北京市海淀區(qū)2025屆高三上學期 數(shù)學統(tǒng)練4（含解析）

2024-2025高三上數(shù)學統(tǒng)練4一．選擇題（共10小題）1．復數(shù)滿足，則（）A．1 B． C．2 D．2．已知集合，則等于（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，在定義域上為增函數(shù)且為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．已知兩個向量，且，則的值為（）A．1 B．2 C．4 D．85．在下列關(guān)于直線與平面的命題中，真命題是（）A．若，且，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，且，則6．已知向量與向量的夾角為，則（）A．3 B． C． D．17．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時．如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成．這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（）的（細管長度忽略不計）．假設細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．這個沙堆的高與圓錐的高的比值為（）A． B． C． D．9．已知某種垃圾的分解率為，與時間（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中為非零常數(shù)）．若經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為，經(jīng)過24個月，這種垃圾的分解率為，那么這種垃圾完全分解，至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：．）A．48個月 B.52個月 C．64個月 D．120個月10．如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點，（在的左邊），且．下列說法不正確的是（）A．當運動時，二面角的最小值為B．當運動時，三棱錐體積不變C．當運動時，存在點使得D．當運動時，二面角為定值二．填空題（共5小題）11．函數(shù)的定義域是________．12．在中，，則的面積為________．13．在等比數(shù)列中，，則公比________；若，則的最大值為________．14．已知等邊的邊長為分別是的中點，則________；若是線段上的動點，且，則的最小值為________．15．對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有________①；②；③；④．（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則實數(shù)的取值范圍是________．三．解答題（共2小題）16．在中，．（1）求；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：邊上的高為2；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第二問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，則按第一個解答計分．17．已知函數(shù)，（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求證，當時，；（Ⅲ）設實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．2024-2025高三上數(shù)學統(tǒng)練4參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．【分析】先對化簡，再結(jié)合復數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：，故．故選：D．【點評】本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合，則．故選：A．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】分別結(jié)合奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項即可求解．【解答】解：A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，符合題意；C：在上不單調(diào)，不符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了基本初等函數(shù)的奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)試題．4．【分析】，則存在實數(shù)使得，即可得出．【解答】解：存在實數(shù)使得，，解得．則．故選：C．【點評】本題考查了向量共線定理、方程組的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)線面垂直的定義和定理，注意緊扣面面垂直的性質(zhì)定理的條件逐項判斷，分析可得答案．【解答】解：A不正確，由面面垂直的性質(zhì)定理可推出；C不正確，可能與異面；B正確，由線面垂直的定義和定理，面面平行的性質(zhì)定理可推出；D不正確，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，，且，則．故選：B．【點評】本題考查了空間線面的位置關(guān)系，垂直和平行的定理的應用，屬基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)模長公式即可求解．【解答】解：已知向量與向量的夾角為，則，則．故選：B．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量的模的運算，屬基礎(chǔ)題．7．【分析】考慮中的取值范圍，再判斷充分性與必要性是否成立．【解答】解：中，，所以時，，充分性成立；若，則或或不存在，所以必要性不成立；是充分不必要條件．故選：A．【點評】本題考查了充分與必要條件的判斷問題，是基礎(chǔ)題．8．【分析】細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設圓錐的底面半徑為，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，求出細沙的體積，再設細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的高為，求出細沙的體積，由體積相等求解，則答案可求．【解答】解：細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設圓錐的底面半徑為，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，細沙的體積為．細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑，設高為，則，得．．故選：A．【點評】本題考查圓錐體積公式的應用，考查計算能力，是中檔題．9．【分析】由題意可得，，解得，故，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．【解答】解：由題意可得，，解得，故，令，可得，即．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】對A：建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角夾角的余弦值，根據(jù)其范圍，即可判斷；對B：利用棱錐體積公式，即可求得三棱錐的體積，即可判斷．對C：由反證法判斷；對D：平面即為平面，平面即為平面，從而得出二面角為定值．【解答】解：對：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，因為在上，且，可設，則，設平面的法向量為，所以，取，則，平面的法向量為，所以，設二面角的平面角為，則為銳角，故，因為，在上單調(diào)遞減，所以，當且僅當時，取得最大值，即取最小值，故A說法正確．對B：因為，點到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故B說法正確．對C：若，則四點共面，與和是異面直線矛盾，故C說法錯誤．對D：連接，平面即為平面，而平面即為平面，故當運動時，二面角的大小保持不變，故D說法正確．故選：C．【點評】本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬中檔題．二．填空題（共5小題）11．【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式可得，且，由此求得函數(shù)的定義域．【解答】解：由函數(shù)，可得，且，求得，可得函數(shù)的定義域是，故答案為：．【點評】本題主要考查根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)余弦定理求出，再求出三角形的面積即可．【解答】解：，，解得：或（舍），，故答案為：．【點評】本題考查了求三角形的面積公式，考查余弦定理的應用，是基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項公式可得，即可得第一空答案，進而求出的值，即可得的通項公式，解可得第二空答案．【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，則．若，即，解可得，則，若，即，必有或3，即的最大值為3，故答案為：，3．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】建立平面直角坐標系，求出相應點的坐標，從而求得的坐標，再求數(shù)量積即可求得第一空；由條件設，則，求出的坐標，從而得到，再求二次函數(shù)的值域即可．【解答】解：以所在直線為軸，的中垂線所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，因為等邊的邊長為4，分別是的中點，所以，所以，所以；不妨設在的左邊，則設，則，所以，所以，所以當時，有最小值為．故答案為：2；．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積，屬于中檔題．15．【分析】（1）在時有解即函數(shù)具有性質(zhì)，逐一判斷三個函數(shù)是否滿足此條件，可得答案；（2）具有性質(zhì)，顯然，方程有根，因為的值域為，所以，進而得到答案．【解答】解：（1）在時，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)，①令，即，，故方程有一個非0實根，故具有性質(zhì)；②的圖象與有交點，故有解，故具有性質(zhì)；③令，此方程無解，故不具有性質(zhì)；④的圖象與有交點，故有解，故具有性質(zhì)；綜上所述，具有性質(zhì)的函數(shù)有：①②④，（2）具有性質(zhì)，顯然方程有根，的值域為，，解之可得：或．故答案為：①②④；（2）或【點評】本題考查的知識點是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應用，難度比較大．三．解答題（共2小題）16．【分析】（1）根據(jù)題意，利用倍角公式求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，分別選擇①②③，結(jié)合正弦定理和余弦定理，求得的長，結(jié)合題意，即可求解．【解答】解：（1）解：由中，，且，可得，所以，因為，所以．（2）解：若選擇條件①：，由正弦定理且，可得，又由余弦定理，可得，解得，所以，所以存在且唯一確定，此時的面積為．若選條件②：邊上的高為2，因為，可得，由余弦定理，可得，解得，此時存在但不唯一確定，不符合題意．若選條件③：，因為，由正弦定理得，又由余弦定理，可得，因為，代入解得，所以，所以存在且唯一確定，此時的面積為．【點評】本題考查解三角形，利用了正弦定理，余弦定理，屬于中檔題．17．【分析】（1）利用函數(shù)的導數(shù)求在曲線上某點處的切線方程．（2）構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明命題成立．（3）對進行討