1991考研數(shù)學一真題及答案解析

1、1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1) 設 則=_.(2) 由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分=_.(3) 已知兩條直線的方程是；,則過且平行于的平面方程是_.(4) 已知當時,與是等價無窮小,則常數(shù)=_.(5) 設4階方陣,則的逆陣=_.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1) 曲線 ( )(A) 沒有漸近線 (B) 僅有水平漸近線(C) 僅有鉛直漸近線 (D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線(2) 若連續(xù)函數(shù)滿足關系式,則等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 已知級數(shù),則級數(shù)等于 ( ) (A) 3 (B) 7 (

2、C) 8 (D) 9 (4) 設是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)為頂點的三角形區(qū)域,是在第一象限的部分,則等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 0 (5) 設階方陣、滿足關系式,其中是階單位陣,則必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分15分,每小題5分.)(1) 求.(2) 設是曲面在點處的指向外側的法向量,求函數(shù)在點處沿方向的方向導數(shù).(3) ,其中是由曲線繞軸旋轉一周而成的曲面與平面所圍成的立體.四、(本題滿分6分)在過點和的曲線族中,求一條曲線,使沿該曲線從到的積分的值最小.五、(本題滿分8分.)將函數(shù)展開成以2為周期的傅立葉級數(shù),并由此求

3、級數(shù)的和.六、(本題滿分7分.)設函數(shù)在0,1上連續(xù),(0,1)內可導,且,證明在(0,1)內存在一點,使.七、(本題滿分8分.)已知,及.(1) 、為何值時,不能表示成的線性組合？(2) 、為何值時,有的唯一的線性表示式？并寫出該表示式.八、(本題滿分6分)設為階正定陣,是階單位陣,證明的行列式大于1.九、(本題滿分8分)在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數(shù)(是法線與軸的交點),且曲線在點(1,1)處的切線與軸平行.十、填空題(本題滿分6分,每小題3分.)(1) 若隨機變量服從均值為2,方差為的正態(tài)分布,且,則=_.(2) 隨機地向半圓(為正常數(shù)

4、)內擲一點,點落在半圓內任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率為_.十一、(本題滿分6分)設二維隨機變量的概率密度為 ,求隨機變量的分布函數(shù).1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】這是個函數(shù)的參數(shù)方程,滿足參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法,即如果 , 則 .所以 ,再對求導,由復合函數(shù)求導法則得.(2)【答案】【解析】這是求隱函數(shù)在某點的全微分,這里點的含義是.將方程兩邊求全微分,由一階全微分形式不變性得,再由全微分四則運算法則得 ,令,得,即.(3)【答案】【解析】所求平面過直線,因而過上

5、的點；因為過平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量,且兩向量不共線,于是平面的方程,即.(4)【答案】【解析】因為當時,當時,所以有所以 .因為當時,與是等價無窮小,所以,故.(5)【答案】.【解析】為求矩陣的逆可有多種辦法,可用伴隨,可用初等行變換,也可用分塊求逆.根據本題的特點,若知道分塊求逆法,則可以簡單解答.注意： ,.對于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律：,則求的伴隨矩陣.如果,這樣.再利用分塊矩陣求逆的法則：,易見.二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函數(shù)的定義域為,所以函數(shù)的間斷點為,所以為鉛直漸近線,所以為水平漸近線.所以選

6、(D).【相關知識點】鉛直漸近線：如函數(shù)在其間斷點處有,則是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當,則為函數(shù)的水平漸近線.(2)【答案】(B)【解析】令,則,所以,兩邊對求導,得,這是一個變量可分離的微分方程,即.解之得,其中是常數(shù).又因為,代入,得,得,即.(3)【答案】(C)【解析】因為 (收斂級數(shù)的結合律與線性性質),所以 .而 ,故應選(C).(4)【答案】(A)【解析】如圖,將區(qū)域分為四個子區(qū)域.顯然,關于軸對稱,關于軸對稱.令 ,由于對及對都是奇函數(shù),所以 .而對是偶函數(shù),對是奇函數(shù),故有,所以 ,故選(A).(5)【答案】(D)【解析】矩陣的乘法公式沒有交換律,只有一些特殊情況可以

