《階行列式》PPT課件

1、線性代數(shù)課件 hty,1,1.2 n階行列式,線性代數(shù)課件 hty,2,一、排列與逆序,引例,用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個(gè)位,1,2,3,2種放法,1種放法,種放法.,共有,線性代數(shù)課件 hty,3,問題,定義,把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元素的全排列（或排列）.,個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用 表示.,由引例,同理,線性代數(shù)課件 hty,4,在一個(gè)排列 中，若數(shù) 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.,例如 排列32514 中，,定義,我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個(gè)不同的自然數(shù)，

2、規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.,排列的逆序數(shù),3 2 5 1 4,線性代數(shù)課件 hty,5,定義 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序數(shù)為3,1,故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.,線性代數(shù)課件 hty,6,計(jì)算排列逆序數(shù)的方法,方法1,分別計(jì)算出排在 前面比它大的數(shù) 碼之和即分別算出 這 個(gè)元素 的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求 排列的逆序數(shù).,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.,排列的奇偶性,線性代數(shù)課件 hty,7,分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼 個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的

3、逆序數(shù)， 這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆 序數(shù).,方法2,例1 求排列32514的逆序數(shù).,解,在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;,2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3,故逆序數(shù)為1;,線性代數(shù)課件 hty,8,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序數(shù)為,5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;,1的前面比1大的數(shù)有3個(gè),故逆序數(shù)為3;,4的前面比4大的數(shù)有1個(gè),故逆序數(shù)為1;,線性代數(shù)課件 hty,9,例2 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.,解,此排列為偶排列.,線性代數(shù)課件 hty,10,解,當(dāng) 時(shí)為偶排列；,當(dāng) 時(shí)為奇排列.,線性代數(shù)課件 hty,11,解,當(dāng)

4、為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，,當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列.,線性代數(shù)課件 hty,12,二、n階行列式的引入,三階行列式,說明,（1）三階行列式共有 項(xiàng)，即 項(xiàng),（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的 乘積,線性代數(shù)課件 hty,13,（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列,例如,列標(biāo)排列的逆序數(shù)為,列標(biāo)排列的逆序數(shù)為,偶排列,奇排列,線性代數(shù)課件 hty,14,三、n階行列式的定義,定義,線性代數(shù)課件 hty,15,線性代數(shù)課件 hty,16,說明,1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;,2、 階行列式是 項(xiàng)的代

5、數(shù)和;,3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 個(gè)元素的乘積;,4、 一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;,5、 的符號(hào)為,線性代數(shù)課件 hty,17,例3計(jì)算對(duì)角行列式,分析,展開式中項(xiàng)的一般形式是,從而這個(gè)項(xiàng)為零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,線性代數(shù)課件 hty,18,即行列式中不為零的項(xiàng)為,例4 計(jì)算上三角行列式,線性代數(shù)課件 hty,19,分析,展開式中項(xiàng)的一般形式是,所以不為零的項(xiàng)只有,解,線性代數(shù)課件 hty,20,例5,線性代數(shù)課件 hty,21,同理可得下三角行列式,線性代數(shù)課件 hty,22,例6 證明對(duì)角行列式,線性代數(shù)課件 hty,23,證明,第一式是顯然的,下面證第二式.,若記,則依行列式定義,證畢,線性代數(shù)課件 hty,24,例7,設(shè),證明,證,由行列式定義有,線性代數(shù)課件 hty,25,線性代數(shù)課件 hty,26,由于,所以,故,線性代數(shù)課件 hty,27,1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.,2、 階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 的 個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由