié)果等于24；(2)對于4個數(shù)3，，7，，你能行嗎？(3)如果在2，，4，，6這幾個數(shù)中任意挑選4個，試試看，你能運用上述規(guī)則寫出運算式子，使其結(jié)果等于24嗎？【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）按照要求的規(guī)則，寫出算式，并計算驗證滿足條件即可；（2）按照要求的規(guī)則，寫出算式，并計算驗證滿足條件即可；（3）按照要求的規(guī)則，寫出算式，并計算驗證滿足條件即可．【詳解】（1）解：∵，，,∴，，三種不同方法的運算式子滿足要求；（2）∵，∴滿足要求；（3）∵，∴滿足要求．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，讀懂規(guī)則，找到正確的算式是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）有個填寫運算符號的游戲：在“1□2□6□9”中的每個□內(nèi)，填入+，，×，÷中的某一個（可重復使用），然后計算結(jié)果．(1)計算：；(2)若□，請推算□內(nèi)的符號；(3)將1，2，6，9這4個數(shù)字進行+，，×，÷混合運算，每個數(shù)字只能用一次，使結(jié)果為24，寫出一個運算式子．【答案】(1)(2)(3)（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答；（2）根據(jù)題目中式子的結(jié)果，可以得到□內(nèi)的符號；（3）根據(jù)有理數(shù)運算法則列式計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：□，□，□，□內(nèi)的符號是“”；（3）解：(答案不唯一)【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題得關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算法則．7．（2022秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各問題：(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大．這兩張卡片上的數(shù)字分別是________，積為________；(2)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最?。@兩張卡片上的數(shù)字分別是________，商為________；(3)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當方法（可加括號），使其運算結(jié)果為24，寫出運算式子及運算過程．（寫出一種即可）【答案】(1)5和3，15(2)5和+3，；(3)(答案不唯一)【分析】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，也就是必須選擇同號的兩個數(shù)相乘，然后取積最大的兩個卡片即可．（2）依題意，商為負數(shù)才最小值，也就是必須選擇異號的兩個數(shù)相除且被除數(shù)的絕對值要大于除數(shù)的絕對值，然后選擇商最小的兩個卡片即可．（3）把分解因數(shù)，可得到，，，然后找到合適的卡片能夠通過運算得到的因數(shù)即可．【詳解】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，選擇同號的兩個數(shù)相乘則有，積最大為，選擇卡片和卡片；故答案為：5和3，15；（2）依題意，商為負數(shù)才最小值，選擇異號的兩個數(shù)相除且被除數(shù)的絕對值要大于除數(shù)的絕對值．則有，，商最小為，所選擇卡片和卡片，故答案為：5和+3，；（3）【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期末）小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數(shù)字只能用一次，并使得運算結(jié)果等于24．(1)小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結(jié)果等于24的算式；(2)請你抽取任意數(shù)字不相同的4張撲克牌，并列出一個結(jié)果等于24的算式．【答案】(1)，答案不唯一(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意將其進行有理數(shù)的混合運算得到24即可；（2）假設一組數(shù)字，再進行計算即可．【詳解】（1）由題意得：；（2）由題意得，假設抽取的卡牌上的數(shù)字為：2、3、4、6，則．（答案不唯一）【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算的應用，靈活運用所學知識求解是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）小剛與小明在玩數(shù)字游戲，現(xiàn)有5張寫著不同數(shù)字的卡片（如圖），小剛請小明按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中抽取2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取?最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，如何抽取?最小值是多少？(3)從中抽取4張卡片，用學過的運算方法，使結(jié)果為24，如何抽取?寫出運算式子．（一種即可）【答案】(1)抽取5和4，20；(2)抽取和5，；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)題意和給出的五張卡片可以解答本題；（2）根據(jù)題意和給出的五張卡片可以解答本題；（3）根據(jù)題意可以寫出相應的算式即可．【詳解】（1）解：由題意可得，從中抽取2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，抽取5和4，最大值是，即抽取5和4，最大值是20．（2）解：由題意可得，從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，抽取和5，最小值是，即抽取和5，最小值是．（3）由題意可得，解：（答案不唯一），即抽取0、、4、即可滿足．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算、有理數(shù)大小的比較等知識點，掌握有理數(shù)的混合運算法則是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022秋·湖北宜昌·七年級?？计谥校┈F(xiàn)有5張卡片寫著不同的數(shù)字，利用所學過的加、減、乘、除、乘方運算按要求解答下列問題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為________．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為__________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運算結(jié)果為24．寫出兩個不同的等式，分別為，．【答案】(1)9(2)11(3)6(4)90(5)，【詳解】（1）解：這五個數(shù)中，最小的兩個數(shù)是3和6，所以要使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為．故答案為：9；（2）解：這五個數(shù)中，最小的兩個數(shù)是6，最大的數(shù)是5，所以要使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為．故答案為：11；（3）解：取出6和1，相除得．所以商的最大值為6；故答案為：6（4）解：取出6，3,5，則乘積的最大值為．故答案為：90；（5）解：，．故答案為：，．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減乘除以及混合運算，熟知有理數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·陜西延安·七年級?？茧A段練習）樂樂有5張寫著以下數(shù)字的卡片．請你按要求抽出卡片，解決下列問題．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相乘的積最大，求出最大值；(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，求出最小值；(3)從中取出4張卡片．用學過的運算方法，使計算結(jié)果為24，請寫出一種符合要求的運算式子．（注：每個數(shù)字只能用一次）【答案】(1)15(2)(3)見解析【分析】（1）找出兩張卡片，使其積最大即可；（2）找出兩張卡片，使其商最小即可；（3）找出四張卡片，利用24點游戲規(guī)律列出算式即可．【詳解】（1）解：抽取的2張卡片是、，乘積的最大值為15．（2）抽取的2張卡片是、1，商的最小值．（3）抽取的4張卡片是、1、3、4，算式為或（答案不唯一）．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江·七年級專題練習）點游戲是一種撲克牌類的益智類游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉大小王）中任意抽取張牌，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算（每張牌必須用且只能用一次，可以加括號），使得運算結(jié)果為或．例如：抽到的數(shù)字為“，，，”，則