寒假作業(yè)13全等三角形的基本模型（14道經(jīng)典題型4道中考真題）-2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)13全等三角形的基本模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本課時(shí)就全等三角形中的六類基本模型（倍長(zhǎng)中線模型、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型、一線三等角（K字）模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、半角模型、對(duì)角互補(bǔ)模型）進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握.1．如圖，在中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3.故選A．2．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到的位置，連接，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．30° D．45°【答案】C【解析】如圖所示，連接，由題意得：，，∴為等邊三角形，∴，.在與中，，∴≌（SSS），∴，故選C．3．如圖，在中，，，D，E是斜邊上的兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【解析】如圖，將關(guān)于AE對(duì)稱得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選B．4．如圖，中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的面積是______．【答案】30【解析】如圖，延長(zhǎng)至，使，連接CE，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，．故答案為：305．如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）【答案】180°2x【解析】在CD上截取CE=CB，如圖所示，在△ABC和△AEC中，，∴△ABC≌△AEC(SAS)，∴AE=AB，∠B=∠AEC，∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，∴∠DAB+∠BCD=360°∠ABC∠CDA=360°180°=180°，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=x+x=2x，∴∠DAB=180°∠BCD=180°2x，故答案為：180°2x.6．如圖，在中，，分別過(guò)點(diǎn)B，C作過(guò)點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，垂足分別為D，E．若，求DE的長(zhǎng)．【解析】在中，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．7．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時(shí)，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS），故BE=CF.（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°60°90°90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=BD=BC=2，為定值.8．如圖，點(diǎn)為等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在和上，且，，，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】∵為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=×（180°120°）=30°，∴∠DBM=∠DCN=90°，如圖，延長(zhǎng)AC至H，使CH=BM，連接DH，∴∠DCH=90°，∴∠DBM=∠DCH，在△DBM和△DCH中，，∴△DBM≌△DCH（SAS），∴DM=DH，∠BDM=∠CDH，∵∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDN+∠CDH=60°，∴∠MDN=∠HDN，在△MDN和△HDN中，，∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN=HN=BM+CN，，，，即的邊長(zhǎng)為故答案為：.9．如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．【解析】（1）如圖1，過(guò)D作DM⊥AB于M，在中，，∴∠ABC＝45°，∵∠ACB＝90°，AD是角平分線，∴CD＝MD，∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，在和中，，∴（HL），∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD.（2）設(shè)∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連接DK，如圖2，∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK，∴BK＝BD，∵AD是角平分線，∴∠CAD＝∠KAD，在△CAD和△KAD中，，∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°?α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°?α，∴在△BDK中，180°?α＋180°?α＋90°?α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°.（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分線，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，則△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK∠CBA=40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．10．已知CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫(xiě)出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明．【解析】（1）①EF，BE，AF間的等量關(guān)系為：EF=BEAF.證明：當(dāng)∠α=90°時(shí)，∠BEC=∠CFA=90°，∵∠BCA=90°，∴∠BCE＋∠ACF=90°，∵∠BCE＋∠CBE=90°，∴∠ACF=∠CBE，∵AC=BC，∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF,CE=AF，∵CF=CE＋EF，∴EF=CFCE=BEAF.②∠α與∠BCA的關(guān)系為∠α+∠BCA=180°.當(dāng)∠α+∠BCA=180°時(shí)，①中結(jié)論仍然成立.理由是：如題圖2，∵∠BEC=∠CFA=∠α，，∠α+∠ACB=180°，，又∵，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF(AAS)，∴BE=CF,CE=AF，∴EF=CFCE=BE–AF.故答案為∠α+∠BCA=180°.（2）EF，BE，AF間的等量關(guān)系為EF=BE+AF，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE＋∠BEC=180°，∠BCE＋∠ACF+∠ACB=180°，∴∠EBC＋∠BCE=∠BCE＋∠ACF，∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA(AAS)，∴AF=CE，BE=CF，∵EF=CE+CF,∴EF=BE＋AF．11．綜合與實(shí)踐：（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，若∠MBN＝45°，則線段MN，AM，CN的等量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN，AM，CN有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M，N分別在DA，CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，則線段MN，AM，CN的等量關(guān)系為．【解析】（1）如圖1，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，圖1圖2圖3在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN.（2）MN=AM+CN.理由如下：如圖2，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'，C，N三點(diǎn)共線，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN.（3）MN=CNAM，理由如下：如圖3，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MBM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MBM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=CNCM'，

∴MN=CNAM．故答案是：MN=CNAM．12．【教材呈現(xiàn)】下面是某版本教材的內(nèi)容：如圖，在中，D是邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線CE，使，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：.證明：∵，（已知）∴，，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在與中，∵，（已證），，（已知）∴，∴．（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長(zhǎng)度的取值范圍是______．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長(zhǎng)．【解析】（1）如圖①，延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，ABBE＜AE＜AB+BE，∴64＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5.（2）結(jié)論：AD=AB+DC．理由：如圖②，延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD.（3）如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=ABCF=3．13．閱讀下面的證明過(guò)程：如圖1，、和都是直角三角形，其中，且直角頂點(diǎn)都在直線l上，求證：．證明：由題意，，,∴．在和中，，∴．像這種“在一條直線上有三個(gè)直角頂點(diǎn)”的幾何圖形，我們一般稱其為“一線三垂直”圖形，隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，我們還將對(duì)這類圖形有更深入的探索．請(qǐng)結(jié)合以上閱讀，解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作直線，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，探索，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖3，和都是等腰直角三角形，，，，且點(diǎn)E在上，連接，求證：．(3)如圖4，在一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為12米的高臺(tái)A，利用旗桿頂部的繩索，劃過(guò)到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為18米，高為4米的矮臺(tái)B，請(qǐng)寫(xiě)出旗桿的高度是_____．（不必書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程）【解析】（1），理由如下：∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴.（2）過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，

∵，∴，，∴，而，∴，∴，，∴，∴，∵，∴.（3）過(guò)A作，過(guò)B作，如圖，可證得，∴，，由題意知，，∴，∵，即，∴，∴，∴（米）．故答案是17米.14．綜合運(yùn)用：閱讀下面材料，小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，平分，．求證：.小明通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”兩種方法解決問(wèn)題：方法一：如圖2，在上截取，使得，連接，可以證得，并得到等腰三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．方法二：如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連接，可以得到等腰三角形，并可以證得，進(jìn)而解決問(wèn)題．(1)根據(jù)閱讀材料，任選一種方法（圖2或圖3）證明：；(2)如圖4，在中，E是上一點(diǎn)，，，于E，探究之間的等量關(guān)系，并證明．【解析】（1）用方法一證明，如圖2，∵平分，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴.用方法二證明，如圖3，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴.（2）之間的等量關(guān)系是，理由如下：如圖，在上截取，使，連接，∵，∴是等腰三角形，，，∵，∴，∴，∵，∴．15．（2023·四川遂寧·中考真題改編）如圖，以的邊，為腰分別向外作等腰直角、，連接，，，過(guò)點(diǎn)A的直線分別交線段,于點(diǎn),，以下說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，；②；③當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．正確的有．(填序號(hào))【答案】①②③【解析】①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，∴，∴，∵等腰直角、，∴，∴，∴.故①正確.②∵等腰直角、，∴，