專題04二次根式

主題一數(shù)與式專題04二次根式目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識記）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一二次根式有意義的條件?考向二二次根式的性質(zhì)與化簡?考向三二次根式的乘除法?考向四分母有理化?考向五同類二次根式?考向六二次根式的加減法?考向七二次根式的混合運(yùn)算?考向八二次根式的化簡求值?考向九二次根式的應(yīng)用最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.了解二次根式、最簡二次根式的概念；2.了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單四則運(yùn)算；3.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．二次根式是歷年中考的考察重點(diǎn)，年年考查，分值為10分左右。預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)重視對二次根式的有關(guān)概念、二次根式的性質(zhì)和二次根式的混合運(yùn)算等的考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)；二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)．二次根式的基本性質(zhì)1.≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）．2.（a≥0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．3.＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）二次根式的化簡1.二次根式的化簡：（1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）2.化簡二次根式的步驟：（1）把被開方數(shù)分解因式；（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；（3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．最簡二次根式1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．2.最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、、、等．二次根式的乘除法1.積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）3.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．2.兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．同類二次根式1.同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．2.同類二次根式的理解：同類二次根式類似于整式中的同類項．幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同．判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．2.合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．二次根式的加減法1.法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．2.步驟：（1）如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．（2）把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式．3.合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．?考向一二次根式有意義的條件解題技巧/易錯易混/特別提醒①如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．②如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．1．（2023?江西）若有意義，則a的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．6【思路點(diǎn)撥】直接利用二次根式的定義得出a的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：有意義，則a﹣4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故選：D．【真題剖析】此題主要考查了二次根式的有意義的條件，正確得出a的取值范圍是解題關(guān)鍵．2．（2023?濟(jì)寧）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式的分母不能為0和二次根式的被開平方數(shù)大于等于0進(jìn)行求解．【規(guī)范解答】解：由題意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故選：D．【真題剖析】此題考查了分式和二次根式定義的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識．3．（2023?丹東）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥﹣2，且x≠1．【思路點(diǎn)撥】要使代數(shù)式有意義，則根式里面需要大于等于0，且分母不能為0．【規(guī)范解答】解：由題可知，x+2≥0，即x≥﹣2，又知分母不能等于0，即x﹣1≠0，則x≠1．故答案為：x≥﹣2，且x≠1．【真題剖析】本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．?考向二二次根式的性質(zhì)與化簡解題技巧/易錯易混/特別提醒（1）把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；（2）把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積；（3）如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式(eq\r(a))2＝a(a≥0)把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡。4．（2023?泰州）計算等于（）A．±2 B．2 C．4 D．【思路點(diǎn)撥】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【規(guī)范解答】解：＝2．故選：B．【真題剖析】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．5．（2023?臺灣）化簡的結(jié)果為下列何者（）A．3 B． C． D．【思路點(diǎn)撥】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【規(guī)范解答】解：＝＝3．故選：C．【真題剖析】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．6．（2023?內(nèi)蒙古）實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡：＝2﹣m．