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文檔簡(jiǎn)介
平面向量
一、單選題
2
橢圓亍+的焦點(diǎn)為”,點(diǎn)在橢圓上,且礪.近則到
1.:/=1F2,M=0,My
軸的距離為()
A3C2指n石
A.3B*2>/2C?-------D------
33
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)加(%”為),代入橢圓方程;根據(jù)麗?而=0及向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系,可得
%。2+>02=3,解方程組即可求得X。的值,進(jìn)而可得M到y(tǒng)軸的距離-
【詳解】
2
設(shè)“(%為),點(diǎn)M在橢圓工+丁=1上,
4
所以?+%2=1,①
2
橢圓上+y2=l的焦點(diǎn)為耳,F(xiàn),,
4
則可(一6,0),K(6,O),
所以一一%,
=(0-%),MF2=(y/3-x0,-y0^,
由礪■?麗■=(),
可得(一代—X。,一坊)?(V3—%一No)=0,
化簡(jiǎn)可得%(;+%2=3,②
聯(lián)立①②可解得3=±2?,
3
故”到y(tǒng)軸的距離為2匹,
3
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
2.化簡(jiǎn)通+而一而一麗=().
A.ADB.0C.BCD.DA
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算,化簡(jiǎn)即可.
【詳解】
由向量的加法和減法的線性運(yùn)算化簡(jiǎn),即
AB+1H)-AC-CD
=(AB+BD)-(AC+a))
AD-AD=Q
所以選B
【點(diǎn)睛】
本題考查了向量的加法、減法線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
3.設(shè)向量3=(2,0),b=孚],則向量3與坂的夾角為()
3兀
T
【答案】C
【解析】
【分析】
由條件有問=2,忖=3,7B=-3,利用公式cos?b)=a-b
麗可求夾角.
又向量[與B的夾角的范圍是[(),司
向量Z與B的夾角為弓.
故選:c
4.在同一平面內(nèi),線段AB為圓C的直徑,動(dòng)點(diǎn)P滿足麗.麗〉0,則點(diǎn)P與圓c
的位置關(guān)系是()
A.點(diǎn)P在圓C外部B.點(diǎn)尸在圓C上C.點(diǎn)P在圓C內(nèi)部D.不確定
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角,而圓外的點(diǎn)P使而.麗>0,由此判斷出正確結(jié)論.
【詳解】
在同一平面內(nèi),線段為圓C的直徑,動(dòng)點(diǎn)P滿足麗.麗>0,所以Z4PB為銳角,
所以點(diǎn)P在圓C外部.故選A.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查圓的直徑所對(duì)圓周角為直角,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算公式,考查銳角、
鈍角、直角的余弦值的特點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.
5.已知同=1,(£+24£=3,向量£出的夾角為(,則代的值為()
A.1B.V2C.GD.2
【答案】D
【解析】
j*i*i*i*7r1*11rrrr
試題分析:(a+2份-a=a2+2a2=3,所以“力=1,所以a/="1回(=1,
忖=2.故選D.
考點(diǎn):向量的數(shù)量積.
6.已知向量”=(3』)/=(%—1),若。一6與人共線,則x的值等于()
A.-3B.1C.2D.1或2
【答案】A
【解析】
v?=(3,l),^=(x,-l),.-.tz-^=(3-x,2),又Qa-b與B共線,
:.2x=x-3,:.x=-3,故選A.
7.正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,M是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點(diǎn),
威s"=4,貝"IAX/|的最小值為()
A.yB.與C.2正D.8
【答案】B
【解析】
【分析】
分別以AB,AD所在的在直線為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)M(x,V),根據(jù)鼠.人乙=4
可知x+y=l(0<x<4,0<y<4),而3|=G+y,根據(jù)其幾何意義可求.
【詳解】
分別以A8,A。所在的在直線為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖:
設(shè)M(x,y),則C(4,4),
QAMAC^A'
,4x+4y=4(0<x<4,0<y<4),
即x+y=l(0<x<4,0<y<4),
貝I"AM1=y]x2+y2'
其幾何意義為在直線x+y=l位于正方形內(nèi)取一點(diǎn)使其到原點(diǎn)A的距離最小.
故當(dāng)與直線x+)=l垂直時(shí),|篇7|最小,
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知ILn=^=y-
故選:B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,向量模及向量模的幾何意義,屬于中檔題.
8,若向量,A-(2*5),Z■(鳥切滿足條用嗎一了聲=-5,貝以=()
A.6B.5
C.4D.3
【答案】C
【解析】試題分析:由,i=(2^),?B^X)>得后一工=@一2),
^a-h1c=3-2x=-5>得x=4,故選
C.
考點(diǎn):向量的坐標(biāo)運(yùn)算;向量的數(shù)量積.
