專題15解直角三角形（全章直通中考）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.5解直角三角形（全章直通中考）（基礎(chǔ)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2017·云南·中考真題）sin60°的值為（）A． B． C． D．2．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在實(shí)數(shù)，x0（x≠0），cos30°，中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB4．（2015·甘肅慶陽·中考真題）在△ABC中，若角A，B滿足，則∠C的大小是（）A．45° B．60° C．75° D．105°5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）爬坡時(shí)坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J6．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，小兵同學(xué)從處出發(fā)向正東方向走米到達(dá)處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米7．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測量儀器測得．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于（

）

A． B． C． D．8．（2019·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是（

）A．nmileB．60nmile C．120nmile D．nmile9．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)，，，則（

）

A． B． C． D．10．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2013·山東德州·中考真題）的值是．12．（2019·浙江杭州·中考真題）在直角三角形ABC中，若，則.13．（2021·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在中，，則的值是．14．（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，工人師傅用扳手?jǐn)Q形狀為正六邊形的螺帽，現(xiàn)測得扳手的開口寬度，則螺帽邊長cm．15．（2019·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的處有一般船向正東方向航行，航行一段時(shí)間后到達(dá)哨所北偏東方向的處，則此時(shí)這般船與哨所的距離約為米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，）16．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若，，則．

17．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為，若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為．

18．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架放在離樹適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架上的點(diǎn)E處，然后沿著直線后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量，，觀測者目高的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知于點(diǎn)D，于點(diǎn)F，于點(diǎn)B，米，米，米，米，則這棵樹的高度（的長）是米．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：.20．（8分）（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．求的長及的值．21．（10分）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖所示是消防員攀爬云梯到小明家的場景．已知，，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的仰角為，則樓的高度為多少？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）22．（10分）（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點(diǎn)共線，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

23．（10分）（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量奇樓的高度，測量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn)，測得奇樓頂端A的俯角為，再將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，）

24．（12分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)山頂處．已知點(diǎn)A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

（1）求登山纜車上升的高度；（2）若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）參考答案：1．B解：sin60°=．故選B．2．B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的意義，即可解答．解：在實(shí)數(shù)，x0（x≠0）=1，，中，有理數(shù)是，x0=1，所以，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問題．解：∵中，，、、所對的邊分別為a、b、c∴，即，則A選項(xiàng)不成立，B選項(xiàng)成立，即，則C、D選項(xiàng)均不成立故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．4．D解：試題分析：由題意得，cosA=，tanB=1，則∠A=30°，∠B=45°，則∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故選D．考點(diǎn)：1．特殊角的三角函數(shù)值；2．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；3．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．5．B【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計(jì)算求解．解：故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案.解：小兵同學(xué)從處出發(fā)向正東方向走米到達(dá)處，再向正北方向走到處，，米.，米.故選：B.【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.7．D【分析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個(gè)銳角，求斜邊的長．解：，．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵．8．D【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的長．解：過C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC?cos∠ACD=60×．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．故選D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．9．C【分析】如圖，取格點(diǎn)D，連接，，則B在上，由，，，證明，可得．解：如圖，取格點(diǎn)D，連接，，則B在上，

∵，，，∴，，，∴，∴；故選C【點(diǎn)撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．10．C【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．解：連接AD，如圖：∵網(wǎng)格是有一個(gè)角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．11．解：分析：將特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可：．12．或.【分析】對AC分兩種情況討論，根據(jù)三角函數(shù)即可得到答案.解：如圖所示，分兩種情況討論，AC可以是直角邊，也可以是斜邊①當(dāng)AC是斜邊，設(shè)AB＝x，則AC＝2x，由勾股定理可得：BC＝x，則②當(dāng)AC是直角邊，設(shè)AB＝x，則AC＝2x，由勾股定理可得：BC＝x，則綜上所述，或.【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是對AC分情況討論.13．【分析】在直角三角形中，銳角的正弦=銳角的對邊：直角三角形的斜邊，根據(jù)定義直接可得答案．解：，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是銳角的正弦的含義，掌握銳角的正弦的定義是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得CD的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的余弦，可得答案．解：如圖：作BD⊥AC于D由正六邊形，得∠ABC=120°，AB=BC=a，∠BCD=∠BAC=30°．由AC=3，得CD=．cos∠BCD==，即，解得a=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查正多邊形和圓，利用正六邊形的性質(zhì)得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了正三角形的性質(zhì)，余弦函數(shù)．15．566【分析】通過解直角△OAC求得OC的長度，然后通過解直角△OBC求得OB的長度即可．解：設(shè)與正北方向線相交于點(diǎn)，根據(jù)題意，所以，在中，因?yàn)?，所以，中，因?yàn)?，所以（米）．故答案?66.【點(diǎn)撥】考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角的問題．此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．16．/【分析】由題意可設(shè)，則，，在中求得，在中求出答案即可．解：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，在中，．【點(diǎn)撥】本題考查的是求銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比值設(shè)未知數(shù)，表示出邊長從而求出銳角三角函數(shù)值．17．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，解直角三角形求出，再推出，進(jìn)而得到，再求出的長即可得到答案．解：由題意得，，，，∴，∴

∵，∴，，∴，∴，∴，∴與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確求出的長是解題的關(guān)鍵．18．4.1【分析】過點(diǎn)作水平線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例解答即可．解：過點(diǎn)作水平線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，

∵是水平線，都是鉛垂線．∴米，米，米，∴（米），又根據(jù)題意，得，∴，，即，解得：米，∴（米）．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．19．【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪分別化簡，進(jìn)而得出答案．解：原式．【點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．20．，【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，中，勾股定理求得的長，根據(jù)正切的定義即可求解．解：在菱形中，．∵，∴．在中，∵為中點(diǎn)，∴．∵．∴．∴．∴．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．21．樓的高度為【分析】延長交于點(diǎn)，依題意可得，在，根據(jù)，求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．解：如圖所示，延長交于點(diǎn)，

∵，∴在中，，，∵，∴∴，答：樓的高度為．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22．“龍”字雕塑的高度為．【分析】在和中，分別求得和的長，據(jù)此求解即可.解：在中，，，∴，在中，，，∴，∴,答：“龍”字雕塑的高度為．【點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．23．【分析】延長，交的延長線于點(diǎn)C，根據(jù)題意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．解：延長，交的延長線于點(diǎn)C，則

由題意得，，，在中，，則∴，在中，，解得