專題27《圓錐曲線與方程》中的夾角角度問題-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（2019選擇性）

專題27《圓錐曲線與方程》中的夾角角度問題（滿分120分時(shí)間：60分鐘）班級(jí)姓名得分一、選擇題：已知橢圓C：x24+y2b2=1(0<b<2)，作傾斜角為3π4的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)，正切函數(shù)兩角和與差的公式，考查運(yùn)算求解能力．

根據(jù)題意，設(shè)出A、B、M的坐標(biāo)，由于A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則x124+y12b2=1x224+y22b2=1，運(yùn)用點(diǎn)差法分析可得(x1?x2)(x1+x2)4+(y1?y2)(y1+y2)b2=0，進(jìn)而可得x04?y0b2=0，變形可得y0x0=b24；設(shè)直線OM的傾斜角為α，由正切的和角公式可得tanα=y0x0=已知雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0).命題p：C的兩條漸近線夾角為π3；命題q：C的離心率為A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)及幾何意義和必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查學(xué)生的計(jì)算和推理能力．

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得到p，q，從而即可得到p和q之間的關(guān)系．

【解答】

解：∵雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，且兩條漸近線夾角為?π?3，

∴ba=33或ba=3，又c2=a2+b2已知F為拋物線y2=12x的焦點(diǎn)，過F作兩條夾角為45°的直線l1,l2，l1交拋物線于A,B兩點(diǎn)，A.1+24 B.1+22 C.【答案】D【解析】【分析】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系．

設(shè)直線l1的傾斜角為θ

，則l2的傾斜角為，根據(jù)過焦點(diǎn)的弦長公式可得|AB|=12sin2θ

，|CD|=12sin2(θ+π4)

，所以1|AB|+1|CD|=2sin2θ+2sin2(θ+π4)，化簡即可得到答案．

【解答】

解：設(shè)直線l1的傾斜角為θ

，則=2+2sin?(2θ?π4)?2+2

，

1

點(diǎn)P為橢圓x28+y24=1上任意一點(diǎn)，Q與P關(guān)于x軸對(duì)稱，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，若有FA.?23,?13 B.?1【答案】C【解析】【分析】

本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，向量的夾角公式，屬于較難題．首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由F1P?F2P?2可得x2?4+y2=4+y2≤2，進(jìn)而得出y2的范圍，代入夾角公式，求解即可．

【解答】

解：設(shè)P(x,y)，則Q(x,?y)，

且x28+y24=1，則x2=8?2y2，

易知c=a2?b2=8?4=2，

∴橢圓x28+y24=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，

∴F1P=已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的方程不可能為(

)A.x23?y2=1 B.x【答案】C【解析】【分析】

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)．

根據(jù)題意，逐個(gè)考查雙曲線的漸近線，研究夾角即可得到答案．

【解答】

解：A．x23?y2=1，該雙曲線的兩條漸近線方程為y=±33x，它們的夾角為60°;

B.x23?y29=1，該雙曲線的兩條漸近線方程為y=±33x=±3x，它們的夾角為60°;

C.y2二、多選題已知F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)F的直線?l交C的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn)，A.OF是?OAB的角平分線 B.|OB|=12|OA|

C.兩條漸近線夾角的余弦值為104 D.【答案】ABD【解析】【分析】

本題考查雙曲線的性質(zhì)和幾何意義、直線與雙曲線的位置關(guān)系問題．

解題時(shí)充分運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理，二倍角公式逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可求解．

【解答】

解：如圖：

結(jié)合題意可知A選項(xiàng)正確;

B中，設(shè)|AF|=2，則|FB|=1，|OA|=|AB|=3，

因?yàn)樵凇鰽OB中，OF為∠AOB的平分線，

所以|OB||OA|=|FB||AF|，

所以|OB|=32=12|OA|，

所以B選項(xiàng)正確;

C中，設(shè)∠AOF=θ(0<θ<π2)，則e=1cosθ，

由余弦定理得cos2θ=|OA|2+|OB|2?|AB|22|OA||OB|=1已知雙曲線M:x2a2?y2b2=1(a>b>0)A.M的離心率為233

B.M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22?y2=1

C.M的漸近線方程為【答案】ACD【解析】【分析】

本題主要考查雙曲線的幾何意義及性質(zhì).先根據(jù)題意分情況討論漸近線的方程，從而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)所得判斷選項(xiàng)即可．

【解答】

解：由題意得：

雙曲線的銳角的漸近線的傾斜角為30°或60°，

即y=bax=33x或y=bax=3x，

又∵a>b>0，

∴y=bax=33x

由2c=4c2=a2+b2得：a=3b=1c=2,

∴e=ca已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線過雙曲線C:x2a2?y2b2=1aA.雙曲線C的方程為4x2?4y23=1

B.雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°

C.點(diǎn)F【答案】ABD【解析】【分析】

本題考查了拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)，利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算．

先求出拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程，可得雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，再求出x=?1時(shí)，y的值，利用△AOB的面積為32，求出a，然后逐項(xiàng)判斷即可．

