大學(xué)物理授課教案 第七章 真空中的靜電場

大學(xué)物理授課教案_第七章_真空中的靜電場

第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）

第三篇電磁學(xué)

第七章真空中的靜電場

本章只討論真空中的電場，下一章再討論介質(zhì)中靜電場。

靜電場：相對于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場。

§7-1電荷庫侖定律

一、電荷

種類正電荷1、電荷負(fù)電荷作用同性相斥異性相吸

（一般地說：使物體帶電就是使它獲得多余的電子或從它取出一些電子）

2、電荷守恒定律

電荷從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，這稱為電荷守恒定律。它是物理學(xué)的基本定律之一。

3、電荷量子化

在自然界中所觀察到的電荷均為基本電荷e的整數(shù)倍。這也是自然界中的一條基本規(guī)律，表明電荷是量子化的。直到現(xiàn)在還沒有足夠的實驗來否定這個規(guī)律。

二、庫侖定律

點電荷：帶電體本身線度比它到其他帶電體間的距離小得多時，帶電體的大小和形狀可忽略不計，這個帶電體稱為點電荷。（如同質(zhì)點一樣，是假想模型）

庫侖定律：真空中兩點電荷之間的相互作用力大小與他們電量乘積成正比，與他們之間距離成反比，方向在他們連線上，同性相斥、異性相吸。這叫做庫侖定律。它構(gòu)成全部

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靜電學(xué)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)表達(dá)式：q2受q1的作用力：

qqF12k1

220斥力（同號）r120吸引（異號）采用國際單位制，其中的比例常數(shù)k9109Nm2/c2。

寫成矢量形式：q1q2r12q1q2F12k2kr123r12r12r12

令k1

40，08.851012c2/Nm2

1q1q2r12（7-1）340r12說明：①F12是q1對q2是作用力，r12是由q1指到q2的矢量。F12

②q2對q1的作用力為：

1q1q2q1q2F21r21r12F12340r2140r12

③庫侖定律的形式與萬有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力，后者只是引力，這是區(qū)別。

§7-2電場電場強度

一、電場

1、電荷間作用

電荷間作用原有不同看法，在很長的時間內(nèi)，人們認(rèn)為帶電體之間是超距作用，即二者直接作用，發(fā)生作用也不用時間傳遞。即

直接作用兩種看法①超距作用：電荷電荷不看傳遞時間

近代物理學(xué)證明后者是正確的。

2、靜電場的主要表現(xiàn)到了上世紀(jì)，法拉第提出新的觀點，認(rèn)為在帶電體周圍存在著電場，其他帶電體受到的電力是電場給予的，即②場觀點：電荷場電荷

表現(xiàn)電場力：放到電場中的電荷要受到電場力。電場力作功：電荷在電場中移動時，電場力要作功。

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二、電場強度

從靜電場的力的表現(xiàn)出發(fā)，利用試驗電荷來引出電場強度概念來描述電場的性質(zhì)。試驗電荷q0（點電荷且q0很小），放入A點，它受的電場力為F，試驗發(fā)現(xiàn)，將q0加倍。則受的電場力也增加為相同的倍數(shù)，即

實驗電荷：q02q03q0…nq0受力：F2F3F…nF力F2F3FnF實驗電荷q02q03q0nq0F可見，這些比值都為，該比值與試驗電荷無關(guān)，僅與A點電場性質(zhì)有關(guān)，因此，可q0F以用來描述電場的性質(zhì)，q0定義：

（7-2）為電荷q的電場在AE單位正電荷受的作用力F0

三、場強疊加原理

試驗電荷放在點電荷系q1、q2、q3qn所產(chǎn)生電場中的A點，實驗表明q0在A處受的電場力F是各個點電荷各自對q0作用力F1、F2、F3Fn的矢量和，即：FF1F2F3FnFF1F2F3FnE1

