第3單元01講（原卷版）

第三單元一元一次方程考點1一元一次方程的相關概念1．等式：用號表示相等關系的式子．2．方程：含有數(shù)的等式叫做方程．3．一元一次方程：只含有個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是，等式的兩邊都是式，這樣的方程叫做一元一次方程．一元一次方程標準形式：（x為未知數(shù)，a、b是常數(shù)且）4．方程的解：使方程左右兩邊的值的未知數(shù)的值叫做方程的解．5．解方程：求方程的過程叫做解方程．考點2等式的性質1．等式的性質1：等式兩邊都加（或減）同一個數(shù)（或式子），結果仍．表示為：如果，則2．等式的性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個的數(shù)，結果仍相等．表示為：如果，那么如果，那么=考點3解一元一次方程1．基本概念（1）合并同類項：把若干能合并的式子的系數(shù)相，且字母和字母的指數(shù)不變，起到化簡的作用．（2）移項：把等式一邊的某項后移到另一邊．（依據(jù)：等式的性質1）（3）去括號：括號前負號時，去掉括號時里面各項應號．（4）去分母：在方程的兩邊都乘以各自分母的．2．解一元一次方程的基本步驟步驟具體做法依據(jù)注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)等式性質2不要漏乘不含分母的項，注意給分子填括號去括號一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號分配律，去括號法則不要漏乘括號中的每一項移項把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其他項都移到方程另一邊，注意移項要變號等式性質11.移動的項一定要變號，不移的項不變號2.注意項較多時不要漏項合并同類項把方程變?yōu)榈淖詈喰问胶喜⑼愴椃▌t1.把系數(shù)相加2.字母和字母的指數(shù)不變系數(shù)化為1將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得解等式性質2解的分子，分母位置不要顛倒考點4解特殊的一元一次方程1．含絕對值的一元一次方程（1）策略：解此類方程關鍵要把絕對值化去，使之成為一般的一元一次方程，化去絕對值的依據(jù)是絕對值的性質．（2）方法：此類問題一般先把方程化為的形式，再分類討論：（1）當時，無解；（2）當時，原方程化為：；（3）當時，原方程可化：或．2．含字母的一元一次方程此類方程一般先化為最簡形式，再分三種情況分類討論：（1）當時，；（2）當時，為任意有理數(shù)；（3）當時，方程無解．考點5實際問題與一元一次方程1．用方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系；設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù)；列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程；解：求解方程；驗：考慮求出的解是否具有實際意義；答：實際問題的答案．2．常見利用方程解決實際問題等量關系：（1）銷售中盈虧問題：①成本價：俗稱進價，是商家進貨時的價格；②標價：商家出售時標注的價格；③打折：打折就是以標價為基礎，按一定比例降價出售．如：打9折，就是按標價的90℅出售．④利潤=售價－進價，利潤>0時盈利，利潤<0時虧損．⑤利潤率=利潤/成本×100%=(售價成本)/成本×100%．（2）順逆流問題：船在順水中的速度=船在靜水中的速度+水流速度船在逆水中速度=船在靜水中的速度水流速度船順水行程=船逆水的行程水流速度=（順水速度逆水速度）÷2（3）數(shù)字問題：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，那么這個數(shù)可表示為一個三位數(shù)，百位數(shù)字是,十位數(shù)字是，個位數(shù)字是z，那么這個數(shù)可表示為（4）工程、效率問題：工程問題中要善于把握什么是總工作量，總工作量可以看成“1”；工程問題中的等量關系一般是各部分完成的工作量之和等于總工作量“1”．工作量=工作時間×工作效率（5）球賽積分問題：比賽總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù)比賽總積分=勝場積分+負場積分+平場積分（6）行程問題：路程=速度*時間相遇問題：甲路程+乙路程=兩地距離追及問題：快者的行程慢者的行程=初始距離（7）鐘表問題：整個鐘面為360度，上面有12個大格，每個大格為30度；60個小格，每個小格為6度．分針速度：每分鐘走1小格，每分鐘走6度時針速度：每分鐘走小格，每分鐘走0.5度等式的基本性質等式的基本性質等式的基本性質1等式的基本性質2簡易表述同加減，仍相等同乘除，也相等，條件為數(shù)或式子為數(shù)或式子，作除時【例題】1.