浙江省寧波市九校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期期末九校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.四棱錐至多有幾個(gè)面是直角三角形？（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】在正方體中考慮一個(gè)四棱錐，即可得到四個(gè)面均為直角三角形.【詳解】在正方體中，取四棱錐，其四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，又四棱錐僅有四個(gè)三角形面，所以四棱錐至多有四個(gè)面是直角三角形.故選：C.2.已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線斜率的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式計(jì)算即可.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.故選：D3.若平面向量?jī)蓛傻膴A角相等，且，，，則（）A.1 B.4 C.1或4 D.1或2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到或，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求模即可.【詳解】設(shè)的夾角為，則或，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：C.4.已知m，n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，且，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，因?yàn)?，故，而，?若，則或相交，故是的必要不充分條件，故選：C.5.逢山開路，遇水架橋，我國摘取了一系列高速公路“世界之最”，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在三處測(cè)得道路一側(cè)山頂?shù)难鼋欠謩e為，其中，則此山的高度為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)在地面上的正投影為點(diǎn)，

則，,設(shè)山高，則，在中，，由余弦定理可得：，整理得，∴．故選：D．6.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，若復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合為圖形M，則M圍成的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由是方程的根求出，，然后由復(fù)數(shù)減法的幾何意義求解即可.【詳解】∵是關(guān)于的方程（，）的一個(gè)根，∴（，），化簡(jiǎn)得，∴，解得，∴，如圖所示復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和表示的點(diǎn)為和，表示的向量為和，則由復(fù)數(shù)減法的幾何意義，復(fù)數(shù)表示的向量為，若，則，∴點(diǎn)的集合圖形是以為圓心，半徑為的圓，∴圍成的面積為.故選：C.7.慢走是一種簡(jiǎn)單又優(yōu)良的鍛煉方式，它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等，小溫從小到大記錄了近6周的慢走里程（單位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中這6周的慢走里程的中位數(shù)為16，若要使這6周的周慢走里程的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，進(jìn)而求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，結(jié)合方差的公式，要使這6個(gè)月的月慢走里程的標(biāo)準(zhǔn)差最小，需要最小，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，可得，所以，所以這6個(gè)月的月慢走里程的平均數(shù)為，要使這6個(gè)月的月慢走里程的標(biāo)準(zhǔn)差最小，需要最小，又由，故當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差最小時(shí)，.故選：C8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件由余弦定理可得，再由，結(jié)合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計(jì)算可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡(jiǎn)可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了余弦定理，正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式求最值問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于由余弦定理得到，然后結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列描述正確的是（）A.若事件，相互獨(dú)立，，，則B.若三個(gè)事件，，兩兩獨(dú)立，則滿足C.若，，則事件，相互獨(dú)立與，互斥一定不能同時(shí)成立D.必然事件和不可能事件與任意事件相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概念及乘法公式直接可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：由，，則，，又事件，相互獨(dú)立，則，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：若三個(gè)事件，，兩兩獨(dú)立，由獨(dú)立事件的乘法公式，，，無法確定，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，若事件，相互獨(dú)立則，若事件，互斥，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：設(shè)任意事件發(fā)生的概率為，必然事件事件發(fā)生的概率為，不可能事件發(fā)生的概率為，則，，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.10.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部為 B.C.復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，幾何意義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，可得的虛部為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由，可得，則，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由，則，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在坐標(biāo)軸上，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，，所以，D選項(xiàng)正確；故選：BD.11.如圖，已知四面體的各條棱長(zhǎng)均等于2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).G為平面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐體積為B.線段的最小值為C.當(dāng)G落在直線上時(shí)，異面直線與所成角的余弦值最大為D.垂直于的一個(gè)面，截該四面體截得的截面面積最大為1【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，求出正四面體的高，點(diǎn)到平面的距離為，求出體積判斷；對(duì)B，作點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性得，求解判斷；對(duì)C，由最小角定理可知，與所成的最小角即與平面所成角，運(yùn)算得解判斷；對(duì)D，根據(jù)題意，可判斷平面截正四面體的截面為矩形，利用基本不等式求解.【詳解】對(duì)于A，如圖，作平面，垂足為，因?yàn)樗拿骟w為正四面體，則為三角形的中心，則，所以，即正四面體的高為，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)平面的距離的一半，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，作點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，連接交平面于點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線交平面于點(diǎn)，作，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)，則，，，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)落在直線上時(shí)，由最小角定理可知，與所成的最小角即與平面所成角，即，所以，所以，即異面直線與所成角余弦最大為，故C正確；對(duì)于D，如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，同理，設(shè)平面交正四面體的棱于點(diǎn)，棱于點(diǎn)，棱于點(diǎn)，棱于點(diǎn)，所以，，，，所以，，又，，是平面內(nèi)的相交直線，則平面，所以，則，即四邊形為矩形，即平面截正四面體的截面為矩形.