專題01 特殊的平行四邊形中的最值模型-將軍飲馬模型（解析版）

專題01特殊的平行四邊形中的最值模型--將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對稱衍生而來，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)。例1．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為6，點(diǎn)在上，，點(diǎn)是對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，，根據(jù)正方形的對稱性可得，進(jìn)而可知，再利用，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，將轉(zhuǎn)化為，最后運(yùn)用勾股定理即可解答．【詳解】如圖，連接，，、關(guān)于對稱，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的值最小，，，由勾股定理得：，即的最小值為，故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用軸對稱解決最短路徑問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，明確當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對稱，，∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，點(diǎn)，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長．例3．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（

）

A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，根據(jù)條件求出的長度，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即可求出答案．【詳解】解：作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，

，，沿直線翻折得到，，，，，，四邊形為矩形，，在中，，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，的最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解答的關(guān)鍵是作出輔助線．例4．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的邊長為3，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值是______．

【答案】【分析】作交的延長線于點(diǎn)H，連接CF并延長，連接，首先證明出，進(jìn)而得到，，然后得到是等腰直角三角形，得到點(diǎn)F在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)G，然后得到當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，有最小值，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示，作交的延長線于點(diǎn)H，連接CF并延長，連接，

∵將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∵正方形的邊長為3，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴點(diǎn)F在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，作點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)G，∵點(diǎn)F在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)G在的延長線上，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，有最小值，∵點(diǎn)D和點(diǎn)G關(guān)于對稱，∴，∴，∴在中，．∴的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對稱求最短路徑．能夠?qū)⒕€段的和通過軸對稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）如圖所示，正方形的邊長為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上移動(dòng)，則周長的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)P，可得，，根據(jù)勾股定理求出，可得周長，即可求解．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)P，如圖所示，

∵E關(guān)于的對稱點(diǎn)為，∴，，∵正方形的邊長為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵周長，又∵，∴周長，∴周長最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)．變式2．（2023春·成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，，，E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，M為EF中點(diǎn)，P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】11【分析】作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)G，連接PG、GD、BM、GB，則當(dāng)點(diǎn)P、M在線段BG上時(shí)，GP+PM+BM最小，從而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的長，從而求得最小值．【詳解】如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)G，連接PG、GD、BM、GB由對稱的性質(zhì)得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM則當(dāng)點(diǎn)P、M在線段BG上時(shí)，CP+PM最小，且最小值為線段BG－BM∵四邊形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°

∴CG=2CD=12∵M(jìn)為線段EF的中點(diǎn)，且EF=4∴在Rt△BCG中，由勾股定理得：∴GM=BG－BM=13－2=11即CP+PM的最小值為11．【點(diǎn)睛】本題是求兩條線段和的最小值問題，考查了矩形性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間線段最短，勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，關(guān)鍵是作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)及連接BM，GP+PM+BM的最小值轉(zhuǎn)化為線段CP+PM的最小值．變式3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為______．【答案】【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，菱形的邊長為2，，中，PQ+QC的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題關(guān)鍵．模型2.平移型將軍飲馬（將軍過橋模型）【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，中，，，，，；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，，那么的最小值為______．

【答案】【分析】過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，連接．易求出，，．易證四邊形為平行四邊形，得出，即說明當(dāng)最小時(shí)，最小．由當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，最?。Y(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，連接．

∵中，，，∴，∴，∴，．∵，，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．同理可得出．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形，

∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小．∵當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∴此時(shí)最小，如圖，