下列變形符合等式性質的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么2.下列變形正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.假設“▲、●、■”分別表示三種不同的物體．如圖，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放______個■．4利用等式性質解方程：（1）；（2）；（3）．【練經(jīng)典】5.已知，下列等式不一定成立的是（）A. B. C. D.6.下面的變形正確的是（）A.由，得 B.由，得C.由，得 D.由，得7.如圖1，在第一個天平上，物塊A的質量等于物塊B加上物塊C的質量；如圖2，在第二個天平上，物塊A加上物塊B的質量等于3個物塊C的質量．已知物塊A的質量為．請你判斷：1個物塊B的質量是___．8.利用等式的性質解下列方程.(1)y+3=2；(2)y2=3；(3)9x=8x6；(4)8m=4m+1【練易錯】易錯點：忽略字母取值零導致錯誤9.下列關于等式基本性質的表述中錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則解一元一次方程1．解一元一次方程的基本步驟變形名稱具體做法注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（1）不要漏乘不含分母的項（2）分子是一個整體的，去分母后應加上括號去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號（1）不要漏乘括號里的項（2）不要弄錯符號移項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊(記住移項要變號)（1）移項要變號（2）不要丟項合并同類項把方程化成的形式字母及其指數(shù)不變系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解．不要把分子、分母寫顛倒2．一元一次方程的解的情況方程的解的情況方程的條件有唯一的解有無數(shù)個解無解【例題】10.方程的解為（）A. B. C.或 D.無解11.方程去分母后，所得結果正確的是（）A. B.C. D.12.如果關于x的方程無解，那么m的取值范圍是（）A. B. C. D.13.解方程（1）（2）（3）（4）【練經(jīng)典】14.解方程時，去分母正確的是（）A. B.C. D.15.將方程中分母化為整數(shù)，正確的是（）A. B.C. D.16.已知關于x的一元一次方程的解為，那么關于x的一元一次方程的解為（）A.2013 B.－2013 C.2023 D.－202317.解方程（1）（2）（3）【練易錯】易錯點1：去分母時漏乘導致錯誤18.解方程：一元一次方程的解的運用類型策略知解求參型把方程的解代入方程，求出參數(shù)整數(shù)解型先解含參方程，再利用整除的性質求解解的關系型先解含參方程，利用解的關系建立參數(shù)的方程，解方程求出參數(shù)錯解型錯解代入錯方程，正解代入正方程新定義型按新定義列出方程再解方程遮擋型把遮擋部分作為參數(shù)，轉化為知解求參型程序圖型把輸入作為未知數(shù)，按程序設計建立方程，解方程，如果程序是循環(huán)的，需要多次建立方程求解【例題】19.若是方程解，則的值為（）A. B. C. D.20.若關于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整數(shù)，則k的整數(shù)值有（）個．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個21.王涵同學在解關于x的方程7a＋x＝18時，誤將＋x看作－x，得方程的解為x＝－4，那么原方程的解為（）A.x＝4 B.x＝2 C.x＝0 D.x＝－222.定義:“*”運算為“”，若，則的值為()A.1 B. C. D.223.關于的方程的兩個實數(shù)根為，，若，，滿足和，則方程的根是（）A.0 B.1， C.2， D.無法確定24.小強在解方程時，不小心把一個數(shù)字用墨水污染成了x=1﹣，他翻閱了答案知道這個方程的解為x=1，于是他判斷●應該是_______．【練經(jīng)典】25.如果是關于的方程的解，那么等于（）A. B.3 C. D.526.按下面的程序計算：當輸入時，輸出結果是；當輸入時，輸出結果是；如果輸入的值是正整數(shù)，輸出結果是，那么滿足條件的的值最多有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個27.已知關于x的方程2mx6=(m+2)x有正整數(shù)解，則整數(shù)m的值是___________．28.小明在解方程是未知數(shù)時，誤將看成了，得到的解為，請聰明的你幫小明算一算，方程正確的解為（）A. B. C. D.29.對于任意有理數(shù)、，規(guī)定一種新運算“”，使，例如：．