2024-2025學(xué)年廣東省廣州市奧林匹克中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市奧林匹克中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(1,1,2)，b=(x,1,2x?3)，若a⊥b，則A.?2 B.?1 C.0 D.12.直線x+3y?2=0的傾斜角為A.π6 B.π4 C.π33.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，空間向量OA=(1,1,2)，OB=(?1,3,4)，OC=(2,4,4)，若線段AB的中點(diǎn)為D，則|A.9 B.8 C.3 D.24.直線l1：(3a+1)x+2ay?1=0和直線l2：ax?3y+3=0，則“a=53”是“l(fā)A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐P?ABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zAP，則A.1 B.2 C.13 D.6.O為空間任意一點(diǎn)，若AP=?14OA+18OB+tOC，若AA.1 B.12 C.18 7.已知點(diǎn)M(?3,1)，N(3,2)，P(1,?1)，設(shè)過點(diǎn)P的直線為l，取線段MN上一點(diǎn)Q.若Q?l.則直線l斜率的取值范圍是(

)A.(?∞,32] B.(?12,8.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，EF是正方體ABCD?A1A.[?2,0] B.[?1,0] C.[0,1] D.[0,2]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法中，正確的是(

)A.直線3x?y+1=0的一個(gè)方向向量為(3,1)

B.A(1,3)，B(2,5)，C(?2,?3)三點(diǎn)共線

C.直線2(m+1)x+(m?3)y+7?5m=0必過定點(diǎn)(1,3)

D.經(jīng)過點(diǎn)10.如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是(

)A.SA+SB+SC+SD=0

11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB1A.平面MENF⊥平面BDD1B1

B.當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)，四邊形MENF的面積最小

C.四邊形MENF的周長L=f(x)，x∈[0,1]是單調(diào)函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.點(diǎn)(1,2,3)關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為______．13.若等邊三角形的一條中線所在直線的斜率為1，則該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為______．14.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為______，點(diǎn)S與P距離的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4)，B(?2,6)，C(?8,0)．

(1)求邊AC和AB所在直線的方程；

(2)求AC邊上的中線BD所在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．16.(本小題12分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)D為棱BC上一點(diǎn)，且CD=2BD，點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)．

(1)以{AB、AC、AP}為一組基底表示向量PM；

(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60°，求PM?AC

17.(本小題12分)

如圖，在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1E=2EB1，點(diǎn)F是棱A1D118.(本小題12分)

如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD是邊長為2的正方形，且D1O⊥底面ABCD．

(1)證明：AC⊥CC1；19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PFPC=13，設(shè)點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)若PGPB=23.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．

(3)設(shè)

參考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.A

6.C

7.B

8.A

9.BC

10.CD

11.ABD

12.(?1,2,3)

13.3

14.72

15.解：(1)由截距式可得：邊AC所在直線的方程為x?8+y4=1，

即x?2y+8=0．

由兩點(diǎn)式可得：邊AB所在直線的方程為y?46?4=x?0?2?0，

即x+y?4=0．

(2)由題意，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?4,2)，

由兩點(diǎn)式，得邊BD所在直線的方程為y?26?2=x?(?4)?2?(?4)，

即16.解：(1)∵M(jìn)為線段AD的中點(diǎn)，∴AM=12AD，

∵CD=2BD，∴BD=13BC，

∴PM=PA+AM=PA+12AD=PA17.解：(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A(3,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，F(xiàn)(1,0,3)，E(3,2,3)，

AD1=(?3,0,3)，CF=(1,?3,3)，

則cos<AD1,CF>=AD1?CF|AD1||CF|=?3+932×19=3819，

∴異面直線AD1與CF所成角的余弦值為3819；

(2)連接B1D1，則BD//B118.解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AC⊥BD，

因?yàn)镈1O⊥底面ABCD，AC?面ABCD，所以D1O⊥AC，

因?yàn)锳C⊥BD，D1O⊥AC，BD，D1O?面BDD1B1，BD∩D1O=O，

所以AC⊥面BDD1B1，

又因?yàn)镈D1?面BDD1B1，所以AC⊥DD1，

又平行六面體ABCD?A1B1C1D1，所以DD1/?/CC1，

所以AC⊥CC1；

(2)取AB中點(diǎn)H，連接D1H，OH，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)H⊥AB，

因?yàn)镈1O⊥底面ABCD，AB?面ABCD，所以D1O⊥AB，

因?yàn)锳B⊥OH，D1O⊥AB，OH，D1O?面D1OH，OH∩D1O=O，

所以AB⊥面D1OH，

又D1H?面D1OH，所以19.解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

又因?yàn)锳D⊥CD，PA、AD是平面PAD內(nèi)相交直線，故CD⊥平面PAD，

(2)以A為原點(diǎn)，DC、AD、AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B(2,?1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，

P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(xiàn)(