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的非負(fù)性進(jìn)行化簡去絕對值即可．【規(guī)范解答】解：由數(shù)軸可知：1＜m＜2，∴m﹣2＜0，∴＝|m﹣2|＝2﹣m．故答案為：2﹣m．【真題剖析】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的非負(fù)性是解本題的關(guān)鍵．?考向三二次根式的乘除法7．（2023?衡陽）對于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有?＝．該運(yùn)算法則成立的條件是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0 C．a(chǎn)≤0，b≤0 D．a(chǎn)≥0，b≥0【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘法法則，即可解答．【規(guī)范解答】解：對于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有?＝．該運(yùn)算法則成立的條件是a≥0，b≥0，故選：D．【真題剖析】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．8．（2022?呼和浩特）下列運(yùn)算正確的是（）A．×＝±2 B．（m+n）2＝m2+n2 C．﹣＝﹣ D．3xy÷＝﹣【思路點(diǎn)撥】利用二次根式的乘法的法則，完全平方公式，分式的減法的法則，分式的除法的法則對各項進(jìn)行運(yùn)算即可．【規(guī)范解答】解：A、，故A不符合題意；B、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、3xy÷＝﹣，故D符合題意；故選：D．【真題剖析】本題主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．9．（2023?益陽）計算：＝10．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘法法則和性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可．【規(guī)范解答】解：＝＝＝10，故答案為：10．【真題剖析】本題主要考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則并能利用二次根式的性質(zhì)化簡是解題的關(guān)鍵．?考向四分母有理化10．（2023?阜新）在下列計算中，正確的是（）A．5+（﹣6）＝﹣1 B． C．3×（﹣2）＝6 D．sin30°＝【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則、分母有理化及特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算即可．【規(guī)范解答】解：A、5+（﹣6）＝5﹣6＝﹣1，正確，符合題意；B、＝，原計算錯誤，不符合題意；C、3×（﹣2）＝﹣6，原計算錯誤，不符合題意；D、sin30°＝，原計算錯誤，不符合題意．故選：A．【真題剖析】本題考查的是分母有理化及有理數(shù)的混合運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．11．（2021?婁底）計算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)零指數(shù)冪，分母有理化，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【規(guī)范解答】解：原式＝1++2﹣2×＝1+﹣1+2﹣＝2．【真題剖析】本題考查了零指數(shù)冪，分母有理化，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，考核學(xué)生的計算能力，正確進(jìn)行分母有理化是解題的關(guān)鍵．?考向五同類二次根式12．（2023?煙臺）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化成最簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義得出答案即可．【規(guī)范解答】解：A．＝2，和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；B．和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；C．＝2，和是同類二次根式，故本選項符合題意；D．＝2，和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．【真題剖析】本題考查了同類二次根式的定義，能熟記同類二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．13．（2020?上海）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．6 B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同類二次根式的定義解決此題．【規(guī)范解答】解：A．根據(jù)同類二次根式的定義，6與不是同類二次根式，那么A不符合題意．B．根據(jù)算術(shù)平方根以及同類二次根式，＝3與不是同類二次根式，那么B不符合題意．C．根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及同類二次根式的定義，與是同類二次根式，那么C符合題意．D．根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及同類二次根式的定義，與不是同類二次根式，那么D不符合題意．故選：C．【真題剖析】本題主要考查同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解決本題的關(guān)鍵．?考向六二次根式的加減法解題技巧/易錯易混/特別提醒二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。14．（2023?內(nèi)蒙古）下列運(yùn)算正確的是（）A．+2＝2 B．（﹣a2）3＝a6 C．+＝ D．÷＝【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的加法、冪的乘法與積的乘方以及分式的運(yùn)算的計算方法解題即可．【規(guī)范解答】解：A．+2＝3≠2，故該選項不正確，不符合題意；B．（﹣a2）3＝﹣a6≠a6，故該選項不正確，不符合題意；C．+＝+＝≠，故該選項不正確，不符合題意；D.÷＝×＝，故該選項正確，符合題意；故選：D．【真題剖析】本題考查二次根式的加法、冪的乘法與積的乘方以及分式的運(yùn)算，掌握二次根式的加法、冪的乘法與積的乘方以及分式的運(yùn)算的計算方法是解題的關(guān)鍵．15．（2023?十堰）下列計算正確的是（）A．+＝ B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1【思路點(diǎn)撥】直接利用積的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則、二次根式的加減、完全平方公式分別判斷得出答案．【規(guī)范解答】解：A．+無法合并，故此選項不合題意；B．（﹣2a）3＝﹣8a3，故此選項符合題意；C．a(chǎn)8÷a4＝a4，故此選項不合題意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此選項不合題意．故選：B．