E2E3En按場強定義：Eq0q0q0q0q

（7-3）

上式表明，生的場強矢量和，這稱為場強疊加原理。

四、場強計算

1、點電荷電場的電場強度

在A處產(chǎn)生的場強為：假設(shè)A處有試驗電荷，qq受力為F，有F1qq0Erq0q040r3

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即

(7-4)r由q指向A，q>0E與r同向（由qA）<0E與r反向（由Aq）*點電荷電場球?qū)ΨQ。

2、點電荷系電場的電場強度

E

i1nq140r13qirir1q240r23r2qn40rn3rn40ri3

即

(7-5)

3、連續(xù)帶電體電場的電場強度

把連續(xù)帶電體分成無限多個電荷元，看成點電荷，可有：

dq產(chǎn)生場強為dErdq34r0

dqr總場強EdE340rq

4、電偶極子

等量異號點電荷相距為l，如圖所示，這樣一對點電荷稱為電偶極子。由-qq的矢量l叫做電偶極子的軸，pql叫做電偶極子的電矩。

*在一正常分子中有相等的正負(fù)電荷，當(dāng)正、負(fù)電荷的中心不重合時，這個分子構(gòu)成了一個電偶極子。

例7-1：已知電偶極子電矩為p，求

⑴電偶極子在它軸線的延長線上一點A的E

A

；

⑵電偶極子在它軸線的中垂線上一點B的EB。

解：⑴如圖所取坐標(biāo)，EAEE

Eql40r22

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l40r2

22llrrq011q220EAEE2222404llll0rrrr2222

q2lr2ql2prl223340440r40rllr112r2r2p（與同向）EAEpA340rEq2

⑵如圖所取坐標(biāo)EBEE

qE2l240r22

EEEEcosEcos2EcosBx

l

qgl23222l2l22l22r40r404r44

glprl3340r40r

EBy0pEBEBx340r

*分立電荷產(chǎn)生場強的疊加問題。

例7-2：設(shè)電荷q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上，計算在環(huán)的軸線上與環(huán)心相距x的p

點的場強。

解：如圖所取坐標(biāo)，x軸在圓環(huán)軸線上，把圓環(huán)分成一系列點電荷，dl部分在p點產(chǎn)生的電場為：

dldl22240r40xRq電荷線密度2RdE

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dE//dEcos

E//2Rxdl40x2R322xdl

40x2R40x2R40x2R

根據(jù)對稱性可知，E0

qx∴EE//3

40x2R22>0：E沿x軸正向q<0：E沿x軸負(fù)向（x軸上E關(guān)于原點對稱）結(jié)論：E與圓環(huán)平面垂直，環(huán)中心處E=0，也可用對稱性判斷。

q*xR，E240x03222Rx322qx322例7-3：半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為，計算軸線上與盤心相距x的p點

的場強。

解：如圖所示，x軸在圓盤軸線上，把圓盤分成一系列的同心圓環(huán)，半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)在p點產(chǎn)生的場強為：

xdq（均勻帶電圓環(huán)結(jié)果）dE//3

40x2r22

x2rdrxrdr332040x2r22x2r22∵各環(huán)在p點產(chǎn)生場強方向均相同，

∴整個圓盤在p點產(chǎn)生場強為：

RxrdrE//dE//302220xr2

xRrdr3020x2r22

x1Rd(x2r2)30202222xrR

x11111202x2r2220

x1120x2R2x

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22xR

>0：背離圓盤

<0：指向圓盤即E與盤面垂直（E關(guān)于盤面對稱）xx120

討論：R時，變成無限大帶電薄平板，E//，方向與帶電平板垂直。20例7-4：有一均勻帶電直線，長為l，電量為q，求距它為r處p點場強。解：如圖所取坐標(biāo)，把帶電體分成一系列點電荷，dy段在p處產(chǎn)生場強為：

