穩(wěn)定性模型.ppt

1、第六章 穩(wěn)定性模型,6.1 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 6.2 軍備競賽 6.3 種群的相互競爭 6.4 種群的相互依存 6.5 種群的弱肉強食,穩(wěn)定性模型,對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。,不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,6.1 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲,再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）,再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。,問題及 分析,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。,如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。,背景,產(chǎn)量模型,假設(shè),無捕撈時魚的

2、自然增長服從 Logistic規(guī)律,單位時間捕撈量與漁場魚量成正比,建模,捕撈情況下漁場魚量滿足,不需要求解x(t), 只需知道x(t)穩(wěn)定的條件,r固有增長率, N最大魚量,h(x)=Ex, E捕撈強度,x(t) 漁場魚量,一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,一階非線性（自治）方程,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡點,不求x(t), 判斷x0穩(wěn)定性的方法直接法,(1)的近似線性方程,產(chǎn)量模型,穩(wěn)定性判斷,x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量,x1 穩(wěn)定, 漁場干枯,E捕撈強度,r固有增長率,產(chǎn)量模型,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大,圖解法,P的橫坐標(biāo) x0平衡點,P的縱坐標(biāo) h產(chǎn)量,產(chǎn)

3、量最大,控制漁場魚量為最大魚量的一半,效益模型,假設(shè),魚銷售價格p,單位捕撈強度費用c,單位時間利潤,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大.,求E使R(E)最大,漁場魚量,收入 T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,捕撈過度,封閉式捕撈追求利潤R(E)最大,開放式捕撈只求利潤R(E) 0,R(E)=0時的捕撈強度(臨界強度) Es=2ER,臨界強度下的漁場魚量,捕撈過度,令=0,6.2 軍備競賽,描述雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程,解釋(預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局,假設(shè),1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；,2）由于經(jīng)濟實力限制，一方軍備越大，對自己軍

4、備增長的制約越大；,3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。,進一步假設(shè),1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù),目的,建模,軍備競賽的結(jié)局,x(t)甲方軍備數(shù)量， y(t)乙方軍備數(shù)量, 本方經(jīng)濟實力的制約； k, l 對方軍備數(shù)量的刺激； g, h 本方軍備競賽的潛力。,記系數(shù)矩陣,特征方程,特征根,特征根,平衡點 P0(0,0),微分方程一般解形式,1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實部,p 0 或 q 0,平衡點,穩(wěn)定性判斷,系數(shù)矩陣,平衡點(x0, y0)穩(wěn)定的條件,模型,軍備競賽,模型的定性解釋,雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向有限值)的條件,雙方經(jīng)濟制約大于雙方軍備刺激時，軍備競賽

5、 才會穩(wěn)定，否則軍備將無限擴張。,平衡點,2) 若g=h=0, 則 x0=y0=0, 在 kl 下 x(t), y(t)0, 即友好鄰國通過裁軍可達到永久和平。,模型, 本方經(jīng)濟實力的制約； k, l 對方軍備數(shù)量的刺激； g, h 本方軍備競賽的潛力。,3）若 g,h 不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t), y(t)很小，但因 ，也會重整軍備。,4）即使某時一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減, 如 x(t)=0， 也會因 使該方重整軍備，,即存在互不信任( ) 或固有爭端( ) 的單方面裁軍不會持久。,模型的定性解釋, 本方經(jīng)濟實力的制約； k, l 對方軍備數(shù)量的刺激； g, h 本方軍備

6、競賽的潛力。,模型,6.3 種群的相互競爭,一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。,當(dāng)兩個種群為爭奪同一食物來源和生存空間相互競爭時，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強的達到環(huán)境容許的最大容量。,建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。,模型假設(shè),有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;,兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比; 甲對乙有同樣的作用。,對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1) 的 1 倍。,模型,模型分析,(平衡點及其穩(wěn)定性),模型,判斷P0 (x10,

