浙江省紹興市會稽聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期紹興會稽聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】由，得，解得（舍去）.故選：C.2.設(shè)函數(shù)，則（）A.1 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，代入求值即可.【詳解】，故.故選：A3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此判斷即可得解.【詳解】觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D4.已知隨機(jī)變量的分布列分別為210120.10.204020.1210120.050.150.60.150.05則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由分布列的期望和方差公式即可得到答案.【詳解】由題意知，,，.故選：B.5.甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說“你當(dāng)然不會是最差．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況？（）A.27種 B.36種 C.54種 D.72種【答案】C【解析】【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3種情況；再排甲，也有3種情況；余下的問題是三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得到結(jié)果．【詳解】解：由題意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3種情況；再排甲，也有3種情況；余下3人有種排法．故共有種不同的情況．故選：C.6.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一排，則2個(gè)0不相鄰的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一排的情況數(shù)，再得到2個(gè)0相鄰的情況為4種，不相鄰的情況為6種，從而求出概率.【詳解】將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一排，即從5個(gè)位置選2個(gè)位置放入0，其他3個(gè)位置自然放入1，故總的情況為種，其中2個(gè)0相鄰的情況為4種，故不相鄰的情況為種，故2個(gè)0不相鄰的概率為.故選：D7.甲盒中裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙盒中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒中，再從乙盒中隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式求出答案.【詳解】設(shè)從甲盒中取出的為紅球?yàn)槭录嗀，從乙盒中隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球?yàn)槭录﨎，則.故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，再利用分離參數(shù)法并結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．令，則在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列有關(guān)排列數(shù)?組合數(shù)的等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的公式逐個(gè)判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對于B,因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對于C,因?yàn)椋?，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.B.C.函數(shù)的圖象是中心對稱圖形D.若是極小值點(diǎn)，則在單調(diào)遞減【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的值域判斷選項(xiàng)A,B；利用，求出函數(shù)的對稱中心，判斷選項(xiàng)C；利用函數(shù)極小值的定義和單調(diào)區(qū)間判斷選項(xiàng)D即可【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減；在和上，，單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?故函數(shù)的值域一定為.對于A，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，故，A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，故沒有最小值，B錯(cuò)誤；對于C，，所以點(diǎn)為的對稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，故C正確.對于D，若是的極小值點(diǎn)，則，此時(shí)在上，單調(diào)遞減；在和上，單調(diào)遞增，故極小值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】通過二元換一元，利用即可得A；同理利用即可得B；當(dāng)和兩種情況下分別計(jì)算，即可得到C；利用極限可得D.【詳解】令，，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，，即.由題意知，，所以A對；令，，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，，即.由題意知，，所以B對；當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)，，所以C對；當(dāng)時(shí)，，，所以D錯(cuò).故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.乘積展開后的項(xiàng)數(shù)是__________.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】展開式中每一項(xiàng)的構(gòu)成，分別由三個(gè)括號各取一項(xiàng)構(gòu)成，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有項(xiàng).故答案為：2413.設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過5次跳動質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（允許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動方法共有____________種．（用數(shù)字作答）【答案】5【解析】【分析】由題可知質(zhì)點(diǎn)5次跳動中向正方向跳了4次，進(jìn)而即得.【詳解】由題可知質(zhì)點(diǎn)5次跳動中向正方向跳了4次，向負(fù)方向跳了1次，所以質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動方法共有種.故答案為：5.14.對一個(gè)物理量做次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差的概率不小于0.9545，則至少需要測量的次數(shù)是__________（若，則）.【答案】16【解析】【分析】利用正態(tài)分布的三段區(qū)間概率公式及性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)檎`差的概率不小于0.9545，所以，由題意可知，即，所以至少需要測量的次數(shù)是16次.故答案為：16四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在二項(xiàng)式的展開式中（1）求各二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）求含的項(xiàng)的系數(shù).【答案】（1）32（2）40【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和的公式計(jì)算即得；（2）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，依題求得含的項(xiàng)的系數(shù)即得.【小問1詳解】二項(xiàng)式系數(shù)的和為：；【小問2詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為：，依題意，令，解得，則有，故的系數(shù)為40.16.盒子中裝有4個(gè)紅球，2個(gè)白球.（1）若依次隨機(jī)取出2個(gè)球，求在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率；（2）若隨機(jī)取出3個(gè)球，記取出的球中白球個(gè)數(shù)為，求的分布列及均值.【答案】（1）（2）分布列見解析，1【解析】【分析】（1）分析出第一次取到紅球后，盒子里還剩3個(gè)紅球，2個(gè)白球，從而求出概率；（2）求出的可能取值及對應(yīng)的概率，得到分布列，計(jì)算出期望值.小問1詳解】設(shè)“第一次取到紅球”，“第二次取到白球"，第一次取到紅球后，盒子里還剩3個(gè)紅球，2個(gè)白球，則；【小問2詳解】的可能取值為.所以，，故分布列為012.17.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1）.（1）若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，求依次收到的概率；（2）證明：當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由相互獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意求出，，再作差比較即可得證.【小問1詳解】記“依次發(fā)送，依次收到”，則.【小問2詳解】記“發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0”，“發(fā)送0，采用單次傳輸方案譯碼為0”，則，，因?yàn)?，因?yàn)?，所?8.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，得出切線方程；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性；（3）由（2）得出函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化為求證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以，又因?yàn)?，所以切線方程為.【小問2詳解】.①若，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】證明：當(dāng)時(shí)，由（2）知，要證，只需證，即證，即證.令，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.19.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【答案】（1）；（2）（i）；（ii）應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【解析】【分析】（1）方法一：利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對應(yīng)的概率，求得，之后對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意的條件；（2）方法一：先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時(shí)候,先求件數(shù)對應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解（ii）的時(shí)候，就通過比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果.【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】利用導(dǎo)數(shù)求最值件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.