dqdyqdE()①22240r40(yr)l

由圖知：yrtgrtgrtgrctg22dyrcsc2ddy代⑴中有：dE'240r

dExdEcosdEcos()2dydEcos()dEsinsin'2240r

yrtgrtgrtgrctg22

rrdyrcsc2d，r'cossin

rcsc2ddEx240rsin2

2sind(cos1cos2)ExdEx4r4r001

dEydEsindEcos

2

EydEycosd(sin2sin1)4r4r001

討論：無限長均勻帶電直線10,2,Ex,Ey0.20r即無限均勻帶電直線，電場垂直直線，0，E背向直線；0，E指向

直線。

例7-5：有一無限大均勻帶電平面，電荷面密度為，求在平面附近任一點場強。

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解：如圖所取坐標(biāo)，x軸垂直帶電平面，把帶電平面分成一系列平行于z軸的無限長窄條，陰影部分在p點產(chǎn)生場強為（無限長均勻帶電直線結(jié)果）

dy1dE20r20r

dyxxdydExdEcos1222220xyxy20x2y22

xdyxdyExdEx222220xy20xyx11yAg20xx202220

EydEy0（由對稱性可知）

結(jié)論：無限大均勻帶電平面產(chǎn)生均勻場，大小為

20

>0背離平面<0指向平面

§7-3電力線電通量

一、電力線

電力線是為了描述電場所引進(jìn)的輔助概念，它并不真實存在。

1、E用電力線描述

規(guī)定：E

方向：電力線切線方向

dN大小：E的大小=該電力線密度=垂直通過單位面積的電力線條數(shù)=ds

dN即Eds（即：某點場強大小=過該點并垂直于E的面元上的電力線密度。）

2、靜電場中電力線性質(zhì)

⑴不閉合、不中斷、起自正電荷，止于負(fù)電荷。

⑵任意兩條電力線不能相交，這是某一點只有一個場強方向的要求。

二、電通量

定義：通過電場中某一面的電力線數(shù)叫做通過該面的電場強度通量，用e表示。

第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）下面分幾種情況討論。

1、勻強電場⑴平面S與E垂直。如圖所示，由E的

eES大小描述可知：

⑵平面S與E夾角為，如圖所示，由E的大小描述知：eESEScosES(SSn)

式中n為S的單位法線向量。

2、在任意電場中通過任意曲面S的電通量

如圖所示，在S上取面元dS，dS可看成平面，dS上E可視為均勻，設(shè)n為dS單位法向向量，dS與該處E夾角E為，則通過dS電場強度通量為：deEdS

通過曲面S的電場強度通量為：

edeEdS

（7-6）

在任意電場中通過封閉曲面的電場強度通量（7-7）

注意：通常取面元外法向為正。

§7-4高斯定理

一、高斯定理

高斯定理是關(guān)于通過電場中任一閉合曲面電通量的定理，現(xiàn)在從一簡單例子講起。

1、如圖所示，q為正點電荷，S為以q為中心以任意r為半徑的球面，S上任一點p處E為：

qEr40r3

2、通過閉合曲面S的電場強度通量為：

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s40rs40r（r、dS同向）

qqqdSdS224r4r000ssseEdSqr3dSnq3rdS

結(jié)論：e與r無關(guān)，僅與q有關(guān)(0const)

2、點電荷電場中任意閉合曲面S的電場強度通量

⑴q在S內(nèi)情形

如圖所示，在S內(nèi)做一個以q為中心，

任意半徑r的閉合球面S1，由1知，通過S1q的電場強度通量為。∵通過S1的電力線0必通過S，即此時eses，∴通過S的電1q0場強度通量為eEdS0s⑵q在S外情形。

此時，進(jìn)入S面內(nèi)的電力線必穿出S面，即

穿入與穿出S面的電力線數(shù)相等，∴eEdS0

s

結(jié)論：S外電荷對e無貢獻(xiàn)

qeq在S內(nèi)00q在S外

3、點電荷情況

在點電荷q1,q2,q3,qn電場中，任一點場強為EE1E2E3En

通過某一閉合曲面電場強度通量為：eEdSE1E2E3EndS

ss

1E1d

S

E2dSE3dSEn

dS

ss0qS內(nèi)