9.若向量的夾角為(,£=(血,血),歸+2q=2百,則忖=()
A.bB.1C.4D.3
【答案】B
【解析】
試題分析:因?yàn)?=(0,、0,所以同=J(⑹?+(應(yīng)了=2,因?yàn)榭?2可=26,
所以h+2^r=12,所以
伍+26)=東+4無6+4后+4同|碓05?+4M=4忖+4忖+4=12,即
懷+忸卜2=0
,解得:忖=1或行卜―2(舍去),故選B.
考點(diǎn):1、向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算;2、向量的數(shù)量積.
10.A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)?動(dòng)點(diǎn)。滿足AP=%尸=i
A3
/lw[0,+8),則點(diǎn)p的軌跡一定通過小鉆。的()
A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心
【答案】B
【解析】
ABAC
M+M表示以A為起點(diǎn),分別與通,衣方向相同的兩個(gè)單位向量的和,
ABAC
二向量同十辰[的起點(diǎn)為A,終點(diǎn)必定在NBAC的平分線上
(ABAC
IM+MJAG[0,+OO),
ABAC
...向量而與向量在同一條直線上,
因此,動(dòng)點(diǎn)P滿足即P在NBAC的平分線上,
:由于A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),
;.P的軌跡一定通過^ABC的內(nèi)心.
本題選擇B選項(xiàng).
11.已知向量a=(6,8),B=(sina,cosa),a〃B,則tantz=()
33
A.-
4-4
44
D.
33
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量平行,得到關(guān)于。的關(guān)系式,整理化簡(jiǎn)后,得到tana的值.
【詳解】
因?yàn)閆//5,a=(6,8),石=(sina,cosa)
所以可得6cosa=8sina
『sina3
整理得tana=----=—
cosa4
故選A項(xiàng).
【點(diǎn)睛】
本題考查向量平行的坐標(biāo)表示,同角三角函數(shù)關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題.
12.設(shè)心5是平面內(nèi)的兩個(gè)單像向量,且夾角為60。,則12萬-3目等于()
A.幣B.曬C.1D.5
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合向量模長(zhǎng)的公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
a,5是平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量,且夾角為60°
a-=|a|x|/?|cos60°=1x1x
pa-34=4片-12無5+9戶=4-12x1+9=7
2
則忸-35卜刀
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,根據(jù)向量模長(zhǎng)的公式是解決本題的關(guān)鍵.
二、填空題
.____/—?n\r/</~>\_u----.sin+2cos0
13.已知兩向量a=(2,s/〃e),Z?=(l,cos。),若。//6,則----------------
2sin6-3cose
【答案】4
【解析】
【分析】
根據(jù)兩個(gè)向量共線的性質(zhì)可得tan6=2,再把要求的式子利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)
tan6+2
系化為,運(yùn)算求得結(jié)果.
2tan。一3
【詳解】
:兩向量a=(2,sin8),5=(1,cos。),若£//B,
則2cos8-sin8=(),即tan6=2,
sin9+2cosctan3+22+2,
________—_____4故答案為4.
2sin6—3cos。2tan6—34-3
【點(diǎn)睛】
本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì),同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.同角三角
函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系,平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換,商的
關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.
14.在正三角形A8C中,。是8c上的點(diǎn),AB=3,BO=1,則麗.亞=.
【答案】二
2
【解析】
試題分析:根據(jù)正三角形的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積的定義式,結(jié)合向量的特點(diǎn),可以確
定麗.麗=麗(2通+,/)=2通2+,而.n=2.9+』.3?3'=",故答
33333322
案為M
2
考點(diǎn):平面向量基本定理,向量的數(shù)量積,正三角形的性質(zhì).
15.已知向量M=(3,2),B=(2,T),若〃啟+/與Z+2B共線,則:等于
【答案】y
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件,即可求的mZ+〃石與£+2行的坐標(biāo),根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式,即可求
得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)镸=(3,2)石=(2,—1),
故可得〃也+=(3/n+2/1,2m—n),Q+2B=(7,0),
因?yàn)閙a+〃石與〃+2坂共線,
m1
故可得14加—7〃=0,即可得一=一.
n2
故答案為:一.
2
【點(diǎn)睛】
本題考查向量坐標(biāo)的運(yùn)算,以及由向量共線求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.
16.已知向量礪=(左,12),加=(4,5),無=(—女,10),且A、B、C三點(diǎn)共線,
貝!Jk=____
2
【答案】—§
【解析】
【分析】
先求出血,冊(cè)的坐標(biāo),再根據(jù)A、B、。三點(diǎn)共線求出人的值.
