【全程復(fù)習(xí)方略】（浙江專用）2013版高考數(shù)學(xué) 5.3柯西不等式配套課件 文 新人教A版選修4

1、第三節(jié) 柯西不等式,三年1考 高考指數(shù): 1.了解下列柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義并會(huì)證明.,(1)柯西不等式的向量形式： (2)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 (3) (通常稱為平面三角不等式),2.用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形： 3.會(huì)用柯西不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，能夠利用柯西不等式求 一些特定函數(shù)的極值.,1.利用柯西不等式證明不等式、求特定代數(shù)式的最值，以及解 決一些實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)等是本節(jié)考查的重點(diǎn). 2.常與函數(shù)、不等式、數(shù)列、向量等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，是本 節(jié)的難點(diǎn)、重點(diǎn). 3.通常以解答題形式出現(xiàn)，是高考的新熱點(diǎn)之一.,柯西不等式 （1）二

2、維形式的柯西不等式 代數(shù)形式 若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)_,當(dāng)且僅當(dāng) _時(shí),等號(hào)成立.,ad=bc,(ac+bd)2,向量形式 設(shè) 是兩個(gè)向量,則 _,當(dāng)且僅當(dāng)_ _，或_時(shí),等號(hào)成立. 三角形式 設(shè)x1,y1,x2,y2R,那么 _.,是零向量,存在實(shí)數(shù)k,使,（2）三維形式的柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3R,則 _.當(dāng)且僅當(dāng)_ 或_時(shí),等號(hào) 成立.,b1=b2=b3=0,存在一個(gè)數(shù)k,使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3,（3）一般形式的柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實(shí)數(shù), 則 _,當(dāng)且僅當(dāng)_或_時(shí),等

3、號(hào)成立.,(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2,bi=0(i=1,2,3,n),存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,3,n),【即時(shí)應(yīng)用】 （1）思考：在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號(hào) 的條件可以寫成 嗎？ 提示：不可以.當(dāng)b=d0時(shí)，柯西不等式成立，但 不成立.,(2)思考：不等式（a2+b2)（d2+c2)（ac+bd)2是柯西不等式 嗎？ 提示：不是.因?yàn)槎S形式的柯西不等式可以理解為四個(gè)數(shù)對(duì) 應(yīng)的一種不等關(guān)系，對(duì)誰(shuí)與誰(shuí)組合是有順序的，不是任意的搭 配，因此要仔細(xì)體會(huì)，加強(qiáng)記憶.,(3)若2x+3y=1,則4x2+9y2的最小值為_(kāi). 【解析】（4x2+9y2）

4、（12+12）（2x+3y）2=1 答案：,利用柯西不等式證明不等式 【方法點(diǎn)睛】 利用柯西不等式的解題方法 （1）柯西不等式的一般結(jié)構(gòu)為 在利用柯西不等式證明不等式（或比較大?。r(shí)關(guān)鍵是正確構(gòu) 造左邊的兩個(gè)數(shù)組，從而利用題目的條件正確解題.,（2）使用柯西不等式時(shí)，既要注意它的數(shù)學(xué)意義，又要注意它 的外在形式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左側(cè)或右側(cè)具有一致 形式時(shí)，就可以考慮使用柯西不等式對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行放大或縮 小.,【例1】（1）設(shè)a,b,c為正數(shù)，且不全相等，求證： （2）已知a,b,c,d均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c+d=1，求證：,【解題指南】(1)根據(jù)題目條件，可構(gòu)造兩組數(shù)據(jù) 然后利用柯西

5、不等式解 決. (2)因?yàn)閍+b+c+d1，所以(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)5，故可 構(gòu)造數(shù)組，利用柯西不等式證明.,【規(guī)范解答】(1)構(gòu)造兩組數(shù) 由柯西不等式得： 即 ,由柯西不等式知，中等號(hào)成立 a+b=b+c=c+aa=b=c. 而題設(shè)中a,b,c不全相等，故中等號(hào)不能成立, ,(2) =(a+b+c+d)2=1,又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d) 4+(a+b+c+d)=5, ,【反思感悟】本題（1）由a,b,c構(gòu)造成的新數(shù) 和 不但需要較高的觀察 能力，而且應(yīng)從所給的數(shù)學(xué)式中看出.,【變式訓(xùn)練】1.設(shè)a1,a2,a3均為正數(shù)，且a1+a2+a3=m,求

6、證 【證明】 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.,2.已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,證明 【證明】利用柯西不等式 =(a3+b3+c3)(a+b+c),又因?yàn)閍2+b2+c2ab+bc+ca,在此不等式兩邊同乘以2，再加上a2+b2+c2 得：(a+b+c)23(a2+b2+c2), a+b+c=1，(a+b+c)3(a2+b2+c2), (a2+b2+c2)2(a3+b3+c3)3（a2+b2+c2） 故,利用柯西不等式求最值 【方法點(diǎn)睛】 利用柯西不等式求最值的技巧 （1）先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，這是利用柯西不等式 求解的先決條件； （2）有些最值問(wèn)題從表面上看不能利用柯西不等式，但

7、只要適 當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來(lái) 解，這也是應(yīng)用柯西不等式解題的技巧；,（3）有些最值問(wèn)題需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但 在運(yùn)用過(guò)程中，每運(yùn)用一次，前后等號(hào)成立的條件必須一致， 不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式 的方法也是常用技巧之一. 【提醒】在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等 號(hào)成立的條件.,【例2】（1）設(shè)正數(shù)x、y、z滿足x+y+z=1，求函數(shù)=2x2+ 3y2+z2的最小值. （2）求函數(shù) 的最大值. 【解題指南】（1）由x+y+z=1以及=2x2+3y2+z2的形式，可以 構(gòu)造柯西不等式解決問(wèn)題. （2）關(guān)鍵是

8、構(gòu)造 再利用柯西不等式求 解.,【規(guī)范解答】（1）根據(jù)已知條件和柯西不等式，我們有 1= 故 .,而等號(hào)成立的條件是： 即 代入條件x+y+z=1得= . 此時(shí)， . 故當(dāng) 時(shí)， 函數(shù)=2x2+3y2+z2取得最小值 .,（2）由柯西不等式，得f(x)= = = 故當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，f(x)取得最大值為,【互動(dòng)探究】 若例題（1）條件不變， 求 的最大值. 【解析】由柯西不等式，得 =34(x+y+z)+3=21. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z= 時(shí)，取等號(hào). 的最大值為 .,【反思感悟】1.利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：,2.在利用柯西不等式求最值時(shí)，不但要注意等號(hào)成立的條件， 而且要善于構(gòu)造，技巧如下： （1）巧拆常數(shù)； （2）重新安排某些項(xiàng)的次序； （3）改變結(jié)構(gòu)從而達(dá)到可以使用柯西不等式的目的； （4）添項(xiàng).,【變式備選】1.設(shè)x+2y+3z=3，求4x2+5y2+6z2的最小值. 【解析】4x2+5y2+6z2 = 由柯西不等式知 =（x+2y+3z)2=9.,于是 即 因?yàn)榉匠探M