2012年高數(shù)試題參考答案

1、2012年高數(shù)試題參考答案一、選擇題：共8小題，每題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定的位置上。1、曲線漸近線的條數(shù)（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。解：（C）：，可得有一條水平漸近線；，可得有一條鉛直漸近線；，可得不是鉛直漸近線，故答案為（C）。2、設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。解：（A）：；則。故答案為（A）。3如果函數(shù)在處連續(xù)，那么下列例題正確的是（ ）（A）若極限存在，則在處可微；（B）若極限存在，則在處可微；（C）若在處可微，則極限存在；（D）若在處可微，則極限存在。解

2、：（B）：在處連續(xù)：對（A）：令，可得，則不存在，同理得也不存在，故（A）錯(cuò)；對（B）：令，可得，同理，則由微分定義可得在處可微，故答案為（B）；對（C）和（D）：在處可微，可知在處偏導(dǎo)，即， 則，顯然極限不存在，同理，顯然極限不存在，故（C）和（D）選項(xiàng)錯(cuò)誤。4、設(shè)，則有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）解：（A）：方法一：令，則，可得在上嚴(yán)格單調(diào)增加，可得，故答案為（A）；方法二：由定積分的幾何意可得，故答案為（A）。二、填空題：9-14，共6題，滿分24分請將答案寫在答題紙指定的位置上。5、若函數(shù)滿足方程及，則 。解：的特征方程為解得，可得通解為：，代入得，可得。故可得答案為。6、 。

3、解：，令，可得由對稱性得，再令可得。7、 。解：或：令，則，可得。8、已知曲面，則 。解：由曲面可得，向面投影，可得，則。三、解答題：15-23，共9題，共94分，將解答寫在答題紙指定的位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟。9（本題10分）、證明：，其中。證明：令，當(dāng)時(shí)，可導(dǎo)，且（1）當(dāng)時(shí)，顯然，則可得當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，可得；（2）當(dāng)時(shí)，顯然可得當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，可得；由（1）和（2）可得當(dāng)時(shí)，。10（本題10分）、求的極值。解：先求函數(shù)的駐點(diǎn)，可得駐點(diǎn)為；又所以，可得，而，故可得在點(diǎn)處取得極大值。11（本題10分）求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解：，可得當(dāng)，可得級數(shù)，顯然發(fā)散，故收斂域?yàn)椋?；，可得，即；，可得，可得，可得?dāng)時(shí)，則。12（本題10分）、已知曲線，其中有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，若曲線的切線與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求的表達(dá)式，并求此曲線與軸、軸無邊界區(qū)域的面積。解：（1）設(shè)為上的任意一點(diǎn)，可得切線斜率為，可得過點(diǎn)的切線方程為，令，可得，由于曲線的切線與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，故有化簡得，解得，代入得，則，；（2）曲線與軸、軸無邊界區(qū)域的面積為：。13（本題10分）、計(jì)算曲線積分，其中是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)曲線