常用的一些求和公式

1、下面是常用的一些求和公式：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, . (d為常數(shù))稱為公差為d的等差數(shù)列.與等差數(shù)列相應(yīng)的級數(shù)稱為等差級數(shù)，又稱算術(shù)級數(shù).通項公式 前n項和 等差中項 a1, a1q, a1q2, a1q3.,(q為常數(shù))稱為公比為q的等比數(shù)列.與等比數(shù)列相應(yīng)的級數(shù)稱為等比級數(shù)，又稱幾何級數(shù).通項公式 前n項和 等比中項 無窮遞減等比級數(shù)的和 更多地了解數(shù)列與級數(shù)：等差數(shù)列與等差級數(shù)(算術(shù)級數(shù))等比數(shù)列等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列求和公式(1) 等比數(shù)列：a (n+1)/an=q (nN)。 (2) 通項公式：an=a1q(n-1)；推廣式：an=amq(n-m)； (3

2、) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-qn)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q1) (q為比值，n為項數(shù)） (4)性質(zhì)： 若 m、n、p、qN，且mn=pq，則am*an=ap*aq； 在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列. 若m、n、qN，且m+n=2q，則am*an=aq2 (5) G是a、b的等比中項G2=ab（G 0）. (6)在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零.注意：上述公式中an表示等比數(shù)列的第n項。等比數(shù)列如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母

3、q表示(q0)。 （1）等比數(shù)列的通項公式是：An=A1*q（n1）若通項公式變形為an=a1/q*qn(nN*),當q0時，則可把an看作自變量n的函數(shù)，點(n,an)是曲線y=a1/q*qx上的一群孤立的點。 （2）等比數(shù)列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-qn)/(1-q) =(a1-a1qn)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即A-Aqn) (前提：q 1)任意兩項am，an的關(guān)系為an=amq(n-m)（3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-

4、k+1，k1,2,n（4）等比中項：aqap=ar2，ar則為ap，aq等比中項。記n=a1a2an，則有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。等比中項定義：從第二項起，每一項（有窮數(shù)列和末項除外）都是它的前一項與后一項的等比中項。（5）無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式：無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式：對于等比數(shù)列 的前n 項和，當n 無限增大時的極限，叫做這個無窮遞縮數(shù)列的各項和

5、。編輯本段性質(zhì) 若 m、n、p、qN*，且mn=pq，則am*an=ap*aq； 在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列. “G是a、b的等比中項”“G2=ab（G0）”. 若（an）是等比數(shù)列，公比為q1，（bn）也是等比數(shù)列，公比是q2，則（a2n），（a3n）是等比數(shù)列，公比為q12，q13（can），c是常數(shù)，（an*bn），（an/bn)是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。（4）按原來順序抽取間隔相等的項，仍然是等比數(shù)列。（5）等比數(shù)列中，連續(xù)的，等長的，間隔相等的片段和為等比。（6）若（an）為等比數(shù)列且各項為正，公比為q，則（log以a為底an的對數(shù)）成等差，公差為

6、log以a為底q的對數(shù)。 (7) 等比數(shù)列前n項之和Sn=A1(1-qn)/(1-q)=A1(qn-1)/(q-1)=(A1qn)/(q-1)-A1/(q-1) (8) 數(shù)列An是等比數(shù)列，An=pn+q，則An+K=pn+K也是等比數(shù)列，在等比數(shù)列中，首項A1與公比q都不為零.注意：上述公式中An表示A的n次方。 (6)由于首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通向公式可以寫成an*q/a1=qn，它的指數(shù)函數(shù)y=ax有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列。求等比數(shù)列通項公式an的方法：（1）待定系數(shù)法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an 構(gòu)造等比數(shù)列a（n+1）+x

7、=2（an+x） a（n+1）=2an+x，a（n+1）=2an+3 x=3所以a（n+1）+3/an+3=2 an+3為首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以an+3=a1*q(n-1)=4*2(n-1),an=2(n+1)-3編輯本段等比數(shù)列的應(yīng)用等比數(shù)列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式復利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。按照復利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期等比數(shù)列小故事：根據(jù)歷史傳說記載，國際象棋起源于古印度，至今見諸于文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的據(jù)說，有位印度教宰相見國王自負虛浮，

8、決定給他一個教訓他向國王推薦了一種在當時尚無人知曉的游戲國王當時整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過游戲方式來排遣郁悶的心情國王對這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，高興之余，他便問那位宰相，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什么賞賜宰相開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8粒即每一個次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的倍數(shù)，直到最后一個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了 “好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了宗師的這個謙卑的請求這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2

9、+22+23+24+263=264-1，直接寫出數(shù)字來就是18，446，744，073，709，551，615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內(nèi)所產(chǎn)的小麥的總和！如果造一個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，那么這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個來回。國王哪有這么多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩班達依爾的一筆永遠也無法還清的債。正當國王一籌莫展之際，王太子的數(shù)學教師知道了這件事，他笑著對國王說：“陛下，這個問題很簡單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會被它難倒？”國王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他？”年輕的教師說：“沒有必要啊，陛下。其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數(shù)出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完18，446，744，073，709，551，615粒麥子所需要的時間，大約是5800億年（大家可以自己用計算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地數(shù)，數(shù)到他自己