∵，∴．∵∴四邊形為平行四邊形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．正確作出輔助線，理解當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小是解題關(guān)鍵．例2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，推出四邊形是平行四邊形，得到，于是得到的最小值的最小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點(diǎn)在過點(diǎn)A且平行于的定直線上，作點(diǎn)D關(guān)于定直線的對稱點(diǎn)E，連接交定直線于，則的長度即為的最小值，求得，得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接，∵在邊長為2的菱形中，，∴，∵將沿射線的方向平移，得到，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴的最小值的最小值，∵點(diǎn)在過點(diǎn)A且平行于的定直線上，∴作點(diǎn)D關(guān)于定直線的對稱點(diǎn)E，連接交定直線于，則的長度即為的最小值，在中，，∴，∴，∴，∵∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，平移的性質(zhì)，求得的最小值的最小值，是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·重慶中考模擬）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．變式1．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對角線，的長分別為，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為______．【答案】【分析】連接與交于點(diǎn)，延長到，使得，連接，證明，，得，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，由勾股定理求得便可．【詳解】解：如圖所示，連接與交于點(diǎn)，延長到，使得，連接，四邊形是菱形，，，由平移性質(zhì)知，，，，，，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，的最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【答案】A【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時(shí)AM+BN＝AB′．【詳解】解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．變式3．（2023秋·河南南陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在邊長為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．【答案】【分析】將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，證出四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移圖形的性質(zhì)，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，當(dāng)點(diǎn)C′、E、D在同一直線時(shí)，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即為EC+GC的最小值．【詳解】如圖，將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作圖易得，點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于AE對稱，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，當(dāng)點(diǎn)C′、E、D在同一直線時(shí)，C′E+ED最小，此時(shí)，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=，即EC+GC的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、圖形的對稱性、線段最短和平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為同一條線段求解．模型3.修橋選址模型（將軍遛馬模型）【模型解讀】已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，過A點(diǎn)作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為____________．【答案】【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點(diǎn)，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定GE+CF最小時(shí)E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．例2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，菱形的邊在軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，線段軸，且點(diǎn)坐標(biāo)為，若菱形沿軸左右運(yùn)動(dòng)，連接、，則運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形周長的最小值是________．【答案】13+【分析】由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形周長的最小，AE＋DF的和應(yīng)是最小的，運(yùn)用“將軍飲馬”模型，根據(jù)點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為O，過點(diǎn)A作AF1∥DF，當(dāng)O，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，再求四邊形周長的最小值．【詳解】∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴OC＝4，OD＝3，∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四邊形是菱形，∴AD＝CD＝5，∵坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，線段軸，∴EF＝8，連接OA，過點(diǎn)A作AF1∥DF交EF于點(diǎn)F1，則四邊形ADFF1是平行四邊形，F(xiàn)F1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，∵點(diǎn)E，O關(guān)于AD對稱，∴OA=AE，當(dāng)O，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四邊形周長的最小值：AD＋EF＋AE＋DF＝AD＋EF＋OF1＝5＋8＋＝13+．【點(diǎn)睛】本題考查菱形，勾股定理，平移，軸對稱，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平移圖形全等性，軸對稱性質(zhì)．變式1．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·黑龍江牡丹江·?？寄M預(yù)測）如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運(yùn)動(dòng)，且．連接，．則周長的最小值是______．【答案】/【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作，且點(diǎn)在上方，，連接交于點(diǎn)，取，連接，．由軸對稱的性質(zhì)可得出的周長，此時(shí)最小，再結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作，且點(diǎn)在上方，，連接交于點(diǎn)，取，連接，．，．，，∴四邊形為平行四邊形，．，，三點(diǎn)共線，此時(shí)的周長最?。?，，即，，周長的最小值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱—最短路線問題，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．熟練運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是________．

【答案】【分析】由可知為定長，在、間滑動(dòng)，故由造橋選址模型進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離加上定長，再利用特殊角構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理求出兩點(diǎn)間距離．【詳解】作交于點(diǎn)E，在取，連接，延長至點(diǎn)，使，連接，作于點(diǎn)，如下圖：