即（7-8）上式表示：在真空中通過任意閉合曲面的電通量等于該曲面所包圍的一切電荷的代數(shù)和除以0。這就是真空中的高斯定理。上式為高斯定理數(shù)學(xué)表達(dá)式，高斯定理中閉合曲面稱為高斯面。

說明：⑴以上是通過用閉合曲面的電通量概念來說明高斯定理，僅是為了便于理解

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而用的一種形象解釋，不是高斯定理的證明

⑵高斯定理是在庫侖定律基礎(chǔ)上得到的，但是前者適用范圍比后者更廣泛。

后者只適用于真空中的靜電場，而前者適用于靜電場和隨時間變化的場，

高斯定理是電磁理論的基本方程之一。

⑶高斯定理表明，通過閉合曲面的電通量只與閉合面內(nèi)的自由電荷代數(shù)和有

關(guān)，而與閉合曲面外的電荷無關(guān)。

1當(dāng)eEdS

s0S內(nèi)>0時，不能說S內(nèi)只有正電荷q<0時，不能說S內(nèi)只有負(fù)電荷

=0時，不能說S內(nèi)無電荷

注意：這些都是S內(nèi)電荷代數(shù)和的結(jié)果和表現(xiàn)。1⑷高斯定理說明eEdSq與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)，這并不0S內(nèi)s是說E只與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)。實際上，E是由S內(nèi)、外所有電荷

產(chǎn)生的結(jié)果。

⑸高斯面可由我們?nèi)芜x。

二、高斯定理應(yīng)用舉例

下面介紹應(yīng)用高斯定理計算幾種簡單而又有對稱性的場強方法?？梢钥吹?，應(yīng)用高斯定理求場強比前面介紹的方法更為簡單。

例7-6：一均勻帶電球面，半徑為R，電荷為q，求：球面內(nèi)外任一點場強。

解：由題意知，電荷分布是球?qū)ΨQ的，產(chǎn)生的電場是球?qū)ΨQ的，場強方向沿半徑向外，以O(shè)為球心任意球面上的各點E值相等。

⑴球面內(nèi)任一點P1的場強

以O(shè)為圓心，通過P1點做半徑為r1的球面S1為高斯面，高斯定理為：1EdSq0S1內(nèi)s1∵E與dS同向，且S1上E值不變∴EdSEdSEdSE4r12

s1s1s1

1

0q0S1內(nèi)

E4r120

∴E0

即均勻帶電球面內(nèi)任一點P1場強為零。

注意：1）不是每個面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生的場強為零，而是所有面元上電荷在

球面內(nèi)產(chǎn)生場強的矢量和=0。

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2）非均勻帶電球面在球面內(nèi)任一點產(chǎn)生的場強不可能都為零。（在個別點有

可能為零）

⑵球面外任一點的場強

以O(shè)為圓心，通過P2點以半徑r2做一球面S2作為高斯面，由高斯定理有：

1E4r22q0

qE240r

方向：沿OP2方向（若q0，則沿方向）

結(jié)論：均勻帶電球面外任一點的場強，如圖電荷全部集中在球心處的點電荷在該點

產(chǎn)生的場強一樣。

E0(rR)

q(rR)圖7-20240r

例7-7：有均勻帶電的球體，半徑為R，電量為q，求球內(nèi)外場強（8-13）。

解：由題意知，電荷分布具有球?qū)ΨQ性，∴電場也具有對稱性，場強方向由球心向外輻射，在以O(shè)為圓心的任意球面上各點的E相同。（1）球內(nèi)任一點P1的E?