7、x20) 穩(wěn)定性的方法直接法,(1)的近似線性方程,僅當(dāng)1, 2 1時，P3才有意義,模型,平衡點穩(wěn)定性分析,平衡點 Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0,種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性,不穩(wěn)定,21,11,P1, P2 是一個種群存活而另一滅絕的平衡點,P3 是兩種群共存的平衡點,11, 21,P1穩(wěn)定的條件 11 ?,11,21,穩(wěn)定條件,平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析,從任意點出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0) (t),P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點,(1) 21, 11,有相軌線趨向P1,有相軌線趨向P2,P1穩(wěn)定的條件：直接法21,(3) 11, 21,(2) 11, 21,(4)

8、11, 21,加上與(4)相區(qū)別的 11,P2 穩(wěn)定,P3 穩(wěn)定,結(jié)果解釋,對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1 倍。,P1穩(wěn)定的條件：11,21 甲的競爭力強,甲達到最大容量，乙滅絕,P2穩(wěn)定的條件：11, 21,P3穩(wěn)定的條件：11, 21,通常1 1/2，P3穩(wěn)定條件不滿足,6.4 種群的相互依存,甲乙兩種群的相互依存有三種形式,1) 甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。,2) 甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存 時相互提供食物、促進增長。,3) 甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。,模型假設(shè),甲可以獨自生存，

9、數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。,乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。,模型,乙為甲提供食物是甲消耗的1 倍,甲為乙提供食物是乙消耗的2 倍,種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性,P2是甲乙相互依存而共生的平衡點,平衡點P2穩(wěn)定性的相軌線,11, 121,P2穩(wěn)定,121 前提下P2存在的必要條件,結(jié)果解釋,21 甲必須為乙提供足夠的食物甲為乙提供的食物是乙消耗的 2 倍,11, 121條件下使121 成立,P2穩(wěn)定條件：11, 121,甲可以獨自生存,乙不能獨立生存,6.5 種

10、群的弱肉強食(食餌-捕食者模型),種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。,模型的歷史背景一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？,食餌（甲）數(shù)量 x(t), 捕食者（乙）數(shù)量 y(t),甲獨立生存的增長率 r,乙使甲的增長率減小，減小量與 y成正比,乙獨立生存的死亡率 d,甲使乙的死亡率減小，減小量與 x成正比,方程(1),(2) 無解析解,食餌-捕食者模型(Volterra),a 捕食者掠取食餌能力,b 食餌供養(yǎng)捕食者能力,Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性

11、,平衡點,穩(wěn)定性分析,P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析,p =0, q 0 P: 臨界狀態(tài),q 0 P 不穩(wěn)定,用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解,xy 平面上的相軌線,計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）,x(t), y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線,x(t), y(t)的周期約為9.6,xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9,用數(shù)值積分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值約為25, y(t)的平均值約為10。,食餌-捕食者模型(Volterra),用相軌線分析 點穩(wěn)定性,c 由初始條件確定,在相平面上討論相軌線的圖形,用相軌

12、線分析 點穩(wěn)定性,相軌線,時無相軌線,以下設(shè),相軌線,P中心,相軌線是封閉曲線,求x(t), y(t) 在一周期的平均值,軌線中心,用相軌線分析 點穩(wěn)定性,x(t) 的“相位”領(lǐng)先 y(t),模型解釋,初值,相軌線的方向,模型解釋,r 食餌增長率,d 捕食者死亡率,b 食餌供養(yǎng)捕食者能力,捕食者 數(shù)量,食餌數(shù)量,a 捕食者掠取食餌能力,捕食者數(shù)量與r成正比, 與a成反比,食餌數(shù)量與d成正比, 與b成反比,模型解釋,一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比例卻在增加，為什么？,rr-1, dd+1,捕撈,戰(zhàn)時捕撈,rr-2, dd+2 , 2 1,食餌(魚)減少， 捕食者(鯊魚)增加,自然環(huán)境,還表明：對害蟲(食餌)益蟲(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲的殺蟲劑, 會使害蟲增加，益蟲減少。,食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點與改進,Volterra模型,多數(shù)食餌捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點