，，為等邊三角形，，，，四邊形為平行四邊形，同理得四邊形與四邊形為平行四邊形，，，，，中，，中，，的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查平移類最短路徑，為造橋選址模型，即沿一個(gè)方向平移的定長線段兩端到兩個(gè)定點(diǎn)距離和最小，解題時(shí)需要理清楚是否含有定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長度時(shí)若有特殊角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解的方法．模型4.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·江蘇連云港·?？既＃┤鐖D，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．【答案】15+10【分析】將△AEB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DF'M，連接CM、FM、FF'，如圖2，此時(shí)EH、EF、FM共線，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，相加即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，將△AEB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DF'M，連接CM、FF'，由旋轉(zhuǎn)得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等邊三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等邊三角形，DF=FF'，F(xiàn)C=F'M，∴當(dāng)H、G、E、F、F'、M在同一條直線上時(shí)，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如圖2，∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分線，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB=10，∴△ABH的高為5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案為：（15+10）．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和最短路徑問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，確定最小值時(shí)點(diǎn)E和F的位置是本題的關(guān)鍵，利用全等、勾股定理求其邊長，從而得出結(jié)論．例2．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動(dòng)線段，且，則的最小值為________．

【答案】【分析】在上取一點(diǎn)，使得，連接，如圖所示，首先證明，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)作交的延長線于，證明，求出可得結(jié)論．【詳解】解：在上取一點(diǎn)，使得，連接，如圖所示：

，，四邊形是平行四邊形，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)作交的延長線于，如圖所示：，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)變換，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．變式1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，則四邊形的周長為______．

【答案】【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，由垂線段最短即時(shí)，取得最小值，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，與交于點(diǎn)，

，，四邊形是平行四邊形．當(dāng)時(shí)，取得最小值，四邊形是平行四邊形，，，，，是等腰直角三角形．，，，，，，四邊形的周長為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂線段最短，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5【答案】A【分析】由矩形的性質(zhì)與線段的等量關(guān)系證明，，則，，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，即四邊形周長最小，作于，則四邊形是矩形，，，則，，在中，由勾股定理得求出的值，進(jìn)而可求最小的周長．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，即四邊形周長最小，作于，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四邊形的周長，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，軸對稱等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于找出四邊形周長最小時(shí)點(diǎn)、的位置關(guān)系．模型5.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：延長AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，，對角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最大值為________．

【答案】【分析】作的對稱點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得到，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：作的對稱點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為；

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，三角形的三邊關(guān)系，掌握等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，且，點(diǎn)Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．【答案】【分析】①連接并延長交于點(diǎn)Q，則這個(gè)點(diǎn)Q滿足使的值最大，最大值為的長度，證明四邊形是矩形可得，，，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；②過點(diǎn)O作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，的值最小，的最小值為的長度，延長交于點(diǎn)G，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，再根據(jù)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，可得，從而求得，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①連接并延長交于點(diǎn)Q，則這個(gè)點(diǎn)Q滿足使的值最大，最大值為的長度，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，過點(diǎn)P作于點(diǎn)P，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴；②過點(diǎn)O作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，的值最小，的最小值為的長度，延長交于點(diǎn)G，∵，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，，∴，∴的最小值為：，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及軸對稱?最短路徑，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為____．【答案】6【分析】作A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于P，則點(diǎn)P就是使|PA-PB|的值最大的點(diǎn)，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據(jù)角的和差關(guān)系得到∠ACD=75°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，作A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接并延長交延長線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是使的值最大的點(diǎn)，，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對稱，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·湖北黃岡·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且，點(diǎn)G為直線上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值是___________．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作于H點(diǎn)．解直角三角形求出，根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作于H點(diǎn)．