以O(shè)為球心，過P1點做半徑為r1的高斯球面S1，高斯定理為：

1EdSq0S1內(nèi)s1E∵E與dS同向，且S1上各點值相等，2∴EdSEdSEdSE4r1

s1s1s1

q4q3r13r3140S1內(nèi)0R0R33

3

q3E4r12r10R3

qr1∴E40R3

（若q0，則E沿P1方向）E沿方向。結(jié)論：Er11q

注意：不要認(rèn)為S1外任一電荷元在P1處產(chǎn)生的場強為0，而是S1外所有電荷元在

P1點產(chǎn)生的場強的疊加為0。（2）球外任一點P2的E?

以O(shè)為球心，過P2點做半徑為r2的球形高斯面S2，高斯定理為：

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s21EdS0

1qS2內(nèi)由此有：E4r220

qqE

E沿OP2方向4r202

結(jié)論：均勻帶電球體外任一點的場強，如同電荷

全部集中在球心處的點電荷產(chǎn)生的場強一樣。

qr(rR)E4R311

q4r2(rR)

Er曲線如左圖。

例7-8：一無限長均勻帶電直線，設(shè)電荷線密度為，求直線外任一點場強。解：由題意知，這里的電場是關(guān)于直線軸對稱的，E的方向垂直直線。在以直線為軸的任一圓柱面上的各點場強大小是等值的。以直線為軸線，過考察點P做半徑為r高為h的圓柱高斯面，上底為S1、下底為S2，側(cè)面為S3。

1高斯定理為：EdSq0S內(nèi)s

在此，有：EdSEdSEdSEdS

ss1s2s3∵在S1、S2上各面元dSE，∴前二項積分=0又在S3上E與dS方向一致，且E=常數(shù)，∴EdSEdSEdSEdSE2rh

ss3s3s3

1

0qS內(nèi)10h

1E2rh0h

20r即E

由帶電直線指向考察點。（若，則EE由考察點指向帶電直線）0

上面結(jié)果將與例4結(jié)果一致。

例7-9：無限長均勻帶電圓柱面，半徑為R，電荷面密度為0，求柱面內(nèi)外任一點

場強。

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解：由題意知，柱面產(chǎn)生的電場具有軸對稱性，場強方向由柱面軸線向外輻射，并且任意以柱面軸線為軸的圓柱面上各點E值相等。1）帶電圓柱面內(nèi)任一點P1的E?

以O(shè)O’為軸，過P1點做以r1為半徑高為h的圓柱高斯面，上底為S1，下底為S2，側(cè)面為S3。高斯定理為：1EdSq0S內(nèi)s在此，有：EdSEdSEdSEdS

∵在S1、S2上各面元dS1E，∴上式前二項積分=0，又在S3上dS與E同向，且E=常數(shù)，∴EdSEdSEdSE2r1h

ss3s3ss1s2s3

1

0S

E2r1h0

∴E0內(nèi)q0

結(jié)論：無限長均勻帶電圓筒內(nèi)任一點場強=02）帶電柱面外任一點場強E?

以O(shè)O'為軸，過P2點做半徑為r2高為h的圓柱形高斯面，上底為S1’，下底為S2’，

側(cè)面為S3’。由高斯定理有：

1E2r1h2Rh0

2RE20r2

∵2R2R1=單位長柱面的電荷（電荷線密度）=∴E，E由軸線指向P2。0時，E沿P2指向軸線20r2

結(jié)論：無限長均勻帶電圓柱面在其外任一點的場強，如全部電荷都集中在帶電柱面

的軸線上的無限長均勻帶電直線產(chǎn)生的場強一樣。

例7-10：無限大均勻帶電平面，電荷面密度為，求平面外任一點場強。

解：由題意知，平面產(chǎn)生的電場是關(guān)于平面二側(cè)對稱的，場強方向垂直平面，距平面相同的任意二點處的E值相等。設(shè)P為考察點，過P點做一底面平行于平面的關(guān)于平面又對稱的圓柱形高斯面，右端面為S1，左端面為S2，側(cè)面為S3，高斯定理為：1EqsdS0S內(nèi)在此，有：