【詳解】
由題得通=礪一礪=(4一%,-7),
BC=OC-OB=(-k-4,5),
因?yàn)锳、B、。三點(diǎn)共線,
所以A月=/1沅,
所以(4—左>5+7(一左一4)=0,
2
所以%=一5.
s一,2
故答案為:-§
【點(diǎn)睛】
本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線向量,考查三點(diǎn)共線,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的
理解掌握水平.
三、解答題
17.已知點(diǎn)P是曲線G:匕+y2=i上的動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)PO(。是坐標(biāo)原點(diǎn))到Q,使
4
得|0Q|=2|0P|,點(diǎn)。的軌跡為曲線
(1)求曲線C?的方程;
(2)若點(diǎn)耳,工分別是曲線G的左、右焦點(diǎn),求耶?硬的取值范圍;
(3)過點(diǎn)P且不垂直X軸的直線/與曲線交于M,N兩點(diǎn),求AQA/N面積的最
大值.
【答案】⑴—+=1(2)[-11-6\/3,--](3)6G
1642
【解析】
【分析】
(工)用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程,即設(shè)Q(x,y),尸(大,力),由已知用x',y'表示%)’,
并把(兌y)代入C,方程可得C2方程;
(2)設(shè)P(2cose,sin。),貝ijQ(-4cose,-2sin。).求出包戶?收后可得取值范圍;
(3)設(shè)尸(2cos6,sin6),則。(Teos。,一2sin6).設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的直線方程為:
y-sine=Z(x-2cos。),N(x2,y2).由直線與橢圓相交弦試公式(用
韋達(dá)定理求解)得弦長(zhǎng)|MN|,求出。到直線MN的距離后可表示出AQMN的面積,
注意引入三角恒等變換,設(shè)|sin8—2左cos例=|sina|,可化簡(jiǎn)表達(dá)式,從而
求得最值.
【詳解】
,1
x=——x
2
解:⑴設(shè)Q(x,y),尸(x',V),:麗=2而,,(x,y)=-2(x',y'),可得<
.1
整+(方=「可喘+?j
代入
22
曲線c,的方程為土+2-
164
(2)^(-V3,0),^(V3,0).設(shè)P(2cosasin6),則Q(-4cosa—2sin6).則
FpF2Q=^2cos0+y/3,sin0)(-4cos9—?-2sine)=(2cose+g)(-4cos0—G)+sine(-2sin6
JA⑸21
=-6cos<9+——一,
32
\7
Vcos^e[-l,lJ,AF;P-^Qe[-ll-6V3,-1].
(3)設(shè)P(2cossin。),則。(-4cos夕,一2sin。).
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)尸的直線方程為:y-sin6>=Kx-2cos0),M(方,y),N(x2,y2).
y-sine=Z(x-2cose)
聯(lián)立
x2+4y2=16
消去y得:(1+4攵2)%2-8Z(sine—2Zcose)x+4(sine-2Zcos8)~-16=0,
._8Z(sine-2Zcose)4(sin^-2Z:cos^)--16
..%1+x=--~TH------,x,x=—-------------------'
21+4%17-1+4左2
+16-—(sin9-2Zcose)2
22
二|MN|=^l+^)[(x(+X2)-4X]X2]=4‘1+"也
1+4〃
|-4kcos6+2sin6+sin6—2Zcos6\31sin。一2Zcos0\
點(diǎn)。到直線/的距離d
Jl+公yjl+k2
161sin9一2kcos0\J4+16/-(sin。-Z&cos。,
^QMN=-d\MN\=--------------------**----------------L
令|sin6-2次cos6|=,l+4左2|sintz|,
2
則S^QMN=61sin?|\/4-sina,令I(lǐng)sina|=fG[0,1],
則(f)=一36〃+144產(chǎn)=一36(/—2)2+144,
當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí),/?)取得最大值6G.
【點(diǎn)睛】
本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算及數(shù)量積,考查用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程,考查直線與橢圓的
位置關(guān)系,考查橢圓中的三角形面積.考查了三角函數(shù)的恒等變換與性質(zhì).解析幾何中
的設(shè)而不求思想在本題也起到了重要作用,本題對(duì)學(xué)生要求較高,對(duì)運(yùn)算求解能力要求
較高,屬于困難題.
18.在四邊形45。中,己知A(0,0),3(4,0),C(3,2),D(l,2).
(1)判斷四邊形4成笫的形狀;
(2)求向量/與麗夾角的余弦值.
【答案】(1)等腰梯形;(2)一2
【解析】
【分析】
(1)計(jì)算得到AB=-DC,且|印4=石=|耳耳,得到答案.
(2)/=(3,2),麗=(-3,2),利用夾角公式計(jì)算得到答案.
【詳解】
(i)AB=(4,0),DC=(2,0),故而=g反,
礪=(1,2),BC=(-1,2),故|加卜石=|月@,故四邊形ABCZ)為等腰梯形.