∵四邊形是菱形，，，∴，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形是菱形，，且，，∴點(diǎn)E與點(diǎn)關(guān)于對稱，∴，∵，，∴，，∴，∴在中，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)F、G、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃虇栴}，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對稱解決最值問題，屬于中考?？碱}型．變式2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形中，，，，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為，則的最大值為______．【答案】5【分析】過點(diǎn)P作于H．過點(diǎn)P作直線，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接交直線l于，此時(shí)的值最大，即的值最大，最大值為線段的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于．，，，過點(diǎn)作直線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交直線于，此時(shí)的值最大，即的值最大，最大值為線段的長，過點(diǎn)作于．，四邊形是矩形，，，，，，的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)三角形的面積，直角梯形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對稱解決最值問題．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)P是菱形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】在上取一點(diǎn)E，使得，作，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)H，交于G，連接交于P，連接，此時(shí)，的值最小．在和中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)E，使得，作，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)H，交于G，連接交于P，連接，此時(shí)，的值最?。淖钚≈?，∵四邊形是菱形，，∴，，∴，則，∵，∴，∴，在中，，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃虇栴}，三角形的面積，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對稱解決最短問題．2．（2023春·福建廈門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】取BC的中點(diǎn)G，連接AG．首先證明∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接GF，證FG⊥BC，則FG的長即為PB+PQ的最小值．【詳解】解：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接GF，

交AC于點(diǎn)P，由對稱可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí)，PB+PQ=PF+PG=FG，F(xiàn)G的長即為PB+PQ的最小值，∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，∴BP+PQ的最小值為2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)P，Q的位置是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，再連接，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段的長度即可．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，連接，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作交AB于點(diǎn)F，∵A與關(guān)于BC對稱，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，O，E在同一條線上的時(shí)候和最小，如圖所示，此時(shí)，∵正方形，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，∴，∵對稱，∴，∴，在中，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線段長度是解題關(guān)鍵。4．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵∴F是BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．則AF＝AB?sin60°＝2．即的最小值是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定AF的長就是的最小值是關(guān)鍵．5．（2022·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5【答案】A【分析】由矩形的性質(zhì)與線段的等量關(guān)系證明，，則，，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，即四邊形周長最小，作于，則四邊形是矩形，，，則，，在中，由勾股定理得求出的值，進(jìn)而可求最小的周長．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，即四邊形周長最小，作于，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四邊形的周長，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，軸對稱等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于找出四邊形周長最小時(shí)點(diǎn)、的位置關(guān)系．6．（2022·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】連接AE，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)H，連接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性質(zhì)可證明四邊形CDEG為平行四邊形，即得出，從而可得出，即CH的長為的最小值．最后根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求出CH的長即可．【詳解】如圖，連接AE，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)H，連接DE，DH，EH，AH，CH．由平移的性質(zhì)可知，．∵四邊形ABCD為菱形，∴，，，∴，，∴四邊形CDEG為平行四邊形，∴．由軸對稱的性質(zhì)可知，，，∴，∴，即CH的長為的最小值．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，即為頂角是120°，底角為30°的等腰三角形，結(jié)合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱變換，含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，為選擇題中的壓軸題．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對角線AC和邊AD上，連接DE，EF，若AC=4，BD=2，則DE，EF之和的最小值為______．【答案】/【分析】如圖所示：在AB上取點(diǎn)F′，使AF′=AF，過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H．因?yàn)镋F+DE=EF′+DE，推出當(dāng)D、E、F′共線，且點(diǎn)F′與H重合時(shí)，F(xiàn)E+DE的值最?。驹斀狻拷猓骸吡庑蜛BCD中，AC=4，BD=2，∴AO=OC=2，BO=OD=1，∴AD=AB=，如圖所示：在AB上取點(diǎn)F′，使AF′=AF，過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H．∵S△ABD=?AO?BD=?AB?DH，∴DH=，∵EF+DE=EF′+DE，∴當(dāng)D、E、F′共線，且點(diǎn)F′與H重合時(shí)，F(xiàn)E+DE的值最小，最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)利用對稱解決最短問題．8．（2022·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形EFGH，連接AH，CG．若，，，則的最小值為______．【答案】【分析】延長DA到點(diǎn)O，使AO=HE=4，連接OC，可證得四邊形AOEH是平行四邊形，OE=AH，可得當(dāng)點(diǎn)E、點(diǎn)G在OC上時(shí)，最小，即最小，再根據(jù)勾股定理即可求得．【詳解】解：如圖：延長DA到點(diǎn)O，使AO=HE=4，連接OE、EG，，，，又，四邊形AOEH是平行四邊形，，當(dāng)點(diǎn)E、點(diǎn)G在OC上時(shí)，最小，即最小，，，，，故的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形及正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)，在上，且，連接，，則的最小值為________．【答案】【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得DO=3，當(dāng)點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)時(shí)，BM+DN的值最小，再證明得DN=BM，由勾股定理求出DN的長即可．【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，AC=8∴又在Rt△AOB中，∴∴DO=5當(dāng)點(diǎn)O為MN的中點(diǎn)時(shí)，BM+DN的值最小，∵M(jìn)N=1∴在Rt△DON中，∴在Rt△DON和Rt△BOM中，∴∴DN=BM∴∴的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出BN=是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在邊上，且，連接和，則的最小值是_______．【答案】13【分析】證明四邊形是平行四邊形，得到，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)E，當(dāng)B、Q、E在同一直線上時(shí)，取得最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)E，則，，當(dāng)B、Q、E在同一直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，∴的最小值是13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短線路問題及矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇淮安·八年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，，矩形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．【答案】【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，把點(diǎn)O向右平移2個(gè)單位至點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于點(diǎn)K，連接交于點(diǎn)E，作，交的延長線于點(diǎn)G．由軸對稱的性質(zhì)可知，即的最小值是線段的長，根據(jù)勾股定理求出的長即可．【詳解】過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，把點(diǎn)O向右平移2個(gè)單位至點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于點(diǎn)K，連接交于點(diǎn)E，作，交的延長線于點(diǎn)G．則四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)的值最小，最小值是線段的長．∵四邊形是矩形，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，己知長方體，是棱上任意一點(diǎn)，是側(cè)面對角線上一點(diǎn)，則的最小值是________．

