陜西省富平縣2025屆高二數(shù)學第一學期期末檢測試題含解析

陜西省富平縣2025屆高二數(shù)學第一學期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，過作軸的平行線交橢圓于、兩點，為坐標原點，雙曲線的虛軸長為，且以、為頂點，以直線、為漸近線，則橢圓的短軸長為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.43．已知一組數(shù)據(jù)為：2，4，6，8，這4個數(shù)的方差為（）A.4 B.5C.6 D.74．設，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且5．若拋物線的焦點與橢圓的下焦點重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.6．已知為坐標原點，向量，點，.若點在直線上，且，則點的坐標為（）.A. B.C. D.7．設函數(shù)若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．函數(shù)在上是單調遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.69．若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．拋物線的焦點坐標是A. B.C. D.11．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.12．已知是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，則（）A1011 B.2020C.2021 D.2022二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，直線l過點F與拋物線C交于A，B兩點，以F為圓心的圓交線段AB于C，D兩點（從上到下依次為A，C，D，B），若，則該圓的半徑r的取值范圍是____________.14．展開式中，各項系數(shù)之和為1，則實數(shù)_______．（用數(shù)字填寫答案）15．某校共有學生480人；現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取80人進行體能測試；若這80人中有30人是男生，則該校女生共有___________.16．已知圓錐的高為，體積為，則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，是的一個極值點.（1）求b的值；（2）當時，求函數(shù)的最大值.18．（12分）如圖，P為圓上一動點，點A坐標為，線段AP的垂直平分線交直線BP于點Q（1）求點Q的軌跡E的方程；（2）過點A的直線l交E于C，D兩點，若△BCD內切圓的半徑為，求直線l的方程.19．（12分）求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）.20．（12分）已知雙曲線：的兩條漸近線所成的銳角為且點是上一點（1）求雙曲線的標準方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，點能否為線段的中點？并說明理由21．（12分）數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應抽取多少戶？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】不妨取點在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質，以及它們之間的聯(lián)系，可得點的坐標，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線中，有，，即，雙曲線的漸近線方程為，不妨取點在第一象限，則的坐標為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長為故選：2、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.3、B【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由平均數(shù)的計算公式，可得，所以這4個數(shù)的方差為故選：B.4、C【解析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.5、D【解析】求出橢圓的下焦點，即拋物線的焦點，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點為，即為拋物線焦點，∴，∴.故選：D.6、A【解析】由在直線上，設，再利用向量垂直，可得，進而可求E點坐標.【詳解】因為在直線上，故存在實數(shù)使得，.若，則，所以，解得，因此點的坐標為.故選：A.【定睛】本題考查了空間向量的共線和數(shù)量積運算，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.7、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得結果.【詳解】解：設，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數(shù)有兩個零點，實數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點，以及數(shù)形結合思想的應用，屬于難題.數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質8、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B9、C【解析】根據(jù)極值點的意義,可知函數(shù)的導函數(shù)在上有且僅有一個零點.結合零點存在定理,即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)則因為函數(shù)在上有且僅有一個極值點即在上有且僅有一個零點根據(jù)函數(shù)零點存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)極值點的意義,函數(shù)零點存在定理的應用,屬于中檔題.10、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標為可知，拋物線即的焦點坐標為，故選D.考點：拋物線的標準方程及其幾何性質.11、B【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.12、C【解析】結合向量坐標運算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設，因為是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，所以，準線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設出直線的方程為，代入拋物線方程，消去，可得關于的二次方程，運用韋達定理及拋物線的定義，化簡計算可求解.【詳解】拋物線C：y2=8x的焦點為,設以為圓心的圓的半徑為，可知，，設，直線的方程為，則，代入拋物線方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案為：14、【解析】通過給二項式中的賦值1求出展開式的各項系數(shù)和，即可求出詳解】解：令，得各項系數(shù)之和為，解得故答案為：15、人##300【解析】根據(jù)人數(shù)占比直接計算即可.【詳解】該校女生共有人.故答案為：人.16、【解析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑，利用勾股定理可得母線長；根據(jù)球的表面積公式可求得結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐體積，，，以為半徑的球的表面積.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）先求出導函數(shù)，再根據(jù)x=2是的一個極值點對應x=2是導數(shù)為0的根即可求b的值；（2）根據(jù)（1）的結論求出函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點值的大小從而確定出最大值.【小問1詳解】由題設，.∵x=2是的一個極值點，∴x=2是的一個根，代入解得：.經檢驗，滿足題意.【小問2詳解】由（1）知：，則.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+遞減遞增∵當x∈(1,2)時，即在(1,2)上單調遞減；當x∈(2,3)時，即在(2,3)上單調遞增.∴當x∈[1,3]時，函數(shù)的最大值為與中的較大者.∴函數(shù)的最大值為.18、（1）（2）【解析】（1）連接，由，利用橢圓的定義求解；（2）設點，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結合韋達定理，利用等面積法求解.【小問1詳解】解：連接，由題意知：，，即的軌跡為橢圓，其中，，，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】設點，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，消去整理得，顯然成立，故，，由橢圓定義得的周長為，則的面積，又由，得，從而得，即，整理得，解得，故，故直線的方程為.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導數(shù)的加法運算法則，結合常見函數(shù)的導數(shù)進行求解即可；（2）根據(jù)導數(shù)的加法和乘法的運算法則，結合常見函數(shù)的導數(shù)進行求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】.20、（1）；（2）點不能為線段的中點，理由見解析.【解析】（1）由漸近線夾角求得一個斜率，再代入點的坐標，然后可解得得雙曲線方程；（2）設直線方程為（斜率不存在時另說明），與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應用韋達定理，結合中點坐標公式求得，然后難驗證直線與雙曲線是否相交即可得【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線的漸近線的傾斜角為30°或60°，即或當時，的標準方程為，代入，無解當時，的標準方程為，代入，解得故的標準方程為（2）不能是線段的中點設交點，，當直線的斜率不存在時，直線與雙曲線只有一個交點，不符合題意.當直線的斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，將代入判別式，所以滿足題意的直線也不存在所以點不能為線段的中點21、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和中，準確計算是解答的一個難點.22、（1）；（2），；（3）【解析】（1）由直方圖的性質可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點可得，可得中位數(shù)在[220，240）內，設中位數(shù)為a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用戶分別為25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)試題解析：(1)由直方圖的性質可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230.-------------5分因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內，設中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a