EdSEdSEdSEdSss1s2s3

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∵在S3上的各面元dSE，∴第三項積分=0又∵在S1、S2上各面元dS與E同向，且在S1、S2上E=常數(shù)，

∴有：EdSEdSEdSEdSEdSES1ES22ES1ss1s2s1s2

1

0qS內(nèi)10

1S1S10

即：E（均勻電場）20。此結(jié)論與例5完全一致。E垂直平面指向考察點（若0，則E由考察點指向平面）

例7-11：有二平行無限大均勻帶電平板A、B，電荷面密度分別為1）,；2）,。

求：板內(nèi)、外場強。

解：1）設(shè)P1為板內(nèi)任一點，有EEAEB

即：EEAEB02020

設(shè)P2為B右側(cè)任一點（也可取在A左側(cè)），EEAEB

即EEAEB20200

2）設(shè)P3為二板內(nèi)任一點，EEAEB

即EEAEB20200

設(shè)P4為B右側(cè)任一點（也可取在A左側(cè)）EEAEB

0即：EEAEB2020

上面，我們應(yīng)用高斯定理求出了幾種帶電體產(chǎn)生的場強，從這幾個例子看出，用高斯定理求場強是比較簡單的。但是，我們應(yīng)該明確，雖然高斯定理是普遍成立的，但是任何帶電體產(chǎn)生的場強不是都能由它計算出，因為這樣的計算是有條件的，它要求電場分布具有一定的對稱性，在具有某種對稱性時，才能適選高斯面，從而很方便的計算出值。應(yīng)用高斯定理時，要注意下面環(huán)節(jié)：1）分析對稱性；2）適選高斯面；3）計算EdS?sE2S11

01q?E4）由高斯定理dSS內(nèi)s0q求出E。

S內(nèi)

第七章真空中的靜電場沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）

§7-5靜電場力的功電勢

此前，從靜電場力的表現(xiàn)引入了場強這一物理量來描述靜電場。這一節(jié)，我們將從靜電場力作功的表現(xiàn)來闡述電勢這一物理量來描述靜電場的性質(zhì)。一、靜電場力的功

力學(xué)中引進(jìn)了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只與始末二位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。前面學(xué)過的保守力有重力、彈性力、萬有引力等。在保守力場中可以引進(jìn)勢能的概念，并且保守力的功

W=勢能增量的負(fù)值(Ep)（7-9）

在此，我們研究一下靜電力是否為保守力。1、點電荷情況

點電荷q置于O點，實驗電荷q0由a點

運動到b點。在c處，q0在位移dr內(nèi)，靜電力F對q0的功為：

o

qq0dWFdrq0Edrrdr

3

40r

∵rrr2

∴drrrdr2rdr

2rdr2rdrqq0qq0

rdrdr∴dW

40r340r2

圖7-28

qq0rb1qq011

ab:WdW（7-10）

40rar240rarb

可見：W僅與q0的始末二位置有關(guān)，而與過程無關(guān)。2、點電荷系情況

、qn的電場中，由場強迭加原理有：設(shè)q0在q1、q2、

EE1E2En

q0從ab中，靜電場力的功為：

WFdrq0Edrq0E1drq0E2drq0Endr

ab

ab

ab

ab

ab

∵上式左邊每一項都只與q0始末二位置有關(guān)，而與過程無關(guān)，∴點電荷系靜電力對q0作的功只與q0始末二位置有關(guān)，而與過程無關(guān)。

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3、連續(xù)帶電體情況

對連續(xù)帶電體，可看成是很多個點電荷組成的點電荷系，所以2中結(jié)論仍成立。綜上所述，靜電場力為保守力（靜電場為保守力場）。q0在靜電場中運動一周，靜電力對它作功為：qEdl0（代替）dldr0l

q00（7-11）此式表明，靜電場中的環(huán)流=0（任何矢量沿閉合路徑的線積分稱為該矢量的環(huán)流），這一結(jié)論叫做場強環(huán)流定律。