【答案】【分析】將正方形展開，取及兩個(gè)面，過點(diǎn)作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，由正方形的性質(zhì)可得出，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出的長度，此題得解．【詳解】解：將正方形展開，取及兩個(gè)面，過點(diǎn)作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值．

∵為正方形，∴．在中，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱中的最短路線問題、正方形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，找出點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．12．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，則的最小值是___．【答案】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于線段的對稱點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)O，連接，過點(diǎn)F作，交的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)G，由題意易得，則有，然后可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得，推出，勾股定理求出的長即可得解．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于線段的對稱點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)O，連接，過點(diǎn)F作，交的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)G，如圖所示：由軸對稱的性質(zhì)可知：，，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，則的最小值即為的長，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴，∴即的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．13．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點(diǎn)為矩形的對角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值為________．【答案】6【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，交AC于點(diǎn)F，連接交AC于點(diǎn)P，則的最小值為的長度；然后求出和BE的長度，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，交AC于點(diǎn)F，連接交AC于點(diǎn)P，則的最小值為的長度；∵AC是矩形的對角線，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由對稱的性質(zhì)，得，，∴，∴∵，，∴△BEF是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為6；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的找到點(diǎn)P使得有最小值．14．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，，，在邊上有一線段由B向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，E在F的左側(cè)，，連接，則周長的最小值為______．

【答案】8【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，再作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，此時(shí)取最小值，即取最小值，則此時(shí)的周長最小．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，，，再作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，此時(shí)取最小值，即取最小值，則此時(shí)的周長最?。?/p>

過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，連接，，，四邊形為矩形，

，，，周長的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于移動(dòng)線段中三角形周長最小值問題，勾股定理，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離問題是解題關(guān)鍵．15．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)、是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則四邊形周長的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)沿向右平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，在上截取，連接，，此時(shí)四邊形的周長為，則當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形的周長最小，進(jìn)而計(jì)算即可得解．【詳解】如下圖，將點(diǎn)沿向右平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，在上截取，連接，，∴，，此時(shí)四邊形的周長為，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形的周長最小，，，，經(jīng)過點(diǎn)，，，，，，，四邊形周長的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形周長的最小值問題，涉及到含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)軸對稱作圖方法以及線段長的求解方法是解決本題的關(guān)鍵．16.如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC,P為對角線B