【真題剖析】此題主要考查了積的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算、二次根式的加減、完全平方公式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．16．（2023?哈爾濱）計算的結(jié)果是2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)將和7進(jìn)行化簡，再合并同類二次根式即可．【規(guī)范解答】解：原式＝3﹣＝2，故答案為：2．【真題剖析】本題考查二次根式的加減法，二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)以及合并同類二次根式的方法是正確解答的前提．?考向七二次根式的混合運(yùn)算解題技巧/易錯易混/特別提醒二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．③二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．④在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．17．（2023?青島）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則將各式計算后進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：與無法合并，則A不符合題意；2﹣＝，則B不符合題意；×＝＝，則C符合題意；÷3＝＝，則D不符合題意；故選：C．【真題剖析】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（2023?濰坊）從﹣，，中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式（□+〇）2÷里面的“□”與“〇”中，計算該算式的結(jié)果是﹣2（答案不唯一）．（只需寫出一種結(jié)果）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行計算，即可解答．【規(guī)范解答】解：若“□”是﹣，“〇”是，則（﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；若“□”是﹣，“〇”是，則（﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；若“□”是，“〇”是，則（+）2÷＝（9+2）÷＝+6；故答案為：﹣2（答案不唯一）．【真題剖析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．19．（2023?金昌）計算：÷×2﹣6．【思路點(diǎn)撥】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計算，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．【真題剖析】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．?考向八二次根式的化簡求值解題技巧/易錯易混/特別提醒常見二次根式化簡求值的九種技巧一、估算法二、公式法三、拆項法四、換元法五、整體代入法六、因式分解法七、配方法八、輔元法九、先判后算法20．（2023?河北）若，，則＝（）A．2 B．4 C． D．【思路點(diǎn)撥】把a(bǔ)、b的值代入原式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【規(guī)范解答】解：∵a＝，b＝，21．（2022?內(nèi)蒙古）已知x，y是實(shí)數(shù)，且滿足y＝++，則的值是．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根求出x的值，進(jìn)而求出y的值，代入計算即可求出值．【規(guī)范解答】解：∵y＝++，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，y＝，則原式＝×＝＝，故答案為：【真題剖析】此題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．?考向九二次根式的應(yīng)用22．（2023?內(nèi)蒙古）不等式x﹣1＜的正整數(shù)解的個數(shù)有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式以及一元一次不等式的解法解題即可．【規(guī)范解答】解：x﹣1＜，即x＜+1，又知≈2.236，即x＜+1≈3.236，故正整數(shù)解為3，2，1．故選：A．【真題剖析】本題考查二次根式以及一元一次不等式，掌握二次根式以及一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．23．（2023?常州）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動掃地機(jī)，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，則圖中的x至少為74（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：≈4.58）．【思路點(diǎn)撥】連接AB，過點(diǎn)A作AC∥DE交DB的延長線于點(diǎn)C，利用勾股定理即可求得答案．【規(guī)范解答】解：如圖，連接AB，過點(diǎn)A作AC∥DE交DB的延長線于點(diǎn)C，則AC＝60﹣30＝30（cm），BC＝（x﹣60）cm，在Rt△ABC中，BC＝＝＝3≈3×4.58＝13.74≈14（cm），∴x﹣60＝14，∴x＝74，故答案為：74．【真題剖析】本題考查了勾股定理和二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，另外要仔細(xì)審題，理解題意準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．1．（2023?金華）要使有意義，則x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出x的范圍，判斷即可．【規(guī)范解答】解：由題意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，則x的值可以是2，故選：D．【真題剖析】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023?通遼）二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】直接利用二次根式有意義的條件得出x的取值范圍，進(jìn)而在數(shù)軸上表示即可．【規(guī)范解答】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則1﹣x≥0，解得：x≤1，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為：．故選：C．【真題剖析】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．3．（2023?上海）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)5÷a2＝a3 B．a(chǎn)3+a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．＝a【思路點(diǎn)撥】根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方法則，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算，逐一判斷即可解答．