【與名師對話】高考數(shù)學課時作業(yè)42 文（含解析）北師大版(1).doc

課時作業(yè)(四十二)一、選擇題1已知向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，則下列結(jié)論正確的是()aac，bc bab，accac，ab d以上都不對解析：c(4，6,2)2(2，3,1)，ac.又ab22(3)0140，ab.答案：c2(2012年廈門模擬)在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別為棱aa1和bb1的中點，則sin，的值為()a. b. c. d.解析：設(shè)正方體棱長為2，以d為坐標原點，da為x軸，dc為y軸，dd1為z軸建立空間直角坐標系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：b3已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與所成的角為()a30 b60 c120 d150解析：由于cosm，n，m，n120，所以直線l與所成的角為30.答案：a4已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()a45 b135 c45或135 d90解析：cosm，n，即m，n45.兩平面所成二面角為45或18045135.答案：c5如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中點，n是a1b1的中點，則直線no、am的位置關(guān)系是()a平行 b相交c異面垂直 d異面不垂直解析：建立坐標系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，n(2,1,2)，(1,0，2)，(2,0,1)，0，則直線no、am的位置關(guān)系是異面垂直答案：c6如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，點e、f分別是棱ab、bb1的中點，則直線ef和bc1所成的角是()a45 b60c90 d120解析：以b點為坐標原點，以bc、ba、bb1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系設(shè)abbcaa12，則b(0,0,0)，c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，(0，1,1)，(2,0,2)cos，.ef與bc1所成角為60.答案：b二、填空題7(2012年寧波模擬)若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則_.解析：由已知得，83(6)，解得2或.答案：2或8正四棱錐sabcd中，o為頂點在底面上的射影，p為側(cè)棱sd的中點，且sood，則直線bc與平面pac所成的角是_解析：如圖所示，以o為原點建立空間直角坐標系oxyz.設(shè)odsooaoboca，則a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.則(2a,0,0)，(a，a,0)設(shè)平面pac的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n.，n60，直線bc與平面pac所成的角為906030.答案：309正方體abcda1b1c1d1中，二面角abd1b1的大小為_解析：建系如圖設(shè)a(1,0,0)，d1(0,0,1)，b(1,1,0)，b1(1,1,1)c(0,1,0)則(1,1,0)為平面bb1d1的一個法向量設(shè)n(x，y，z)為平面abd1的一個法向量則n0，n0.又(1,0,1)，(0,1,0)，令x1，則z1，cos，n，n120，即二面角abd1b1的大小為120.答案：120三、解答題10(2013年長春調(diào)研測試)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，側(cè)面aa1c1c底面abc，aa1a1cac2，abbc，abbc，o為ac中點(1)證明：a1o平面abc；(2)求直線a1c與平面a1ab所成角的正弦值；(3)在bc1上是否存在一點e，使得oe平面a1ab？若存在，確定點e的位置；若不存在，說明理由解：(1)aa1a1cac2，且o為ac中點，a1oac，又側(cè)面aa1c1c底面abc，交線為ac，a1o面a1ac，a1o平面abc.(2)如圖，以o為原點，分別以ob、oc、oa1所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則由題可知b(1,0,0)，c(0,1,0)，a1(0,0，)，a(0，1,0)(0,1，)，令平面a1ab的法向量為n(x，y，z)，則nn0，而(0,1，)，(1,1,0)，可求得一個法向量n(3，3，)，所以|cos，n|，故直線a1c與平面a1ab所成角的正弦值為.(3)存在點e為線段bc1的中點證明：連接b1c交bc1于點m，連接ab1、om，則m為bc1的中點，從而om是cab1的一條中位線，omab1，而ab1平面a1ab，om平面a1ab，所以om平面a1ab，故bc1的中點m即為所求的e點11(2012年鄭州模擬)如圖，已知四棱錐pabcd的底面是直角梯形，abcbdc90，abbc2cd2，pbpc，側(cè)面pbc底面abcd，o是bc的中點(1)求證：po平面abcd；(2)求證：pabd；(3)若二面角dpao的余弦值為，求pb的長解：(1)證明：pbpc，o是bc的中點，pobc.側(cè)面pbc底面abcd，bc是這兩個平面的交線，po平面pbc，po平面abcd.(2)證明：據(jù)題意，可以以o為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，其中bay軸，則各相關(guān)點的坐標為：b(1,0,0)、a(1,2,0)、d(1,1,0)(2,1,0)，(1,2,0)，220，bdoa.由(1)知，po平面abcd，pobd.pooao，bd平面poa，bdpa.(3)設(shè)p(0,0，p)，平面pad的一個法向量為n(x，y,1)則(1,2，p)，故(2,1,0)，解得n.由(2)知，(2,1,0)是平面poa的一個法向量據(jù)題意，|cosn，|，整理得p23.(1,0，p)，pb|2.12(2012年福建)如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e為cd中點(1)求證：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一點p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的長；若不存在，說明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小為30，求ab的長解：(1)證明：以a為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)設(shè)aba，則a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)假設(shè)在棱aa1上存在一點p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此時(0，1，z0)又設(shè)平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一個法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在點p，滿足dp平面b1ae，此時ap.(3)連接a1d，b1c，由長方體abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d.b1ca1d，ad1b1c.又由(1)知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1.是平面a1b1e的一個法向量，此時(0,1,1)設(shè)與n所成的角為，則cos二面角ab1ea1的大小為30，|cos|cos30，即，解得a2，即ab的長為2.熱點預(yù)測13在如圖所示的正方體a1b1c1d1abcd中，e是c1d1的中點，則異面直線de與ac夾角的余弦值為()a bc. d.解析：如圖建立直角坐標系dxyz，設(shè)da1，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，則(1,1,0)，若異面直線de與ac所成的角為，cos|cos，|.答案：d14在底面為直角梯形的四棱錐pabcd中，側(cè)棱pa底面abcd，bcad，abc90，paabbc2，ad1，則點d到平面pbc的距離是_解析：分別以ab，ad，ap所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖，則a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0)設(shè)n(x，y，z)為平面pbc的法向量，則即取x1，則n(1,0,1)又(2,1,0)，點d到平面pbc的距離為.答案：15在四棱錐pabcd中，側(cè)面pcd底面abcd，pdcd，e為pc的中點，底面abcd是直角梯形，abcd，adc90，abadpd1，cd2.(1)求證：be平面apd；(2)求證：bc平面pbd；(3)設(shè)q為側(cè)棱pc上一點，試確定的值，使得二面角qbdp為45.解：(1)證明：取pd的中點f，連接ef，af，e為pc的中點，efcd，且efcd1.在梯形abcd中，abcd，ab1，efab，efab.四邊形abef為平行四邊形，beaf.be平面pad，af平面pad，be平面pad.(2)證明：平面pcd平面abcd，pdcd，pd平面abcd.pdad.在直角梯形abcd中，bdbc，dc2，cbd90，即dbbc.又由p