，則的值為（）A. B.3 C. D.130.方程，▲處被墨水蓋住了，已知方程的解是，那么▲處的數(shù)字是__．列方程解應用題1．常用分析法（1）直譯法：找出關鍵詞→把關鍵詞翻譯為數(shù)學符號→寫出等量關系；（2）模型法：找出試題所屬類型→根據(jù)類型的量得出等量關系→寫出等量關系；2．常見模型行程問題，工程問題，營銷問題，調配問題，配套問題，數(shù)字問題，和差積商問題，古代問題【例題】31.在矩形ABCD中放入六個長、寬都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，求小長方形的寬AE．若AE＝x（cm），依題意可得方程（）A. B.6+2x＝14﹣xC.14﹣3x＝6 D.6+2x＝x+（14﹣3x）32.了豐富學生課后服務活動，某校七年級開展了籃球興趣班和足球興趣班，現(xiàn)需要給每名興趣班同學分別購買一個籃球或一個足球，籃球每個100元，足球每個80元，結合圖中兩個學生的一段對話，求兩個興趣班各有多少人？33.為了全面貫徹黨的教育方針，培養(yǎng)學生勞動技能，學校組織七年級學生乘車前往某社會實踐基地進行勞動實踐活動．若單獨調配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調配22座新能源客車，則用車數(shù)量增加4輛，并空出2個座位．問：計劃調配36座的新能源客車多少輛？該校七年級共有多少名學生？34.甲、乙兩人從A，B兩地同時出發(fā)，沿同一條路線相向勻速行駛，已知出發(fā)后經(jīng)3小時兩人相遇，相遇時乙比甲多行駛了60千米，相遇后再經(jīng)1小時乙到達A地．（1）甲，乙兩人的速度分別是多少？（2）兩人從A，B兩地同時出發(fā)后，經(jīng)過多少時間后兩人第一次相距20千米？35.一項工程，甲隊單獨完成需要40天，乙隊單獨完成需要50天，現(xiàn)甲隊單獨做4天后兩隊合作．（1）求甲、乙兩隊合作多少天才能完成該工程．（2）在（1）的條件下，甲隊每天的施工費為3000元，乙隊每天的施工費為3500元，求完成此項工程需付給甲乙兩隊共多少元．36.列方程解應用題歐尚超市恰好用6000元購進甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的與少10件，甲、乙兩種商品的進價和售價如表；（注：每件商品獲利＝售價﹣進價）．甲乙進價（元/件）2030售價（元/件）2540（1）該商場購進甲、乙兩種商品各多少件？（2）該超市將購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？37.工業(yè)園區(qū)某機械廠的一個車間主要負責生產(chǎn)螺絲和螺母，該車間有工人44人，其中女生人數(shù)比男生人數(shù)的2倍少10人．每個工人平均每天可以生產(chǎn)螺絲50個或螺母120個．（1）該車間有男生、女生各多少人？（2）已知一個螺絲與兩個螺母配套，為了使每天生產(chǎn)的螺絲螺母恰好配套，應該分配多少工人負責生產(chǎn)螺絲．38.如圖是2022年11月的日歷，用一個方框在日歷中任意框出4個代表日期的數(shù)abcd（1）______；（2）設．①若，求a的值；②S的值能否為36？請說明理由．39.為慶祝元旦活動，某中學組織大合唱比賽，甲、乙兩個班級共92人（其中甲班51人以上，不足55人）準備統(tǒng)一購買服裝參加演出，下面是某服裝廠給出的演出服裝的價格表為：購買服裝的套數(shù)1套至50套51套至90套91套及以上每套服裝的價格50元40元30元（1）甲、乙兩個班級共92人合起來統(tǒng)一購買服裝共需付款____________元；（2）如果兩個班級分別單獨購買服裝一共應付4080元，甲、乙兩個班級各有多少學生準備參加演出?（3）如果甲班有8名同學抽調去參加書法繪畫比賽不能參加演出，請你為兩個班級設計一種最省錢的購買服裝方案．40.為增強居民節(jié)約用水意識，某市從2022年1月開始對供水范圍內的居民用水實行“階梯收費”，具體收費標準如下表：一戶居民一個月用水量記為立方米水費單價（單位：元/立方米）超出22立方米不超出28立方米的部分超出28立方米的部分該市某戶居民2022年四月份用水10立方米時，繳納水費24元．（1）求的值；（2）若該戶居民2022年五月份所繳水費為69元，求該戶居民五月份的用水量．【練經(jīng)典】41.袁隆平，“共和國勛章”獲得者，中國工程院院士，“中國雜交水稻之父”，一生致力于對水稻的研究，現(xiàn)有A、B兩塊試驗田各30畝，A塊試驗田種植普通水稻，B塊試驗田種植雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的2倍，兩塊試驗田單次共收獲水稻43200千克，求雜交水稻的畝產(chǎn)量是多少千克？42.小彬和小強每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4m，小強每秒跑6m.（1）如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇?（2）如果小強站在百米跑道的起點處，小彬站在他前面10m處，兩人同時同向起跑，幾秒后小強能追上小彬？43.某市有甲、乙兩個工程隊，現(xiàn)有一小區(qū)需要進行小區(qū)改造，甲工程隊單獨完成這項工需要20天，乙工程隊單獨完成這項工程所需的時間比甲工程隊多10天．（1）現(xiàn)在若甲工程隊先做5天，剩余部分再由甲、乙兩工程隊合作，還需要多少天才能完成？（2）已知甲工程隊每天施工費用為4000元，乙工程隊每天施工費用為2000元，若該工程總費用政府撥款70000元（全部用完），則甲、乙兩個工程隊各需要施工多少天？44.某社區(qū)超市第一次用元購進甲，乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的倍多件，甲、乙兩種商品的進價和售價如下表：甲乙進價（元/件）售價（元/件）（注：獲利＝售價－進價）（1）該超市第一次購進甲、乙兩種商品各多少件？（2）該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？（3）該超市第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次的總利潤多元，求第二次乙商品是按原價打幾折銷售？45.某班手工興趣小組的同學們計劃制作一批中國結送給敬老院作為新年禮物．如果每人制作9個，那么就比計劃少做17個；如果每人制作12個，那么就比計劃多做4個．這個手工興趣小組共有多少人？計劃要做的這批中國結有多少個？46.某工廠要制作一批糖果盒，已知該工廠共有88名工人，其中女工人數(shù)比男工人數(shù)的2倍少20人，并且每個工人平均每小時可以制作盒身50個或盒底120個．（1）該工廠有男工、女工各多少人？（2）該工廠原計劃男工負責制作盒身，女工負責制作盒底，要求一個盒身配兩個盒底，那么調多少名女工幫男工制作盒身時，才能使每小時制作的盒身與盒底恰好配套？47.如圖是2022年2月的日歷表：（1）在圖中用優(yōu)美的“”U形框框住五個數(shù)，其中最小的數(shù)為1，則U形框中的五個數(shù)字之和為；（2）在圖中將U形框上下左右移動，框住日歷表中的5個數(shù)字，設最小的數(shù)字為x，用代數(shù)式表示U形框框住的五個數(shù)字之和為；（3）在圖中移動U形框的位置，框住的五個數(shù)字之和可以為63嗎？若能，求出這五個數(shù)字中最小的數(shù)；若不能，請說明理由．48.2021年“雙十一”期間，很多國貨品牌受到人們的青睞，銷量大幅增長．某平臺的體育用品旗艦店實行優(yōu)惠銷售，規(guī)定如下：對原價元/件的某款運動速干衣和元/雙的某款運動棉襪開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案A：買一件運動速干衣送一雙運動棉襪；方案B：運動速干衣和運動棉襪均按9折付款．某戶外俱樂部準備購買運動速干衣件，運動棉襪x雙．（1）若該戶外俱樂部按方案A購買，需付款元（用含x的式子表示）；若該戶外俱樂部按方案B購買，需付款元（用含x的式子表示）；（2）若，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算；（3）當購買運動棉襪多少雙時兩種方案付款相同．49.某省公布的居民用電階梯電價聽證方案如下：項目第一檔第二檔第三檔用電量（度）210度以下210至350350度以上價格（元）0.52比第一檔提價0.05元比第一檔提價0.3元例：若某戶月用電量400度，則需交電費為210×0.52＋(350－210)×(0.52＋0.05)＋(400－350)×(0.52＋0.30)＝230(元)．(1)如果按此方案計算，小華家5月份的電費為138.84元，請你求出小華家5月份的用電量；(2)以此方案請你回答：若小華家某月的電費為a元，則小華家該月用電量屬于第幾檔？50.用8個形狀和大小都相同的小長方形，恰好可以拼成如圖1所示的大長方形；若用這8個小長方形拼成如圖2所示的正方形，則中間留下一個空的小正方形（陰影部分）．設小長方形的長和寬分別為和（）．（1）由圖1，可知，滿足的等量關系是______；（2）若圖2中小正方形的邊長為2，求小長方形的面積．新考法【新定義小練】51.對于有理數(shù)a，b，定義運算“★”；，例如：．所以，若，則x的值為______．52.定義：若兩個有理數(shù)的和等于這兩個有理數(shù)的積，則稱這兩個數(shù)是一對“友好數(shù)”．如：有理數(shù)與4，因為，所以與4是一對“友好數(shù)”．設（或）的“友好數(shù)”為；的倒數(shù)為；的“友好數(shù)”為；的倒數(shù)為；……依次按如上的操作，得到一組數(shù)：，，，，…，．當時，的值為__________．53.定義一種新運算“※”：．例如，．（1）計算：的值為___________；（2）已知，求的值；54.定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．（1）請