專(zhuān)題04一元一次方程（原卷版）

專(zhuān)題04一元一次方程思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.判斷是否是一元一次方程2.根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)問(wèn)題3.等式的基本性質(zhì)4.解一元一次方程5.解一元一次方程中錯(cuò)解復(fù)原6.已知一元一次方程的解求參數(shù)的值7.已知含參數(shù)的一元一次方程的解為整數(shù)，求參數(shù)的值8.已知含參數(shù)的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解9.一元一次方程中新定義運(yùn)算型問(wèn)題10.利用一元一次方程解決銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題11.利用一元一次方程解決數(shù)軸上的追及問(wèn)題12.解一元一次方程的拓展問(wèn)題一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．細(xì)節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿(mǎn)足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．4．解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程．二、等式的性質(zhì)與去括號(hào)法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．2．合并法則：合并時(shí)，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．3．去括號(hào)法則：（1）括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同．（2）括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反．三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．四、列方程解應(yīng)用題的步驟：①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系；②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x）；③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系；④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程；⑤解所列出的方程，求出未知數(shù)的值；⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫(xiě)出答案（包括單位名稱(chēng)）．五、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間2.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)3.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量4.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)5.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：1.理解并應(yīng)用一元一次方程的定義，明確只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1．2.解含有分母的一元一次方程，去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)一定要記得乘最小公倍數(shù).3.用一元一次方程解決銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題與數(shù)軸上的追及問(wèn)題是一類(lèi)難點(diǎn)，要善于總結(jié)通用的解題思想.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、判斷是否是一元一次方程例題1：（2023上·四川涼山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中：，一元一次方程的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】方程都是一元一次方程，共有2個(gè)，方程中的不是整式，不是一元一次方程，方程中的次數(shù)是2，不是一元一次方程，方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，故選B．考點(diǎn)二、根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)問(wèn)題例題2:已知2xm2+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m=__________．【答案】3【解析】因?yàn)?xm2+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，所以m2=1，解得m=3．故答案為：3．考點(diǎn)三、等式的基本性質(zhì)例題3：下列運(yùn)用等式的性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行的變形中，錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】A、若，則，正確，不符合題意．B、若，則，正確，不符合題意．C、若，則，正確，不符合題意．D、若，則，當(dāng)才成立，錯(cuò)誤，符合題意．故選D．考點(diǎn)四、解一元一次方程例題4：解方程：(1)；(2)．【解析】（1）移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得，所以方程的解為；（2）去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得，所以方程的解為．考點(diǎn)五、解一元一次方程中錯(cuò)解復(fù)原例題5：老師讓同學(xué)們解方程，某同學(xué)給出了如下的解答過(guò)程：去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，兩邊都除以7，得，

根據(jù)該同學(xué)的解答過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)：(1)從第_______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，該步錯(cuò)誤的原因是______________________；(2)請(qǐng)你給出正確的解答過(guò)程．【解析】（1）由題意可得，第①開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，該步錯(cuò)誤的原因是：沒(méi)有乘以6，故答案是：①，沒(méi)有乘以6；（2）去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，兩邊都除以，得.考點(diǎn)六、已知一元一次方程的解求參數(shù)的值例題6：已知關(guān)于x的方程的解是，則的值是（

）A．1 B． C． D．2023【答案】B【解析】將代入原方程得：，解得，所以，故選B．考點(diǎn)七、已知含參數(shù)的一元一次方程的解為整數(shù)，求參數(shù)的值例題7：若關(guān)于x的方程的解是整數(shù)，且k是正整數(shù)，則k的值是（