靜電場的環(huán)流定律是靜電場的重要特征之一，靜電學(xué)中的一切結(jié)論都可以從高斯定理及場強的環(huán)流定律得出。他們是靜電場的基本定律。（（7-10）、（7-11）等價，由（7-11）知，電場線不可能閉合）

二、電勢能電勢

1、電勢能：

Epb∵靜電場為保守力場，∴可以引進(jìn)相應(yīng)勢能的概念，此勢能叫做電勢能。設(shè)Epa、

為q0在a、b二點的電勢能，可有

EpbEpaWabq0baEdr（7-12）

電勢能的零點與其他勢能零點一樣，也是任意選的，∴對于有限帶電體，一般選無限遠(yuǎn)處Ep0（電勢能只有相對意義，而無絕對意義）選Epb0，令b點在無窮遠(yuǎn)，有

Epaq0

此,電勢能零點取在無限遠(yuǎn)處。

2、電勢baEdr結(jié)論：q0在電場中某點的電勢能=q0從該點移到電勢能為零處電場力所作的功，在

q0F與q0無關(guān)。它如同E一樣，反映的是電場本身的性質(zhì)，該物理量稱為電勢，記做Ua，q0

Epa定義：Ua為a點電勢，選Epb0時，有

q0

（7-13）由Epa表達(dá)式知，它與位置a有關(guān)，還有q0有關(guān)。但是Epa且僅與位置a有關(guān)，而

選b，有

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Ua

a

Edr（7-14）

結(jié)論：電場中某一點a的電勢等于單位正電荷從該點移到電勢為零處（即電勢能為

零處）靜電力對它做的功。A點電勢等于把單位正電荷從該點移到電勢為零點電場力做的功。

說明：1）Ua為標(biāo)量，可正、負(fù)或0。單位：V

2）電勢的零點（電勢能零點）任選。在理論上對有限帶電體通常取無窮遠(yuǎn)

處電勢=0，在實用上通常取地球為電勢零點。一方面因為地球是一個很大的導(dǎo)體，它本身的電勢比較穩(wěn)定，適宜于作為電勢零點，另一方面任何其他地方都可以方便地將帶電體與地球比較，以確定電勢。3）電勢與電勢能是兩個不同概念，電勢是電場具有的性質(zhì)，而電勢能是電

場中電荷與電場組成的系統(tǒng)所共有的，若電場中不引進(jìn)電荷也就無電勢能，但是各點電勢還是存在的。4）場強的方向即為電勢的降落方向。

3.電勢差：

電場中任意二點電勢差，稱為他們的電勢差。

b

uaubEdrEdrEdr

aa

（7-15）

結(jié)論：a、b二點電勢差等于單位正電荷從ab靜電力做的功。三、電勢的計算

1、點電荷電勢：

40r3

qq

可沿r方向積分dr

a4r240r0

a

a

ua

Edr

q

rdr

2、點電荷系電勢

，qn，設(shè)有點電荷q1，q2，

uaEdrE1E2Endr

aa

E1drE2drEndr

q1

圖7-29

a

aaa

q40r1

q240r2

qn40rn

n

圖7-30

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i1nqi40ri

（7-16）

結(jié)論：點電荷系中某點電勢等于各個點電荷單獨存在時產(chǎn)生電勢的代數(shù)和，

此結(jié)論為靜電場中的電勢疊加原理。

3、連續(xù)帶電體電勢

設(shè)連續(xù)帶電體由無窮多個電荷元組成，每個電荷元視為點電荷，dq在a處產(chǎn)生電dq勢為：dua40r整個帶電體在a處產(chǎn)生的電勢為：