7、交換.由于、均為階矩陣,且,對等式兩邊取行列式,據行列式乘法公式,得到、,知、均可逆,那么,對于,先左乘再右乘有 ,故應選(D).其實,對于先右乘再左乘,有.三、(本題滿分15分,每小題5分.)(1)【解析】這是型未定式求極限.令,則時,所以,所以 .因為當時,所以 ,故 .(2)【解析】先求方向的方向余弦,再求,最后按方向導數(shù)的計算公式求出方向導數(shù).曲面在點處的法向量為,在點處指向外側,取正號,并單位化得 又 ,所以方向導數(shù).(3)【解析】由曲線繞軸旋轉一周而圍成的旋轉面方程是.于是,是由旋轉拋物面與平面所圍成.曲面與平面的交線是.選用柱坐標變換,令,于是,因此 .四、(本題滿分6分)【解析

8、】曲線,則,所以 .對關于的函數(shù)兩邊對求導數(shù),其中,并令得.所以,且 .故為函數(shù)的極小值點,也是最小值點.故所求的曲線為.五、(本題滿分8分.)【解析】按傅式級數(shù)公式,先求的傅式系數(shù)與.因為偶函數(shù),所以 , ,.因為在區(qū)間上滿足狄利克雷收斂定理的條件,所以 .令,有,所以,.又 ,所以, ,即 .六、(本題滿分7分.)【解析】由定積分中值定理可知,對于,在區(qū)間上存在一點使得,即.由羅爾定理可知,在區(qū)間內存在一點,使得.七、(本題滿分8分)【解析】設,按分量寫出,則有.對方程組的增廣矩陣作初等行變換:第一行分別乘以有、加到第三行和第四行上,再第二行乘以、加到第三行和第四行上,有,所以,當時,方程

9、組無解.即是不存在使得成立,不能表示成的線性組合；當時,方程組有唯一解,故有唯一表達式,且.【相關知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價向量組).設是矩陣,線性方程組,則(1) 有唯一解 (2) 有無窮多解 (3) 無解 不能由的列向量線表出.八、(本題滿分6分)【解析】方法1：因為為階正定陣,故存在正交矩陣,使,其中,是的特征值.因此 兩端取行列式得 ,從而 .方法2：設的個特征值是由于為階正定陣,故特征值全大于0.由為的特征值可知,存在非零向量使,兩端同時加上,得.按特

10、征值定義知是的特征值.因為的特征值是它們全大于1,根據,知.【相關知識點】陣特征值與特征向量的定義：設是階矩陣,若存在數(shù)及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.九、(本題滿分8分)【解析】曲線在點處的法線方程為 (當時),它與軸的交點是,從而.當時,有,上式仍然成立.因此,根據題意得微分方程,即.這是可降階的高階微分方程,且當時,.令,則,二階方程降為一階方程,即.即,為常數(shù).因為當時,所以,即,所以.分離變量得 .令,并積分,則上式左端變?yōu)?.因曲線在上半平面,所以,即.故 .當時, 當前取+時, ；當前取時,；所以 .十、填空題(本題滿分6分,每小題3分.)(1)【解析】一般說來,若計算正態(tài)分布隨機變量在某一范圍內取值的概率,應該已知分布的兩個參數(shù)和,否則應先根據題設條件求出,再計算有關事件的概率,本題可從,通過查表求出,但是注意到所求概率即是與之間的關系,可以直接由的值計算出.因為,所以可標準化得 ,由標準正態(tài)分布函數(shù)概率的計算公式,有,.由正態(tài)分布函數(shù)的對稱性可得到 .(2)【解析】設