【規(guī)范解答】解：A、a5÷a2＝a3，故A符合題意；B、a3+a3＝2a3，故B不符合題意；C、（a3）2＝a6，故C不符合題意；D、＝|a|，故D不符合題意；故選：A．【真題剖析】本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方，二次根式的性質(zhì)與化簡，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．4．（2020?荊州）若x為實(shí)數(shù)，在“（+1）□x”的“□”中添上一種運(yùn)算符號（在“+，﹣，×，÷”中選擇）后，其運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則x不可能是（）A． B．﹣1 C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，添上一種運(yùn)算符號后逐一判斷即可．【規(guī)范解答】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本選項不合題意；B．（+1）﹣＝1，故本選項不合題意；C．（+1）與2無論是相加，相減，相乘，相除，結(jié)果都是無理數(shù)，故本選項符合題意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本選項不合題意．故選：C．【真題剖析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟記二次根式的混合運(yùn)算法則以及平方差公式是解答本題的關(guān)鍵．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（多選）5．（2021?濰坊）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a﹣）2＝a2﹣a+ B．（﹣a﹣1）2＝ C．＝ D．＝2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式判斷A，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪判斷B，根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷C，根據(jù)二次根式的除法判斷D．【規(guī)范解答】解：A選項，原式＝a2﹣a+，故該選項正確；B選項，原式＝（a﹣1）2＝（）2＝，故該選項正確；C選項，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子，分母都乘或除以一個不為0的數(shù)，分式的值不變，不能分子，分母都加3，故該選項錯誤；D選項，原式＝，故該選項錯誤；故選：AB．【真題剖析】本題考查了完全平方公式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分式的基本性質(zhì)，二次根式的除法，考核學(xué)生的計算能力，注意＝（a≥0，b＞0）．6．（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【思路點(diǎn)撥】一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．先將各選項進(jìn)行化簡，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、＝2和不是同類二次根式，本選項不合題意；B、＝2與不是同類二次根式，本選項不合題意；C、與不是同類二次根式，本選項不合題意；D、＝5，＝3是同類二次根式，本選項符合題意．故選：D．【真題剖析】本題考查了同類二次根式，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的化簡及同類二次根式的概念．7．（2023?西寧）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則分別計算，進(jìn)而判斷得出答案．【規(guī)范解答】解：A．+無法合并，故此選項不合題意；B．＝5，故此選項不合題意；C．（3﹣）2＝11﹣6，故此選項符合題意；D．6÷×＝9，故此選項不合題意．故選：C．【真題剖析】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8．（2021?包頭）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣2【思路點(diǎn)撥】利用條件得到x﹣1＝，兩邊平方得x2﹣2x＝1，然后利用整體代入的方法計算．【規(guī)范解答】解：∵x＝+1，∴x﹣1＝，∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．故選：C．【真題剖析】本題考查了二次根式的化簡求值：完全平方公式的靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．利用整體代入的方法可簡化計算．9．（2023?常德）要使二次根式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是x≥4．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0，就可以求解．【規(guī)范解答】解：根據(jù)二次根式有意義得：x﹣4≥0，解得：x≥4．故答案為：x≥4．【真題剖析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022?隨州）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)＝＝3可知m有最小值3×7＝21．設(shè)n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則n的最小值為3，最大值為75．【思路點(diǎn)撥】先將化簡為10，可得n最小為3，由是大于1的整數(shù)可得越小，越小，則n越大，當(dāng)＝2時，即可求解．【規(guī)范解答】解：∵＝＝10，且為整數(shù)，∴n最小為3，∵是大于1的整數(shù)，∴越小，越小，則n越大，當(dāng)＝2時，＝4，∴n＝75，故答案為：3；75．【真題剖析】本題考查二次根式的乘除法，二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)關(guān)鍵詞“大于”，“整數(shù)”進(jìn)行求解．11．（2022?山西）計算：×的結(jié)果為3．【思路點(diǎn)撥】按照二次根式的乘法法則計算即可．【規(guī)范解答】解：原式＝＝3．故答案為：3．【真題剖析】本題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算．二次根式的運(yùn)算法則：乘法法則＝（a≥0，b≥0）．12．（2023?杭州）計算：＝﹣．【思路點(diǎn)撥】直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計算得出答案．【規(guī)范解答】解：原式＝﹣2＝﹣．故答案為：﹣．【真題剖析】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．13．（2023?盤錦）計算：﹣＝1．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)＝3，＝2，可以計算．【規(guī)范解答】解：﹣＝3﹣2＝1．故答案為：1．【真題剖析】本題考查了二次根式的加減法，掌握二次根式的加減運(yùn)算法則是關(guān)鍵．14．（2022?荊