⑵/=(3,2),麗=(-3,2),故cos(AC,町=國(guó),阿廠石.
【點(diǎn)睛】
本題考查了根據(jù)向量判斷四邊形形狀,向量夾角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.
19.已知向量3,坂的夾角為60°,且卜|=1,忖=2,設(shè)用=3左一石,n=ta+2b.
(1)試用f來表示質(zhì)工的值;
(2)若說與7的夾角為鈍角,試求實(shí)數(shù)f的取值范圍.
【答案】(Z)[G=2f-2;(2){小<1且"一6}.
【解析】
【分析】
(1)由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算.
U1一一
(2)由機(jī).〃<()解得f的范圍,排除加,〃反向的f值.
【詳解】
(Z)由已知4出=1、2'(:0560°=1,
—>>—>—*—>—*—?2-*—?-*2
m-n-(3a-b)-(ta+2Z?)=3ta+(6-t)a-b-2b=3z+(6—。-8=21—2.
(2)m與〃的夾角為鈍角,則根.〃=2/—2<0,1<1,
___it=3k[k=-2
謖m=kn,即/。+2石=%(3。-垃,貝心。.?解得《,此時(shí)機(jī)與〃方向相
2=-k[r=-6
反.
所以f的取值范圍是“上<1且fN-6}.
【點(diǎn)睛】
本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.<0時(shí),m
與[的夾角為鈍角或平角,即向量方向相反時(shí),數(shù)量積也小于0.注意檢驗(yàn)排除.
20.已知向量4=。,2),5=(-3,1)
(1)求與2M+B同向的單位向量。;
(2)若向量=[-3,-?}請(qǐng)以向量心B為基底表示向量小
(3)若心看夾角為。,求cos28的值.
-,、-(扃5扃1小-c-1廠小24
【答案】(1)e=[--玄,-26(2)c=-2a+-h(3)cos20=--
【解析】
【分析】
,根據(jù)G=|2;+5|Q萬+」)求得結(jié)果;(2)設(shè)
(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算可求得忸+可
c=Aa+^b,可構(gòu)造出關(guān)于4〃的方程組,解方程組求得結(jié)果;(3)利用向量數(shù)量積
求得cos。,根據(jù)二倍角余弦公式求得結(jié)果.
【詳解】
(1);2M+B=(2,4)+(-3,1)=(-1,5).?.怩+同=J(_iy+52;屆
-1(、一r\f^265屈1
二與2萬+Z?同向的單位向量:e=.笑+可(2〃+匕片[--26~,^26~
(2)設(shè)^=幾萬+[區(qū),則]_3,_T]=4(1,2)+〃(-3,1)=(X_3〃,2X+〃)
-3=2-3//A——2
,解得:〈
卜11尸,+〃1
1一
:.c=-2a-\--b
3
八ablx(-3)+2xl-172
(q)cos0=------=..,■—?—=—尸=-----
I列們VFTFXQL3)25010
’Fy丫2494.
cos20=2cos26>-1=2x----1=-----即cos26=---------
I10J2525
【點(diǎn)睛】
本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,涉及到向量數(shù)量積求向量夾角、平面向量基本定理的應(yīng)用、
同向的單位向量的求解,主要考查運(yùn)算能力.
21.在圖中,分別用向量表示A地至8,C兩地的位移,并根據(jù)圖中的比例尺,求出A
地至3,C兩地的實(shí)際距離(精確到1km).
【答案】A地至B,C兩地的位移分別用荏,/表示;A地至B,C兩地的實(shí)際距離分
別為15(切)2,31(hw).
【解析】
【分析】
用向量的寫法寫出A地至瓦C兩地的位移的表示方法,用刻度尺量出圖上AB兩點(diǎn)距
離,4c點(diǎn)距離,最后用根據(jù)比例尺計(jì)算出實(shí)際距離即可.
【詳解】
4地至B,C兩地的位移分別用瓦瓦表示,圖上A,B兩點(diǎn)距離、A,C點(diǎn)距離分別
為:1.5(加),3.l(cm),所以A地至B實(shí)際距離為:1.5x10々*1()6=1.5x1(/=I5(hn),
A地至C地的實(shí)際距離為:3.1X10-2X106=3.1X104=31(M-
【點(diǎn)睛】
本題考查了向量的實(shí)際應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(3,4),B(5,12).
(1)求6云?麗的值;
(2)若/AOB的平分線交線段AB于點(diǎn)D,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在單位圓上是否存在點(diǎn)C,使得夕.國(guó)=64?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)63;(2)J;(3)單位圓上存在點(diǎn)1,一不或
/2下石[、...
C,滿足題思.
155,
【解析】
【分析】
(1)分別表示出)與而,即可求
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