【解答】

解：∵拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=?1，

∴雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為(?1,0)，

得x=?1時(shí)，代入雙曲線方程，

由b2=1?a2，可得y=±1?a2a，

∵△AOB的面積為32，∴12×1×2(1?a2)a=32，∴a=12，

∴e=ca=2，故D正確；

又b2=1?a三、單空題在橢圓x24+y22=1上任意一點(diǎn)P，Q與P關(guān)于x軸對(duì)稱，若有F1P【答案】?1,?【解析】【分析】本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量夾角公式應(yīng)用，關(guān)鍵在于能夠通過坐標(biāo)運(yùn)算得到變量的取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解．

通過坐標(biāo)表示和F1P?F2P≤1得到y(tǒng)2∈解：由題意：F1?2,0，F(xiàn)22,0，設(shè)Px,y，Qx,?又∵y∈[?2,2]

=x2?2?y2結(jié)合x24+cosθ=2?3

已知直線y=x+1與橢圓mx2+ny2=1(m>n>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1【答案】4【解析】解：把直線與橢圓方程聯(lián)立y=x+1mx?2+ny?2=1消去y得(m+n)x2+2nx+n?1=0

∴x1+x2=?2nm+n=?23

∴nm已知拋物線x2=y的焦點(diǎn)為F，過F作兩條夾角為30°的直線m，n，直線m與拋物線交于點(diǎn)P，Q，直線n與拋物線交于點(diǎn)M，N，則1|PQ|+1【答案】1?【解析】【分析】

本題考查直線與拋物線方程的應(yīng)用以及與拋物線有關(guān)的最值問題求解，涉及輔助角公式，二倍角公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較難題目．

設(shè)直線m的傾斜角α，得出|PQ|，|MN|再由輔助角公式與二倍角公式得出1|PQ|+1|MN|，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可．

【解答】

解：設(shè)直線m的傾斜角為α，易得|PQ|=1cos2α，|MN|=1cos2(α+30°四、解答題某城市決定在夾角為30°的兩條道路EB、EF之間建造一個(gè)半橢圓形狀的主題公園，如圖所示，AB=2千米，O為AB的中點(diǎn)，OD為橢圓的長半軸，在半橢圓形區(qū)域內(nèi)再建造一個(gè)三角形游樂區(qū)域OMN，其中M，N在橢圓上，且MN的傾斜角為45°，交OD于G．

(1)若OE=3千米，為了不破壞道路EF，求橢圓長半軸長的最大值；

(2)若橢圓的離心率為32，當(dāng)線段OG長為何值時(shí)，游樂區(qū)域ΔOMN的面積最大？【答案】解：(1)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)因?yàn)镺E=3，則E(0,3)，

又EB、EF夾角為30°，所以直線EF的方程為y=?3x+3．

又因?yàn)锳B=2，則b=1，

則橢圓方程為x2a2+y2=1

為了不破壞道路EF，

則直線EF與橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，

聯(lián)立方程組x2a2+y2=1y=?3x+3

得(1+3a2)x2?63a2x+8a2=0

由于直線EF與半橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，

則27a4?(1+3a2)?8a2≤0，又a>0，得0<a≤263．

當(dāng)a=263時(shí)半橢圓形主題公園與道路直線EF相切，所以amax=263．

(2)設(shè)橢圓焦距為2c，

由橢圓的離心率ca=3【解析】本題考查了基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力、計(jì)算能力．

(1)依題意橢圓方程為x2a2+y2=1，為了不破壞道路EF，則直線EF與橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式即可求a已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，兩條漸近線的夾角為60°，直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若l過原點(diǎn)，P為雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求證：kPA?kPB為定值；

(3)若l過雙曲線的右焦點(diǎn)F【答案】(1)解：由題意得

4a2?9b2=1ba=3①或4a2?9b2=1ba=33②

解①得a=1，b=3，解②得無解，

∴雙曲線C的方程為x2?y23=1；

(2)證明：設(shè)A(x0,y0)，由雙曲線的對(duì)稱性，可得B(?x0,?y0).

設(shè)P(x,y)，則kPA?kPB=y2?y02x2?x02，

∵y02=3x02?3，y2=3x2?3，

所以kPA?kPB=y2?y02x2?x02=3;

(3)解：由(1)得點(diǎn)F【解析】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查斜率的計(jì)算，考查存在性問題，綜合性強(qiáng)．

(1)利用雙曲線C：x2a2?y2b2=1經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，兩條漸近線的夾角為60°，建立方程，即可求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)A(x0,y0)，由雙曲線的對(duì)稱性，可得B的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y)，結(jié)合題意，又由A、P在雙曲線上，可得y02設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，C是該拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)FC與y軸正方向的夾角為60°時(shí)，|OC|=21．

(1)求拋物線的方程；

(2)已知A(0,p)，設(shè)B是該拋物線上的任意一點(diǎn)，M，N是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=2p，|BM|=|BN|，當(dāng)|AM|【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)C(xo,y0)，則由拋物線的定義得

|FC|=y0+p2，

當(dāng)FC與y軸正方向的夾角為60°時(shí)，

2(y0?