dquaduaq4r0

例7-12：均勻帶電圓環(huán)、半徑為R，電荷為q，

求其軸線上任一點電勢。

解：如圖所示，x軸在圓環(huán)軸線上，

〈方法一〉用upEdr解：x圖7-31

圓環(huán)在其軸線上任一點產(chǎn)生的場強為

qx（E與x軸平行）E3

40R2x22

upEdrx

積分與路徑無關(guān)，可沿x軸Edxx

qx

40R2xx322

1dR2x2

34

02xR2x22qdx

1114022q0

40Rx22q1Rx22x

〈方法二〉用電勢疊加原理解updup

把圓環(huán)分成一系列電荷元，每個電荷元視為點電荷，dE在p點產(chǎn)生電勢為：

dup

dq40r

dq40Rxdq

2

2

整個環(huán)在p點產(chǎn)生電勢為：

updup

q

40Rx

22

q40Rx

2

2

討論：1）x0處，up

q

40Rq

2）xR時，up，環(huán)可視為點電荷。

40x

例7-13：一均勻帶電球面，半徑為R，電荷為q，

求球面外任一點電勢。

解：如圖所取坐標(biāo)，場強分布為

E0（球面內(nèi)）

q

r（球面外）

3

40r球面外任一點P1處電勢

up1

r1

r1

EdrEdr（∵積分與路徑無關(guān)，∴可沿r1方向）

r1

q40r

dr2

q40r

結(jié)論：均勻帶電球面外任一點電勢，如同全部電荷都集中在球心的點電荷一樣。

球面內(nèi)任一點P2電勢Rup2EdrEdrEdr

r2

r2

R

EdrR

R

q40r

2

dr

q40R

可見，球面內(nèi)任一點電勢與球面上電勢相等。（∵球面內(nèi)任一點E0，∴在球面內(nèi)

移動試驗電荷時，無電場力作功，即電勢差=0，∴有上面結(jié)論）

例7-14：有二個同心球面，半徑為R1、R2，電荷為q，q，求二面的電勢差。

R2

解：〈方法一〉用u內(nèi)u外Edr解

R1

在二球面間，場強為：

qEr3

40r

R2

u內(nèi)u外Edr

R1

R2

積分與路徑無關(guān)，可沿r

R1

q40r2

dr

q11

(0,u內(nèi)u外)

40R1R2

〈方法二〉用電勢疊加原理解

內(nèi)球面在二球面上產(chǎn)生電勢分別為：

q

uq內(nèi)40R1

quq外

40R2

外球面在二球面上產(chǎn)生電勢分別為：

q

uq內(nèi)

40R1

quq外

40R2

二球面電勢分別為：

q11

u內(nèi)uq內(nèi)uq內(nèi)

40R1R2

u外uq外uq外0u內(nèi)u外

q1140RR21

注意電勢計算方法。

§7-6等勢面場強與電勢的關(guān)系

一、等勢面

1、等勢面：電勢相等的點連接起來構(gòu)成的曲面稱為等勢面。

如：在距點電荷距離相等的點處電勢是相等的，這些點構(gòu)成的曲面是以點電荷為球心的球面?？梢婞c電荷電場中的等勢面是一系列同心的球面，如左圖所示。2、場中等勢面性質(zhì)

1）等勢面上移動電荷時電場力不作功

設(shè)：設(shè)點電荷q0沿等勢面從a點運動到b點電場力作功為：

WabEpbEpaq0ubua

ubua0

2）任何靜電場中電力線與等勢面正交證：如下圖所示，設(shè)點電荷q0自a沿等勢

面發(fā)生以位移dl，電場力作功為：

dWq0Edlq0Edlcos∵在等勢面上運動，∴dW0

q0Edlcos0∵q0,E0,dl0

2

故電力線與等勢面正交，E垂直于等勢面。

∴cos0，即

說明：在相鄰等勢面電勢差為常數(shù)時，等勢面密集地方場強較強。二、場強與電勢關(guān)系

E

是描述電場性質(zhì)的物理量，他們應(yīng)有一定的關(guān)系，

前面已學(xué)過E、u之間有一種積分關(guān)系

uaEdl（無限遠(yuǎn)處u0）

a

那么，E、u之間是否還存在著微分關(guān)系呢？這正是下