設(shè)，即，，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以平面截該四面體截得的截面面積最大為1，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是作點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性求解；D選項(xiàng)，關(guān)鍵是判斷出平面截該四面體截得的截面為矩形.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，12.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)________.【答案】.【解析】【詳解】分析：利用平行線的充要條件列出方程求解即可.詳解：直線與平行，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，不滿足題意，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查平行線充要條件的應(yīng)用，意在考查基本性質(zhì)的掌握情況以及計(jì)算能力.13.已知圓O的直徑AB把圓分成上下兩個(gè)半圓，點(diǎn)C，D分別在上、下半圓上（都不與A，B點(diǎn)重合）若，，則_______.【答案】3【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則與定義即可得解.【詳解】依題意，連接，如圖，因?yàn)槭侵睆?，所以，所以，，所?故答案為：3.14.已知三棱錐的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且，，點(diǎn)為三棱錐的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_______.【答案】【解析】【分析】由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可擴(kuò)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球半徑得三棱錐的外接球半徑，由動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀，求軌跡長(zhǎng)度.【詳解】由題意可知，三棱錐的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且，如圖①所示，則有，把三棱錐擴(kuò)成長(zhǎng)方體，則有，解得，則長(zhǎng)方體外接球半徑，所以三棱錐的外接球半徑；點(diǎn)為三棱錐的外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖③所示，所以為等腰三角形，所以故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求三棱錐的外接球，解題關(guān)鍵是三組對(duì)棱分別相等的四面體（三棱錐），采用補(bǔ)形為長(zhǎng)方體（四面體的棱分別是長(zhǎng)方體各面的對(duì)角線），長(zhǎng)方體的外接球半徑即為三棱錐的外接球半徑.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1）用，表示；（2）求線段的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接可得解；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化法可得向量的模.【小問1詳解】由已知，且為的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，為等邊三角形，即，又為的中點(diǎn)，則，即；【小問2詳解】由已知，，三點(diǎn)共線，則，又因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，則有，解得，故有，所以.16.已知直線.（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由方程變形可得，列方程組，解方程即可；（2）數(shù)形結(jié)合，結(jié)合直線圖像可得解；（3）求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可得面積，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【小問1詳解】由，即，則，解得，所以直線過定點(diǎn)；【小問2詳解】如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；綜上所述；【小問3詳解】已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)直線的方程為，即.17.“數(shù)學(xué)好玩”是國際著名數(shù)學(xué)家陳省身贈(zèng)送給少年數(shù)學(xué)愛好者們的一句話某校為了更好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，激發(fā)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的興趣和熱情，特舉辦數(shù)學(xué)節(jié)活動(dòng).在活動(dòng)中，共有20道數(shù)學(xué)問題，滿分100分在所有的答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)分成六段：，，……，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a值，并估計(jì)該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；（2）活動(dòng)中，甲、乙、丙三位同學(xué)獨(dú)立參加競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)了12道，乙同學(xué)答對(duì)了8道，丙同學(xué)答對(duì)了n道，假設(shè)每道數(shù)學(xué)問題難度相當(dāng)，被答對(duì)的可能性都相同.（i）任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)的概率；（ii）任選一道數(shù)學(xué)問題，若甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)的概率為，求n的值.【答案】（1），75（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為即可求出，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法求中位數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)古典概型結(jié)合相互獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（ii）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式及對(duì)立事件的概率公式求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖有，得，因?yàn)?，，所以中位?shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則有，得，所以估計(jì)該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為75；【小問2詳解】設(shè)“任選一道題，甲答對(duì)”，“任選一道題，乙答對(duì)”，“任選一道題，丙答對(duì)”，則由古典概型概率計(jì)算公式得：，，，所以有，，，（i）記“甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)”，則有，且有與互斥，因?yàn)槊课煌瑢W(xué)獨(dú)立作答，所以A，B互相獨(dú)立，則A與，與B，與均相互獨(dú)立，所以，所以任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)的概率；（ii）記“甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)”，則，所以，解得：.18.如圖1，有一個(gè)邊長(zhǎng)為4正六邊形ABCDEF，將四邊形ADEF沿著AD翻折到四邊形ADGH的位置，連接BH，CG，形成的多面體ABCDGH如圖2所示.（1）求證：AD⊥CG；（2）若AH⊥CD，試求直線CH與平面ABCD所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為，M是線段CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M與C，G不重合），試問四棱錐與四棱錐的體積之和是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由【答案】（1）證明見解析（2）（3）是定值，【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到AD⊥NG，AD⊥NC，進(jìn)而得到線面垂直，得到AD⊥CG；（2）計(jì)算出，由勾股定理逆定理得到AC⊥CD，結(jié)合AH⊥CD，故CD⊥平面AHC，所以AH⊥CH，求出，根據(jù)求出點(diǎn)到平面的距離，求出CH與平面ABCD所成角的正弦值；（3）由二面角定義得到，作出輔助線，證明出線面垂直，并求出，從而得到.【小問1詳解】如圖，連接EC交AD于N，則N為CE的中點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)，⊥，可知AD⊥NG，AD⊥NC，因?yàn)椋琋G，平面GNC.故AD⊥平面GNC.而平面GNC，所以AD⊥CG.【小問2詳解】如圖，連接AC，在正六邊形中，，故，又，，則有，即AC⊥CD，又因?yàn)锳H⊥CD，故CD⊥平面AHC，連接FD，同理AF⊥FD，即AH⊥HD，即有AH⊥平面CDH.所以AH⊥CH.因?yàn)?，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，有，解得.設(shè)CH與平面ABCD所成的角為，則.所以CH與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（1）知