）A．1或3 B．3或5 C．2或3 D．1或6【答案】A【解析】去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得，因?yàn)殛P(guān)于x的方程的解是整數(shù)，所以或，所以或或或，因?yàn)閗是正整數(shù)，所以或，故選A．考點(diǎn)八、已知含參數(shù)的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解例題8：若關(guān)于的一元一次方程的解為，則關(guān)于的一元一次方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，變形為，所以，解得，故選．考點(diǎn)九、一元一次方程中新定義運(yùn)算型問(wèn)題例題9：規(guī)定的一種新運(yùn)算“”：，例如：．(1)試求的值；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【解析】（1）．（2），，，．（3），，，，，．考點(diǎn)十、利用一元一次方程解決銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題例題10：貴陽(yáng)市人民廣場(chǎng)某超市第一次用元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的多件，甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：（注：獲利＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）2230售價(jià)（元/件）2940(1)該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣(mài)完后一共可獲得多少利潤(rùn)？(2)該超市第二次以第一次的進(jìn)價(jià)又購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品．其中甲種商品的件數(shù)不變，乙種商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品按原價(jià)銷(xiāo)售，乙商品打折銷(xiāo)售．第二次兩種商品都銷(xiāo)售完以后獲得的總利潤(rùn)比第一次獲得的總利潤(rùn)多元，求第二次乙種商品是按原價(jià)打幾折銷(xiāo)售．【解析】（1）設(shè)超市第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品x件，則購(gòu)進(jìn)乙種商品件，由題意得：，所以，所以（件），所以超市第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品件，乙種商品件．因?yàn)椋ㄔ栽摮袑⒌谝淮钨?gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣(mài)完后一共可獲得元利潤(rùn)；（2）設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打折銷(xiāo)售，根據(jù)題意，得，解得．答：第二次乙種商品是按原價(jià)打八五折銷(xiāo)售．考點(diǎn)十一、利用一元一次方程解決數(shù)軸上的追及問(wèn)題例題11：如圖，已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，．動(dòng)點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_______，點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_______；(2)若動(dòng)點(diǎn)均向右運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是________，兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______個(gè)單位長(zhǎng)度；②請(qǐng)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)追上點(diǎn)，并求出此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；(3)若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)后返回到點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)停止時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)為何值時(shí)，在和三條線(xiàn)段中，其中一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度是另一條線(xiàn)段長(zhǎng)度的4倍．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，到原點(diǎn)的距離為3，所以點(diǎn)表示的數(shù)為，因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，所以點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：；．（2）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位長(zhǎng)度，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，兩點(diǎn)間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，故答案為：；．②當(dāng)點(diǎn)追上點(diǎn)時(shí)，可得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)相同，故，解得，此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（3）當(dāng)點(diǎn)停止時(shí)，所用時(shí)間為，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上所述，當(dāng)，或時(shí)，在和三條線(xiàn)段中，其中一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度是另一條線(xiàn)段長(zhǎng)度的4倍．考點(diǎn)十二、解一元一次方程的拓展問(wèn)題例題12：我們規(guī)定關(guān)于x的一元一次方程的解滿(mǎn)足，則稱(chēng)該方程是“差解方程”，例如：的解為，滿(mǎn)足，則該方程就是“差解方程”，請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：【定義理解】（1）判斷：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知識(shí)應(yīng)用】（3）已知關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，則__________．（4）已知關(guān)于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代數(shù)式的值．【解析】（1）因?yàn)榉匠痰慕鉃?，所以方程是差解方程．故答案為：是；?）由題意可知，由一元一次方程可知，所以，解得；（3）因?yàn)榉匠淌恰安罱夥匠獭?，所以，解方程，得，所以，所以，即．故答案為?6；（4）因?yàn)橐辉淮畏匠淌恰安罱夥匠獭?，所以，解一元一次方程得所以，整理得，因?yàn)橐辉淮畏匠淌恰安罱夥匠獭保?，解一元一次方程得，所以，整理得，所以．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．下列方程中，是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．2．下列變形不一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則 C．，則 D．若，則3．下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．由，移項(xiàng)得B．由，去分母得C．由，去括號(hào)得D．把中的分母化為整數(shù)，得4．若關(guān)于x的一元一次方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)k的值為（）A．2 B．4 C．0或2 D．2或45．現(xiàn)定義運(yùn)算“*”，對(duì)于任意有理數(shù)與，滿(mǎn)足，譬如，．若有理數(shù)滿(mǎn)足，則的值為（

）A．4 B．5 C．21 D．5或21二、填空題6．若，則．7．已知關(guān)于的方程與有相同的解，則．8．若方程是關(guān)于的一元一次方程，則．9．我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各幾何．”其大意是：今有人合伙買(mǎi)雞，每人出錢(qián)，會(huì)多出錢(qián)；每人出錢(qián)，又差錢(qián)．問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各是多少．”設(shè)共有人合伙買(mǎi)雞，根據(jù)題意，可列方程為．10．已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解為．三、解答題11．解方程：(1)； (2)；(3)； (4)．12．下面是小武同學(xué)解方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：．

第①步；

第②步；

第③步；

第④步；

第⑤步．(1)【任務(wù)一】填空：①以上解方程的步驟中，第______步是進(jìn)行去分母，去分母的依據(jù)是______；②第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是______．(2)【任務(wù)二】請(qǐng)幫小武改正錯(cuò)誤，寫(xiě)出正確的解題過(guò)程．13．對(duì)于有理數(shù)a，b，定義兩種新運(yùn)算“※”與“◎”，規(guī)定：，，例如，．(1)計(jì)算的值；(2)若a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)；(3)若，求x的值．14．某水果店現(xiàn)推出水果籃和堅(jiān)果禮盒，每個(gè)水果籃的成本為元．每盒堅(jiān)果禮盒的成本為元，每個(gè)水果籃的售價(jià)比每盒堅(jiān)果的售價(jià)多元，售賣(mài)個(gè)水果籃獲得的利潤(rùn)和售賣(mài)盒堅(jiān)果禮盒獲得的利潤(rùn)一樣多．(1)求每個(gè)水果籃和每盒堅(jiān)果禮盒的售價(jià)；(2)該水果店第一批購(gòu)進(jìn)了個(gè)水果籃和盒堅(jiān)果禮盒．為回饋客戶(hù)該水果店計(jì)劃將每個(gè)水果籃打折出售，堅(jiān)果禮盒原價(jià)出售．售完這批水果籃和堅(jiān)果禮盒水果店共盈利元，按此計(jì)劃每個(gè)水果籃應(yīng)打幾折出售？15．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且到點(diǎn)的距離是18，點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間，且點(diǎn)與點(diǎn)的距離為9．(1)點(diǎn)表示的數(shù)是_______，點(diǎn)表示的數(shù)是_______；(2)若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度